2023-2024學(xué)年天津市武清區(qū)高三上冊(cè)開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年天津市武清區(qū)高三上冊(cè)開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題一?選擇題（本大題9小題，每小題5分，共45分）1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．4．如圖在正方體中，為的中點(diǎn)，那么直線與所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．5．為響應(yīng)“書香臨夏、悅享閱讀”活動(dòng)，某校開展語(yǔ)文教師課文朗誦比賽．已知男女教師人數(shù)相同，有的男教師和的女?dāng)?shù)師擅長(zhǎng)中華詩(shī)詞朗誦，現(xiàn)隨機(jī)選一位教師，這位教師恰好擅長(zhǎng)中華詩(shī)詞朗誦的概率是（

）A． B．C． D．6．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且曲線的極大值點(diǎn)為，極大值為，則等于（

）A．2 B． C． D．18．5G技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：時(shí)間x12345銷售量y（千只）0.50.81.01.21.5若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)B．線性回歸方程中C．時(shí)，殘差為0.02D．可以預(yù)測(cè)時(shí)該商場(chǎng)5G手機(jī)銷量約為1.72（千只）9．已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）①函數(shù)是奇函數(shù)②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱③在上是增函數(shù)④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是A．①③ B．③④ C．② D．②③④二?填空題（本大題6小題，每題5分，共30分，將答案寫在答題紙上）10．已知函數(shù)，則．11．二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為.12．已知點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在直線上，則A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值是．13．某校高三年級(jí)有男生360人，女生240人，對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，采用分層抽樣的方法，從這600名學(xué)生中抽取5人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，則這3人中既有男生又有女生的概率是，記抽取的男生人數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．14．若，，則的最小值為.15．已知，且函數(shù).若對(duì)任意的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.三?解答題（本大題共5小題，共75分.將解題過(guò)程寫在答題紙上）16．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（1）求角B的大??；（2）若，求的值；（3）若，，求邊a的值.17．如圖，在五面體中，四邊形為正方形，平面，，，，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的正弦值.18．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q，，，依次成等差數(shù)列.(1)求公比q的值；(2)當(dāng)公比時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對(duì)任意及，恒有成立，求的取值范圍.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，對(duì)任意的正整數(shù)，將集合中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）對(duì)（2）中的，求集合的元素個(gè)數(shù).1．B先根據(jù)補(bǔ)集定義求出，再根據(jù)交集定義即可求出的結(jié)果.【詳解】解：，，，，.故選：B.2．B解不等式，求出的充要條件，與對(duì)比，即可求解.【詳解】，“”是“”的必要不充分條件.故選:B.本題考查充分必要條件，等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3．A【分析】由函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的奇偶性以及當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的符號(hào)，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可得出選項(xiàng).【詳解】由，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、D；當(dāng)時(shí)，，故排除C.故選：A4．B【分析】根據(jù)異面直線夾角的概念平移找角，再結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【詳解】連接交于，取中點(diǎn)為，連接，

由正方體可知，，又交于，為中點(diǎn)，所以，即，所以四邊形為平行四邊形，所以,直線與所成角等于直線與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，所以,則直線與所成角的余弦值是.故選：B.5．B【分析】根據(jù)全概率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)“男教師”，“女教師”，“擅長(zhǎng)中華詩(shī)詞朗誦”，則，，，則.故選：B6．A【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與1，2比較大小即可得出答案．【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：A.7．A【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，可得．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，所以，由，得，令，解得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以時(shí)，函數(shù)取得極小值，時(shí)，函數(shù)取得極大值．因?yàn)榍€的極大值點(diǎn)為，極大值為，所以，，即．所以，所以，故選：A．8．B【分析】對(duì)于A，利用表中的數(shù)據(jù)分析即可求解；對(duì)于B，利用平均數(shù)的定義及樣本中心，結(jié)合樣本中心在回歸直線上即可求解；對(duì)于C，利用預(yù)測(cè)值和殘差的定義即可求解；對(duì)于D，利用回歸方程即可求出預(yù)測(cè)值.【詳解】對(duì)于A，從數(shù)據(jù)看隨的增加而增加，所以變量y與x正相關(guān)，故A正確；對(duì)于B，由表中數(shù)據(jù)知，所以樣本中心點(diǎn)為，將樣本中心點(diǎn)代入中得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，線性回歸方程為，所以，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)該商場(chǎng)5G手機(jī)銷量約為（千只），故D正確.故選：B.9．C【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用已知條件求解出的值，再根據(jù)圖象的變換求解出的解析式；①根據(jù)解析式判斷奇偶性；②根據(jù)的值判斷對(duì)稱性；③采用整體替換的方法判斷單調(diào)性；④利用換元法的思想求解出值域.【詳解】因?yàn)?，又的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以向左平移個(gè)單位得到，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)倍得到，①為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；②，所以是的一條對(duì)稱軸，故正確；③因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏舷仍龊鬁p，所以在上不是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)；，此時(shí)，所以的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤；故選：C.思路點(diǎn)睛：求解形如的函數(shù)在指定區(qū)間上的值域或最值的一般步驟如下：（1）先確定這個(gè)整體的范圍；（2）分析在（1）中范圍下的取值情況；（3）根據(jù)取值情況確定出值域或最值，并分析對(duì)應(yīng)的的取值.10．1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故111．60【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)為0，求得值，即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故6012．【分析】分析函數(shù)單調(diào)性得圖象，確定A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值的情況，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，從而求得最小距離.【詳解】由題意可得，令得所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的圖象如下圖：

