第17課 垂徑定理（解析版）

更多資料添加微信號(hào)：DEM2008更多資料添加微信號(hào)：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：第17課垂徑定理3.3課后培優(yōu)練課后培優(yōu)練級(jí)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單選題1．如圖，在中，于點(diǎn)D，AD的長(zhǎng)為3cm，則弦AB的長(zhǎng)為（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求出AD=BD=3cm即可．【解析】解：∵AB為非直徑的弦，，∴AD=BD=3cm，∴AB=AD+BD=6cm．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．2．下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論分別進(jìn)行判斷．【解析】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心，所以B選項(xiàng)為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧，所以C選項(xiàng)為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦，所以D選項(xiàng)為真命題．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．3．往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【答案】D【分析】如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過(guò)O作于D，交圓于C，設(shè)圓的半徑為r，而再利用勾股定理建立方程即可．【解析】解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過(guò)O作于D，交圓于C，則設(shè)圓的半徑為r，而解得：圓柱形容器的截面直徑為52cm．故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，作輔助線構(gòu)建符合垂徑定理的模型是解本題的關(guān)鍵．4．已知⊙O的直徑AB=10，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，若OM：OA=3：5，則弦AC的長(zhǎng)度（

）．A． B． C．3 D．或【答案】D【分析】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上或點(diǎn)M在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求解即可．【解析】解：如圖1，∵AB=10，弦CD⊥AB于點(diǎn)M．若OM：OA=3：5，∴OA=OC=5，OM=3，AM=8，∴CM==4，∴AC==4；如圖2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于點(diǎn)M．若OM：OA=3：5，∴OA=OC=5，OM=3，AM=2，∴CM==4，∴AC==2，綜上所述：弦AC的長(zhǎng)為4或2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理．解此類題目要注意將圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題再進(jìn)行計(jì)算．5．如圖，在半徑為5的圓O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根據(jù)垂徑定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根據(jù)四邊形MONP是正方形，故可求解．【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD，∵OB=5，BM=，∴OM=∵AB=CD=8，∴ON=OM=4，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四邊形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四邊形MONP是正方形，∴OP=3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線．6．如圖，的半徑為5，弦，點(diǎn)M是弦上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)O作OM'⊥AB于M'，則OM'為OM變化過(guò)程中的最小值，由垂徑定理可求得M'B，再由勾股定理可求得OM'，另可知OM變化過(guò)程中的最大值等于圓半徑，如此問(wèn)題可以得解．【解析】解：如圖，過(guò)O作OM'⊥AB于M'，則OM'為OM變化過(guò)程中的最小值，由垂徑定理可知M'B=4，∵OB=5，∴OM'=3，又有OM變化過(guò)程中的最大值等于圓半徑5，∴3≤OM≤5，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理、勾股定理及垂線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣8，﹣4），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

）A．（－2，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（－1.5，﹣4）【答案】A【分析】作AB⊥MN于B，連接AM，如圖，設(shè)⊙A的半徑為r，先根據(jù)切線的性質(zhì)得OA=r，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-r，0），再利用垂徑定理得BM=BN，利用MN∥x軸，M（-8，-4），得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（-r，-4），然后在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得，解得r=5，則BM=BN=3，易得N點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4）．【解析】解：作AB⊥MN于B，連接AM，如圖，設(shè)⊙A的半徑為r，∵⊙A與y軸相切于原點(diǎn)O，∴OA=r，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-r，0），∵AB⊥MN，∴BM=BN，∵M(jìn)N∥x軸，M（-8，-4），∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-r，-4），在Rt△ABM中，AB=4，AM=r，BM=8-r，∵，∴，解得r=5，∴BM=3，∴BN=3，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．8．如圖，AB為⊙O的弦，點(diǎn)C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA，OD，根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3，從而得到CE=1，然后設(shè)OE=x，根據(jù)勾股定理可得，從而得到，即可求解．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA，OD，∴，∵AC＝4，BC＝2，∴BA=6，∴AE=BE=3，∴CE=1，設(shè)OE=x，∴，∵CD⊥OC，∴，∴或（舍去）．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，是半圓的直徑，，弦，是上的點(diǎn)，連結(jié)，．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB，連接OC，設(shè)EC=3x，則ED=13x,先證明四邊形MONE是矩形，求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出OM及OE的值．【解析】解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB，連接OC，垂足分別為點(diǎn)M、N，∵，∴設(shè)EC=3x，則ED=13x,∴CD=16x，∵OM⊥CD，∴CM=DM=8x，∴ME=CM-CE=8x-3x=5x，∵OM⊥CD，，EN⊥AB，∴∠MON=∠OME=∠ONE=90°，∴四邊形MONE是矩形，∴ON=ME=5x，∵AB=20，∴OB=10，∵，EN⊥AB，∴ON=BN=5，∴5x=5，即x=1，∴CM=8，∴，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．10．如圖，是的弦（非直徑），點(diǎn)是弦上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作垂直于的弦．若設(shè)的半徑為，弦的長(zhǎng)為，，則弦的長(zhǎng)（

