2023-2024學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)巴音郭楞蒙古自治州高三上冊(cè)開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)巴音郭楞蒙古自治州高三上冊(cè)開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．8 D．163．已知某設(shè)備的使用年限（年）與年維護(hù)費(fèi)用（千元）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：2456839由所給數(shù)據(jù)分析可知：與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，且關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．6．設(shè)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，在上，，則的方程為（

）A． B． C． D．7．已知，，則（

）A．1 B． C． D．8．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，、、成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．一組樣本數(shù)據(jù)11，19，15，16，19，則這組數(shù)據(jù)的（

）A．眾數(shù)是19 B．平均數(shù)是16 C．中位數(shù)是15 D．方差是4410．已知的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則（

）A． B．展開(kāi)式中的系數(shù)為C．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為16 D．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為111．（多選）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則（

）A．正四棱錐的體積為 B．側(cè)棱與底面所成角為C．其外接球的半徑為 D．其內(nèi)切球的半徑為12．已知函數(shù)，則（

）A．是的極大值點(diǎn)B．有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意成立D．若，，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，滿(mǎn)足，，則．14．底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．15．已知直線(xiàn)與交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿(mǎn)足“面積為”的m的一個(gè)值．16．已知函數(shù)，如圖A，B是直線(xiàn)與曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．中，已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求的大?。?2)若，，求的面積.18．已知數(shù)列中，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的行前項(xiàng)和.19．為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.(1)設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0102.7063.8416.63520．在長(zhǎng)方體中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.21．已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線(xiàn)與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線(xiàn)上.22．已知，函數(shù).(1)求證：；(2)若為的極值點(diǎn).點(diǎn)在圓上.求.1．C【分析】解集合中的不等式，得到集合，再與集合取交集.【詳解】不等式解得，則有，又，所以.故選：C2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則得到，然后求模即可.【詳解】由題意得，所以.故選：A.3．B【分析】根據(jù)題意，求得樣本中心，把樣本中心代入回歸直線(xiàn)方程，即可求解.【詳解】由題意得，，因?yàn)榛貧w直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，解得.故選：B.4．C【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，有，解出的值即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，，解得.時(shí)，，函數(shù)定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足，函數(shù)為奇函數(shù).所以.故選：C5．C【分析】首先聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.6．A【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得，進(jìn)而確定正確答案.【詳解】拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，由于在上，且，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.故選：A7．C【分析】利用平方的方法，結(jié)合兩角和的余弦公式、二倍角公式求得正確答案.【詳解】由兩邊平方得①，由兩邊平方得②，由①②兩式相加并化簡(jiǎn)得，所以.故選：C8．D【分析】根據(jù)、、成等差數(shù)列求出數(shù)列的公比，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得的值，利用等比求和公式可求得的值.【詳解】因?yàn)椤?、成等差?shù)列，即，即，即，所以，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槭敲宽?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則，因此，.故選：D.9．AB【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的知識(shí)求得正確答案.【詳解】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以眾數(shù)是，A選項(xiàng)正確；中位數(shù)是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；平均數(shù)是，B選項(xiàng)正確.方差是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10．ABD【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和求，利用展開(kāi)式的通項(xiàng)求的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，令求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】由二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得，A選項(xiàng)正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，時(shí)，，展開(kāi)式中的系數(shù)為，B選項(xiàng)正確；時(shí)，，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；中，令，得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11．BCD【分析】通過(guò)運(yùn)算逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】如圖所示：設(shè)為底面正方形的中心，所以.