要使得A，B兩點(diǎn)之間距離最小，即直線與平行時(shí)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，與的距離即為A，B兩點(diǎn)之間最小的距離，令，解得．由，所以直線的方程為，即則與的距離的距離，則A，B兩點(diǎn)之間的最短距離是．故．13．##0.9##1.8【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概型計(jì)算概率；再利用超幾何分布的期望公式計(jì)算作答.【詳解】由分層抽樣知，抽取的5人中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為2，所以從5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是；依題意，隨機(jī)變量服從超幾何分布，其期望為.故；14．4【分析】變形后，利用四元基本不等式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故415．【分析】利用分離參數(shù)法將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，結(jié)合換元法、去掉絕對(duì)值及一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】因?yàn)?，，不等式恒成立，所以，即恒成立，令，則，令，則，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，，所以的最小值為，所以，即，解得，所以.當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以，即，解得，所以.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解決此題的關(guān)鍵是利用分離參數(shù)法將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題即可.16．（1）；（2）；（3）.（1）由正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求角B.（2）由兩角差、倍角公式展開，根據(jù)已知條件及（1）的結(jié)論即可求值.（3）根據(jù)余弦定理列方程即可求a的值.【詳解】（1）由正弦定理有：，而為的內(nèi)角，∴，即，由，可得，（2），∵，，可得，而，∴，（3）由余弦定理知：，又，，，∴，可得.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)【分析】（1）利用線面平行判定定理去證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法去求直線與平面所成角的正弦值；（3）利用向量法去求平面與平面夾角的正弦值.【詳解】（1）在△中，過(guò)點(diǎn)N作交CF于H，連接AH，又，則，又，則則四邊形為平行四邊形，則又平面，平面，則平面；（2）四邊形為正方形，平面，則兩兩垂直以F為原點(diǎn)，分別以所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，令，則，，則設(shè)直線與平面所成角為則故直線與平面所成角的正弦值為；（3）由（2）可得，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，則，令，則，，則又平面的一個(gè)法向量為則設(shè)平面與平面夾角為，則，則平面與平面夾角的正弦值18．(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)題目條件和等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公比；（2）在（1）基礎(chǔ)上，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解.【詳解】（1）∵依次成等差數(shù)列，∴.∵是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，∴.∵，∴，∴或.（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，上式減下式得：，∴.19．（Ⅰ）極小值為，無(wú)極大值；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）求的解，根據(jù)極值的定義判斷在x兩側(cè)的符號(hào)，從而求出的極值.（Ⅱ）對(duì)求導(dǎo)，利用二次函數(shù)求根的方法進(jìn)行分類討論，然后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)論，求得的最大最小值，從而求出的最值，轉(zhuǎn)化為求大于的最大值的問(wèn)題，進(jìn)而求得m的范圍.【詳解】（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，.令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，所以的極小值為，無(wú)極大值；（Ⅱ）∵，當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得；當(dāng)時(shí)，得，令，得或，令，得；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值.所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，整理?又，所以，又因?yàn)?，得，所以，所?本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了學(xué)生的解題能力和轉(zhuǎn)化能力，解題的關(guān)鍵是二次函數(shù)分類討論求不等式以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于難題.20．（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求得答案;（2）由（1）,求得,根據(jù)且成等差數(shù)列,即可求得,即可求證數(shù)列為等比數(shù)列;（3）要求集合中整數(shù)的個(gè)數(shù),關(guān)鍵是求出與的特征,的特征與的奇偶性有關(guān),可運(yùn)用二項(xiàng)式定理研究其性質(zhì),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,同樣可得,