）A．與，，的值均有關(guān) B．只與，的值有關(guān)C．只與，的值有關(guān) D．只與，的值有關(guān)【答案】D【分析】連接AD、BE，先由垂徑定理得，再根據(jù)得，用和表示出CE的長(zhǎng)，即可得到DE的長(zhǎng)．【解析】解：如圖，連接AD、BE，∵DE為的弦，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，故DE的長(zhǎng)只與和的值有關(guān)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理和相似三角形的性質(zhì)和判定定理．二、填空題11．垂直于弦的直徑______弦，并且______弦所對(duì)的兩條?。?hào)語(yǔ)言：∵①CD是直徑，②CD⊥AB∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________．【答案】

平分

平分

BE

【解析】略12．某隧道口橫截面如圖所示，上部分是圓弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高點(diǎn)E與的距離為4米，且弧所在圓的半徑為10米，則路面的寬度為_(kāi)____米．【答案】16【分析】先根據(jù)勾股定理CF=米，根據(jù)垂徑定理求出DF=CF=8米，然后根據(jù)四邊形ABCD為矩形，得出AB=DC=16米即可．【解析】解：∵EF=4米，OC=OE=10米，∴OF=OE-EF=6米，在Rt△OEC中，CF=米，∵OF⊥DC，DC為弦，∴DF=CF=8米，∴DC=2×8=16米，∴四邊形ABCD為矩形，∴AB=DC=16米，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，矩形性質(zhì)，掌握勾股定理，垂徑定理，矩形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道尺（1尺＝10寸），則該圓材的直徑為_(kāi)_____寸．【答案】26．【分析】設(shè)的半徑為，在中，，則有，解方程即可.【解析】設(shè)的半徑為．在中，，則有，解得，∴的直徑為26寸，故答案為26．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.14．如圖，，在射線AC上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)是__________cm．【答案】6【分析】過(guò)點(diǎn)作于，連，根據(jù)垂徑定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到，再利用勾股定理計(jì)算出，由得到答案．【解析】解：過(guò)點(diǎn)作于，連，如圖則，在中，，，則，在中，，，則，則．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，若于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)____________．【答案】2【分析】根據(jù)題意易得，則根據(jù)勾股定理可求解．【解析】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴在中，由勾股定理得：；故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是_______．【答案】【分析】連接OD，交AC于F，根據(jù)垂徑定理的推論得出OD⊥AC，AF=CF，進(jìn)而證得DF=BC，根據(jù)三角形中位線定理求得OF=BC=DF，從而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．【解析】解：如圖，連接OD，交AC于F，∵D是的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，AF=CF，∴∠DFE=90°，∵OA=OB，AF=CF，∴OF=BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，在△EFD和△ECB中，，

∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF=BC，∴OF=DF，∵OD=3，∴OF=1，AB=2OD=6，∴BC=2，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．如圖，在中，是直徑，是弦，，垂足為P，若．求的長(zhǎng)．【答案】8【分析】連接，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理可得，然后根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【解析】解：連接，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知為直徑，是弦，且于點(diǎn)E，連接、．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，等弧的圓周角相等，即可求證．（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑．（1）∵為直徑，是弦，且于點(diǎn)E，∴，∴；（2）連接，如圖，設(shè)的半徑為R，則，又，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．19．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．利用面積法求出，再利用勾股定理求出，可得結(jié)論．【解析】（1）解：如圖，連接．，，．，，，．又，．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．，，，．又，，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．20．如圖，D是⊙O弦BC的中點(diǎn)，A是⊙O上的一點(diǎn)，OA與BC交于點(diǎn)E，己知AO=8，BC=12．(1)求線段OD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）連接，先根據(jù)垂徑定理得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）在中，設(shè)，則，，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：連接OB．∵過(guò)圓心，且D是弦中點(diǎn)，∴，在中，．∵．∴；（2）解：在中，．設(shè)，則，∴，解得（舍），．則．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1．如圖，點(diǎn)A，B是以CD為直徑的⊙O上的兩點(diǎn)，分別在直徑的兩側(cè)，其中點(diǎn)A是的中點(diǎn)，若tan∠ACB＝2，AC＝，則BC的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】連接AB，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于T．由點(diǎn)A是的中點(diǎn)得AT⊥BC，由tan∠ACT=ATCT=2，設(shè)CT＝k，AT＝2k，在Rt△ACT中，，可得，推出k＝1，根據(jù)垂徑定理即可解決問(wèn)題．【解析】解：連接AB，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于T．∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∴AT⊥BC，∵tan∠ACT=ATCT=2，∴設(shè)CT＝k，AT＝2k，在中，∴，∴k＝1，∵AT⊥BC，AT過(guò)圓心O，∴BC＝2CT＝2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．2．如圖，⊙O的直徑為10，A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB＝6，CD＝8，若點(diǎn)E、F分別是弦AB、CD的中點(diǎn)，則線段EF長(zhǎng)度的取值范圍是（）A．1≤EF≤7 B．2≤EF≤5 C．1＜EF＜7 D．1≤EF≤6【答案】A【分析】連接OE、OF、OA、OC，由垂徑定理得OE⊥AB，OF⊥CD，，由勾股定理得OE=4，OF=3，當(dāng)ABCD時(shí)，E、O、F三點(diǎn)共線EF取最值，其中當(dāng)AB、CD位于O的同側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最短，此時(shí)EF，，當(dāng)AB、CD位于O的兩側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，此時(shí)EF=，即可得出結(jié)論．【解析】連接OE、OF、OA、OC，如圖所示：∵⊙O的直徑為10，∴OA=OC=5，∵點(diǎn)E、F分別是弦AB、CD的中點(diǎn)，AB=6，CD=8，∴OE⊥AB，OF⊥CD，AB=3，，∴，OF=當(dāng)ABCD時(shí)，E、O、F三點(diǎn)共線，EF取得最值：①當(dāng)AB、CD位于O的同側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最短，此時(shí)EF，②當(dāng)AB、CD位于O的兩側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，此時(shí)EF=，∴線段EF的長(zhǎng)度的取值范圍是1≤EF≤7，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問(wèn)題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面內(nèi)，，兩兩外切，其中的半徑為8，，的半徑都為5．用一張半徑為R的圓形紙片把這三個(gè)圓完全覆蓋，則R的最小值為（

）A． B．10 C．13 D．15【答案】A【分析】當(dāng)半徑為R的圓形紙片與三個(gè)圓相切時(shí)，R的值最小，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)求解即可．【解析】解：如圖，當(dāng)與三個(gè)已知圓相切時(shí)，R的值最小，∵四個(gè)圓相切，的半徑為8，，的半徑都為5，的半徑為R．∴O1O2=O1O3=5+8=13，OO2=OO3=R-5，O1O=R-8，O2O3=5+5=10，∴O1O⊥O2O3，設(shè)垂足為I，∴IO2=5，∴，∴，∴，即，解得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相切圓的性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是明確兩圓相切時(shí)，圓心距與半徑的關(guān)系，根據(jù)勾股定理列出方程．4．如圖，是半圓的直徑，，弦，是上的點(diǎn)，連結(jié)，．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB，連接OC，設(shè)EC=3x，則ED=13x,先證明四邊形MONE是矩形，求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出OM及OE的值．【解析】解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB，連接OC，垂足分別為點(diǎn)M、N，∵，∴設(shè)EC=3x，則ED=13x,∴CD=16x，∵OM⊥CD，∴CM=DM=8x，∴ME=CM-CE=8x-3x=5x，∵OM⊥CD，，EN⊥AB，∴∠MON=∠OME=∠ONE=90°，∴四邊形MONE是矩形，∴ON=ME=5x，∵AB=20，∴OB=10，∵，EN⊥AB，∴ON=BN=5，∴5x=5，即x=1，∴CM=8，∴，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．5．如圖，，，，，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)在邊上以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，以為圓心，為半徑作，當(dāng)直線被與所截得線段長(zhǎng)為時(shí)，的值為（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】C【分析】畫(huà)出符合題意的圖形，先利用相似證明，利用垂徑定理表示弦的一半的長(zhǎng)度，再用含的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立方程求解．【解析】解：由題意得：，，∴，為公共角，∴，所以所以，當(dāng)所截弦長(zhǎng)為時(shí)，，∵半徑，∴．