對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)：由棱錐體積公式可知，只需求出棱錐的高（即的長(zhǎng)度即可），由已知底面正方形的邊長(zhǎng)為4且側(cè)棱，所以有，且由勾股定理有，棱錐的高，綜上；故A選項(xiàng)不符題意.對(duì)于B選項(xiàng)：注意到，所以側(cè)棱與底面所成的平面角為，由以上分析可知，所以；故B選項(xiàng)符合題意.對(duì)于C選項(xiàng):由對(duì)稱(chēng)性可知正四棱錐外接球球心一定在高上.如圖所示：設(shè)點(diǎn)為外接球球心，為外接球半徑.由勾股定理得，即，解得，故C選項(xiàng)符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)：由以上分析注意到一方面有，另一方面，其中為內(nèi)切球的半徑分別為正方形的面積，顯然，且面積相等，所以只需求出等腰三角形的面積即可，其平面圖如圖所示：設(shè)為中點(diǎn)，所以，又，由三線(xiàn)合一可知，由勾股定理可得，所以，所以，結(jié)合以及可得，解得；故D選項(xiàng)符合題意.故選：BCD.易錯(cuò)點(diǎn)睛：對(duì)于A(yíng)：選項(xiàng)求棱錐體積的時(shí)候，可能容易漏乘而導(dǎo)致錯(cuò)選，記住棱柱和棱錐體積公式分別為和，分別代表對(duì)應(yīng)的底面積和高.對(duì)于B:容易錯(cuò)在找出線(xiàn)面角或者計(jì)算方面.對(duì)于C:容易錯(cuò)在球心位置搞錯(cuò)或者計(jì)算方面.對(duì)于D:容易錯(cuò)在用等體積法的時(shí)候漏乘，算三角形面積漏乘.總之扎實(shí)的計(jì)算功底以及對(duì)于每一個(gè)公式里面的具體字母的含義要弄清楚，這一點(diǎn)很重要.12．BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)、零點(diǎn)、不等式恒成立、構(gòu)造函數(shù)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以是的極小值點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，，所以存在唯一零點(diǎn)，且，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由對(duì)于任意成立，即對(duì)于任意成立，構(gòu)造函數(shù)，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，沒(méi)有最小值，且，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，令，則，令，，所以在上單調(diào)遞減，則，則，令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，當(dāng)時(shí)，成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值點(diǎn)，主要是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，除了利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間外，還可結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來(lái)進(jìn)行求解.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中，若一次求導(dǎo)無(wú)法得到答案，可考慮多次求導(dǎo)的方法來(lái)進(jìn)行求解.13．【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】法一：因?yàn)椋?，則，整理得，又因?yàn)?，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為.14．【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法二：棱臺(tái)的體積為.故答案為.15．（中任意一個(gè)皆可以）【分析】根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故（中任意一個(gè)皆可以）．16．【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)椋?，．故．本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式等知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，由此求得.（2）先求得，然后利用正弦定理求得，從而可利用三角形的面積公式求得的面積.【詳解】（1）因?yàn)椋?所以，因?yàn)?，所?所以，所以是銳角，且.（2）因?yàn)椋?，，，又，由正弦定理，所?18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)可得，即可根據(jù)累加迭代法求解，（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，因?yàn)?，，所以所以所以，，，……，所以所以所以因?yàn)檫m合上式，所以（2）因?yàn)?所以19．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)（i），列聯(lián)表見(jiàn)解析；（ii）能【分析】（1）由題意可得的可能取值為，然后求出各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）（i）先對(duì)這40個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，找出第20個(gè)和第21個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)填2×2列聯(lián)表；（ii）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，根據(jù)卡方公式求出卡方，再根據(jù)臨界值可得結(jié)論.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀(guān)察對(duì)照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.20．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，可證，，得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)闉檎叫?，所以，因?yàn)?，平面所以平面?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，；，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，，所以，平面與平面的夾角的余弦值為.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線(xiàn)方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線(xiàn)與的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線(xiàn)上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線(xiàn)方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線(xiàn)的斜率不為0，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線(xiàn)方程的定直線(xiàn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.22．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性即可得到，然后通過(guò)證明即可證明；（2）根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，圓在直線(xiàn)的下方，得到點(diǎn)為切點(diǎn)，然后求即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單