，，∴∴，解得如圖，由題意得：，，同理：當(dāng)所截弦長(zhǎng)為時(shí)，，∵半徑，∴．

，，∴所以，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)不在邊上，舍去．故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，動(dòng)態(tài)問(wèn)題的圖形分析，相似三角形的判定與性質(zhì)，是典型的難度選擇題，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．如圖，直徑AB、CD相互垂直，P為弧BC上任意一點(diǎn)，連PC、PA、PD、PB，下列結(jié)論：①∠APC＝∠DPE；②∠AED＝∠DFA；③；其中正確的是（）A．①③ B．只有① C．只有② D．①②③【答案】A【分析】①利用垂徑定理，可得，又由圓周角定理，即可證得∠APC=∠DPE；②由于∠A不一定等于∠D，故∠AED=∠DFA錯(cuò)誤；③連AC，AD，BD，將△ACP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AC與AD重合（由AB⊥CD知AC=AD）點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)，可證得△APQ是等腰直角三角形，CP+DP=AP，同理可得BP+AP=DP，繼而可證得結(jié)論．【解析】解：∵直徑AB、CD相互垂直，∴，∴∠APC＝∠DPE；故①正確；∵∠AED＝∠DPE+∠D，∠DFA＝∠APF+∠A，∵P為上任意一點(diǎn)，∴∠A不一定等于∠D，∴∠AED不一定等于∠DFA；故②錯(cuò)誤；連AC，AD，BD，將△ACP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AC與AD重合（由AB⊥CD知AC＝AD）點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)，∴AQ＝AP，CP＝QD，∵∠PAQ＝90°，AQ＝AP，∵∠ADQ+∠ADP＝∠ACP+∠ADP＝180°，∴P，D，Q三點(diǎn)共線，∴∠Q＝∠APD＝45°，∴PQ2＝PA2+AQ2，∴PQ＝AP，即CP+DP＝AP，同理：BP+AP＝DP，∴．故③正確．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝3cm，BD＝cm，AC⊥CD，⊙O是△ABD的外接圓，則AB的弦心距等于_____cm．【答案】##【分析】設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為G，作圓的直徑AN，連接BN，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，利用勾股定理計(jì)算DC，利用三角函數(shù)計(jì)算GM，MC，根據(jù)，計(jì)算BN，利用垂徑定理，三角形中位線定理求得OF．【解析】解：設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為G，∵平行四邊形ABCD中，AC=3，BD=，AC⊥CD，∴，，，∴，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M∴，，∴，∴，作直徑，連接BN，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，則：，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在⊙O中，半徑，D是半徑OC上一點(diǎn)，且．A，B是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則OF的長(zhǎng)的最大值等于__________．【答案】##【分析】由題意易得出當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至共線時(shí)，OF長(zhǎng)度最大．根據(jù)垂徑定理可推出△ABD是等腰直角三角形，設(shè)OF為x，則．再在中，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x，再舍去不合題意的值即可．【解析】∵，∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至共線時(shí)，OF長(zhǎng)度最大，如圖．∵F是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，．設(shè)OF為x，則．∵，∴△ABD是等腰直角三角形，∴，在中，，即解得：或（舍去），∴OF的長(zhǎng)的最大值等于．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí)．理解當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至共線時(shí)，OF長(zhǎng)度最大是解題關(guān)鍵．9．如圖，圓O的半徑為4，點(diǎn)P是直徑AB上定點(diǎn)，，過(guò)P的直線與圓O交于C，D兩點(diǎn)，則△COD面積的最大值為_(kāi)_____；作弦于H，則CH的最大值為_(kāi)_______．【答案】

8

##【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，再解直角三角形可得，利用勾股定理可得，然后根據(jù)垂徑定理可得，解直角三角形可得，令，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得的最大值，最后根據(jù)的面積為即可得出答案．【解析】解：的半徑為4，，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，，由垂徑定理得：，，令，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的面積最大，最大值為，故答案為：8，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、解直角三角形的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的方法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．【閱讀理解】三角形中線長(zhǎng)公式：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線和第三邊一半的平方和的兩倍如左圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，則有：．【問(wèn)題解決】請(qǐng)利用上面的結(jié)論，解決下面問(wèn)題：如右圖，點(diǎn)C、D是以AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn)，點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，且，若，當(dāng)△EPB面積最大時(shí)，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】連接，根據(jù)垂徑定理可得①，取的中點(diǎn)，則，根據(jù)三角形中線長(zhǎng)公式可得：②，由①②得出，可得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，以及三角形面積公式，圓上一點(diǎn)到直徑的距離，求得當(dāng)時(shí)，△EPB面積最大，進(jìn)而勾股定理求得的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線即可求解．【解析】解：如圖，連接，∵為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵AB為⊙O的直徑,,∴，∴，∴①如圖，取的中點(diǎn)，則，根據(jù)三角形中線長(zhǎng)公式可得：②∵，∴，即②，將①代入②得：，∴，∴在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在中，為的中點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)到的距離為，由，則當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，∴當(dāng)時(shí)，，在中，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線長(zhǎng)公式，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，充分利用三角形中線長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．11．如圖，BD是⊙O的直徑，弦CF⊥BD交于點(diǎn)A，E是上一點(diǎn)，連EB交CF于點(diǎn)G，連接EF，已知AF=6，CG=3，BG=4，給出下列結(jié)論：①∠BFC=∠BEF；②tan∠BEF=；③BE=；④SΔBEF=．其中正確的是________．【答案】①②③【分析】利用垂徑定理可證明∠BFC=∠BEF；利用垂徑定理和勾股定理求得AB，再利用三角函數(shù)可求得tan∠BEF=tan∠BFA的值；證明△GBF∽△GCE，利用相似三角形的性質(zhì)可求得EG，即可求得BE的長(zhǎng)；證明△BFG∽△BEF，利用相似三角形的性質(zhì)可求解．【解析】解：①∵BD是⊙O的直徑，弦CF⊥AB于點(diǎn)A，∴=，AF=AC，∴∠BFC=∠BEF；故①正確；②∵AF=6，CG=3，∴AG=AC-CG=AF-CG=6-3=3，在Rt△ABG中，BG=4，AG=3，∴AB=，∴tan∠BEF=tan∠BFA==；故②正確；③連接CE，∵∠BFG=∠CEG，∠GBF=∠GCE，∴△GBF∽△GCE，∴，即，∴EG=，∴BE=BG+EG=4+=；故③正確；④在Rt△ABF中，AF=6，AB=，∴BF==，∵∠BFG=∠BEF，∠FBG=∠EBF，∴△BFG∽△BEF，∴，∵FG×AB=，∴SΔBEF=?=．故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，證明△BFG∽△BEF是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC邊的中點(diǎn)O為圓心，BC為半徑作圓，點(diǎn)D是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是弦CD的中點(diǎn)，連接AE，若BC=4，AB=3，則AE+BE的最小值是______．【答案】##【分析】取OC中點(diǎn)N，再取NE=，推出3，證明△ENM∽△BNE，得到EM=BE，當(dāng)A、E、M共線時(shí)，AE+BE的最小值為AM，利用勾股定理即可求解．【解析】解：連接OE，取OC中點(diǎn)N，再取NE=，連接NE，ME，MA，∵點(diǎn)E是弦CD的中點(diǎn)，∴OE⊥CD，∴∠OEC=∠OED=90°，∵點(diǎn)N是OC的中點(diǎn)，ON=CN=NE=OC=BC=1，OC=OB=BC=2，∴BN=3，∵NE=，∴3，∵∠ENM=∠BNE，∴△ENM∽△BNE，∴3，∴EM=BE，∴AE+BE=AE+EM≥AM，當(dāng)A、E、M共線時(shí)，AE+BE的最小值為AM，∴AM==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．三、解答題13．如圖，已知AB為圓O的直徑，C是弧AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AD交BC于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如果，求∠ABC的正弦值；(3)聯(lián)結(jié)OF，如果△AOF為直角三角形，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠ABC的正弦值為(3)或【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可證明E為BC的中點(diǎn)，再利用中位線定理可得AC=2OE，OE//AC，證明△ACF∽△DEF，可得結(jié)論；（2）連結(jié)OF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB，垂足為H，證明△AOF∽△ADO可證得AH=AO，再證明△ACF≌△AHF，可得AC=AH，從而可求得sinB的值．（3）先得出，分當(dāng)∠AOF=90°和∠AFO=90°兩種情況討論求得即可得出結(jié)論．（1）解：連結(jié)AC，∵OD⊥BC，∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴AC=2OE，OE//AC，∴△ACF∽△DEF，∴，∴．（2）連結(jié)OF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB，垂足為H，∵AF·AD=AO2，∴，∵∠OAF=∠DAO，∴△AOF∽△ADO，∴∠AOF=∠D，∵OA=OD，∴∠FAO=∠D，∴∠FAO=∠FOA，∴FA=FO，∴AH=AO.∵OD//AC，∴∠CAF=∠D，∠ACB=∠OEB=90°，∴∠CAF=∠OAF，∴△ACF≌△AHF，∴AC=AH=AO.

Rt△ABC中，sinB=．（3）∵AC//OD，∴，∵，，∴，由題意可知∠FAO≠90°，（i）當(dāng)∠AOF=90°時(shí)，可得∠B=∠FAO，由∠OAD=∠D，可得∠B=∠D，由OE⊥FB，得∠FOE=∠B，∴∠D=∠FOE，∴OF=FD，∴DE=OE，∴，∴，∴，∴；（ii）∠AFO=90°時(shí)，可得DF=FA，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理、三角形中位線的判定，圓周角定理等．（1）中能得出AC為△ABC的中位線是解題關(guān)鍵；（2）中能正確構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵；（3）需注意分類討論．14．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請(qǐng)證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過(guò)延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）如圖3，，組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先，再證為等腰三角形，進(jìn)一步證得，從而證得結(jié)論．（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進(jìn)而求得．【解析】證明：（1）如圖1，連接，，是劣弧的中點(diǎn)，，，，，，，為等腰三角形，，；（2）如圖2，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接，是圓內(nèi)接四邊形，，是劣弧的中點(diǎn)，，，為等腰三角形，，，，，（3）．連接，，，、相交于點(diǎn)，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理在5個(gè)條件中，1．平分弦所對(duì)的一條弧；2．平分弦所對(duì)的另一條?。?．平分弦；4．垂直于弦；5．經(jīng)過(guò)圓心（或者說(shuō)直徑）．只要具備任意兩個(gè)條件，就可以推出其他的三個(gè)．15．已知：兩條弦與相交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，直徑于點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）如圖所示，連接BC，只需要證明，得到∠CBD=∠BCA，即可證明BE=CE；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD于M，連接OA，先證明OM是△BDF的中位線，得到，再證明Rt△BOM≌Rt△AON得到ON=OM，即可證明；（3）連接AB，AO，AF，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AD于K，先證明△ANB≌△ANG得到，設(shè)ON=x，則，，，，由勾股定理得，證明△ABN∽△FAN，得到，推出，在Rt△ANG中，，證明△ANG∽△OKG，推出，則，據(jù)此求解即可．（1）解：如圖所示，連接BC，∵，∴，∴，即，∴∠CBD=∠BCA，∴BE=CE；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD于M，連接OA，∴BM=DM，∠BMO=90°，∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，O是BF的中點(diǎn)，∴OM是△BDF的中位線，∴，∵AC⊥BF，AC=BD，∴，在Rt△BOM和Rt△AON中，，∴Rt△BOM≌Rt△AON（HL），∴ON=OM，∴；（3）解：連接AB，AO，AF，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AD于K，∵BF是圓O的直徑，BF⊥AC，∴，∠ANB=∠ANG=90°，由（1）得，∴，∴∠BAC=∠DAC，在△ANB和△ANG中，，∴△ANB≌△ANG（ASA），∴，設(shè)ON=x，則，，∴，，∵OK⊥AD，AD=11，∴，在Rt△AKO中，，∵BF是直徑，∴∠BAF=90°，∴∠BAN+∠FAN=90°，又∵∠BAN+∠ABN=90°，∴∠ABN=∠FAN，∴△ABN∽△FAN，∴，∴，在Rt△ANG中，，∵∠OGK=∠AGN，∠ANG=∠OKG=90°，∴△ANG∽△OKG，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，弧、弦、圓周角之間的關(guān)系，等腰三角形的判定等等，正確作出對(duì)應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵．16．已知⊙O是△ABC的外接圓，CE為⊙O的直徑，交AB于點(diǎn)F，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，AD⊥BC．(1)如圖1，求證：∠BFC＝3∠BAD；(2)如圖2，連接AE、BE，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CE，垂足為G．求證：CE＝BE+2EG；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接DG交AB于點(diǎn)H，若，，求△CDG的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理知BD＝CD，則AB＝AC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）在CE上截取CP＝BE，連接AP，利用SAS證明△EBA≌△PCA，得AE＝AP，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）首先利用AAS證明△AGO≌△CDO，得OG＝OD，AG＝CD＝，利用三角函數(shù)可得CG，EG的長(zhǎng)，從而得出＝，過(guò)D作DQ⊥CG于Q，求出DQ的長(zhǎng)，從而得出答案．（1）證明：∵AD⊥BC，AD是過(guò)圓心的線段，∴BD＝CD，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BFC＝∠FAC+∠ACF，∴∠BFC＝3∠BAD；（2）如圖2，在CE上截取CP＝BE，連接AP，∵，∴∠EBA＝∠FCA，∵AB＝AC，∴△EBA≌△PCA（SAS），∴AE＝AP，∵AG⊥EC，∴EG＝PG，∴CE＝BE+2EG；（3）解：∵∠AGO＝∠CDO，AO＝CO，∠AOG＝∠COD，∴△AGO≌△CDO（AAS），∴OG＝OD，AG＝CD，∵，∴，∵直徑，∴∠EAG＝∠ACE，∴EG＝AG?tan∠EAG＝AG?tan∠ACE，∴，∴，∴，∴，過(guò)D作DQ⊥CG于Q，則DQ＝CD，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，證明△AGO≌△CDO是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)第三階——中考沙場(chǎng)點(diǎn)兵一、單選題1．（2022·貴州貴陽(yáng)·二模）如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，BC＝OD＝2，DC的長(zhǎng)等于（

）A．2 B．4 C． D．2【答案】D【分析】如圖，令、的交點(diǎn)為，由垂徑定理得，證明，則，，在中，由勾股定理得，求出的值，根據(jù)計(jì)算求解的值即可．【解析】解：如圖，令、的交點(diǎn)為，∵，是的直徑，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于由垂徑定理得到．2．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】先畫(huà)好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；【解析】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形進(jìn)行分類討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·山東威?！つM預(yù)測(cè)）中，點(diǎn)C為弦上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)D，則線段的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】連接，如圖，利用勾股定理得到，利用垂線段最短得到當(dāng)時(shí)，最小，再求出即可．【解析】解：連接，如圖，，，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最大，而時(shí)，最小，此時(shí)、兩點(diǎn)重合，，即的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出點(diǎn)的位置是解此題的關(guān)鍵．4．（2022·湖北十堰·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC是⊙O的弦，直徑DE⊥AC于點(diǎn)P．若點(diǎn)D在優(yōu)弧AC上，AB＝8，BC＝3，則DP＝（）A．6.5 B．4.5 C．5.5 D．6【答案】C【分析】由題目條件可得是的中位線，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)，得出結(jié)果．【解析】解：為直徑，，∵直徑，∴點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)與三角形結(jié)合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理、圓周角定理及中位線的性質(zhì)．5．（2022·河北·石家莊二十三中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，已知，以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．或4 D．或【答案】B【分析】如圖，作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度角的性質(zhì)即可求出BE，再根據(jù)垂徑定理即可以求出BD．【解析】解：如圖，作CE⊥AB于E，∠B=180°?∠A?∠ACB=180°?20°?130°=30°，在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，∴CE=BC=1，，∵CE⊥BD，∴DE=EB，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·山東淄博·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為5的與軸交于點(diǎn)，，與軸交于，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作于，于，連接，由題意知為中點(diǎn)，坐標(biāo)為，在中，由勾股定理得，求出的值，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，在中，由勾股定理求出的值，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】解：如圖，作于，于，連接由題意知為中點(diǎn)，坐標(biāo)為∵，在中，由勾股定理得∵∴在中，由勾股定理得∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于求出的坐標(biāo)．7．（2018·江蘇·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，將一塊等腰的直角頂點(diǎn)放在上，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角形，使邊經(jīng)過(guò)圓心，某一時(shí)刻，斜邊在上截得的線段，且，則的長(zhǎng)為（

）A．3cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】利用垂徑定理得ME=DM=1，利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)得OM與DO的關(guān)系式，解得結(jié)果．【解析】解：過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AB，∴ME=DM=1cm，設(shè)MO=h，CO=DO=x，∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，∴∠MAO=45°，∴AO=h∵AO=7-x，∴h＝7?x，在Rt△DMO中，h2=x2-1，∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17（舍去）或x=3，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合，建立等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．8．（2022·廣東·廣州市第一中學(xué)三模）如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，分別以AC，BC為邊向外作正方形ACDE，BCFG，DE，F(xiàn)G，AC，BC的中點(diǎn)分別是M，N，PQ若MP+NQ=12，AC+BC=18，則AB的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接OP，OQ分別與AC、BC相交于點(diǎn)I、H，根據(jù)DE，F(xiàn)G，，的中點(diǎn)分別是M，N，P，Q，得到OP⊥AC，OQ⊥BC，從而得到H、I是AC、BD的中點(diǎn)，利用中位線定理得到OH+OI=(AC+BC)=9和PH+QI=18-12=6，從而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．【解析】解：如下圖，連接OP，OQ分別與AC、BC相交于點(diǎn)I、H，∵DE，F(xiàn)G，，的中點(diǎn)分別是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中點(diǎn)，∴OH+OI=(AC+BC)=9，∴MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=12，∴PH+QI=18-12=6，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+6=15，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．二、填空題9．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)H，若∠D=30°，AD=cm，則AB=________cm．【答案】【分析】根據(jù)∠D=30°，直角三角形中30°角對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半計(jì)算出AH，再根據(jù)垂直于弦的直徑平分弦得到AB=2AH計(jì)算出AB．【解析】在中，∠D=30°∴∴cm∵弦AB⊥CD∴cm故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．10．（2022·山西·一模）直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，，到直線的距離為，，則的半徑是______．【答案】13【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，連接OC，然后利用垂徑定理得到AC=12cm，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，連接OC，∴，，∴，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和勾股定理，熟知垂徑定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022·廣東·東莞市東莞中學(xué)初中部一模）如圖，的直徑弦AB于點(diǎn)E，已知，，則_______．【答案】【分析】連接OB，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得∠BOE的度數(shù)，從而易得△BOE是等腰直角三角形，由垂徑定理及勾股定理可求得結(jié)果．【解析】如圖，連接OB，則OB=OD∴∠OBD=∠D=22.5゜∴∠EOB=∠D+∠OBD=45゜∵CD⊥AB，且CD為直徑∴，∠OBE=∠EOB=45゜∴OE=BE=4由勾股定理得：∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題是圓的內(nèi)容的小綜合，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題目及圖形特點(diǎn)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)鍵．12．（2020·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的一條割線交于點(diǎn)，若，，且，則_______．【答案】6【分析】作OD⊥AB于D，由垂徑定理得出AD＝BD，由三角函數(shù)定義得出sin∠OAB＝，設(shè)OD＝4x，則OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，由勾股定理的AD＝3x，由含30角的直角三角形的性質(zhì)得出OP＝2OD，得出方程3＋5x＝2×4x，解得x＝1，得出BD＝AD＝3即可．【解析】作OD⊥AB于D，如圖所示：則AD＝BD，∵sin∠OAB＝，∴設(shè)OD＝4x，則OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，AD＝＝3x，∵∠OPA＝30，∴OP＝2OD，∴3＋5x＝2×4x，解得：x＝1，∴BD＝AD＝3，∴AB＝6；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題看了垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022·浙江寧波·一模）如圖，圓O的半徑為4，點(diǎn)P是直徑AB上定點(diǎn)，，過(guò)P的直線與圓O交于C，D兩點(diǎn)，則△COD面積的最大值為_(kāi)_____；作弦于H，則CH的最大值為_(kāi)_______．【答案】

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##【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，再解直角三角形可得，利用勾股定理可得，然后根據(jù)垂徑定理可得，解直角三角形可得，令，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得的最大值，最后根據(jù)的