2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市高三上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市高三上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．集合，則（

）A． B． C． D．2．命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．3．若，則（

）A． B． C． D．4．在中，已知，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形5．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若，則有（

）A． B．C． D．7．已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若在上無(wú)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱軸D．直線是曲線的切線11．南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜幕，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)：一為從隅，開(kāi)平方得積可用公式（其中a、b、c、S為三角形的三邊和面積）表示.在中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，若，且，則下列命題正確的是（

）A．面積的最大值是B．C．D．面積的最大值是12．已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．函數(shù)的最大值為.14．已知?jiǎng)t.15．已知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù).16．已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的解,且,則的最小值是,的最大值是.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17．設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，且）的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)減區(qū)間；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．為了在冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層，某棟房屋要建造能使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層的建造成本是6萬(wàn)元，該棟房屋每年的能源消耗費(fèi)用C（萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（厘米）滿足關(guān)系式：若無(wú)隔熱層，則每年能源消耗費(fèi)用為5萬(wàn)元.設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與使用20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求C（x）和f（x）的表達(dá)式;(2)當(dāng)隔熱層修建多少厘米厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）最小，并求出最小值.19．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角B；(2)已知，求的面積．20．已知函數(shù)對(duì)于任意，總有，且時(shí)，.(1)求證：在上是奇函數(shù)；(2)求證：在上是減函數(shù)；(3)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值.21．已知函數(shù)，其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)，；(2)若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.1．C首先求集合，比較集合后判斷選項(xiàng).【詳解】由三角函數(shù)性質(zhì)可知，又因?yàn)?，所?故選：C2．C【分析】根據(jù)命題的真假可得參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定其必要不充分條件.【詳解】由命題“，”為真命題，得，所以，所以為該命題的一個(gè)必要不充分條件，故選：C.3．A【分析】由可求得，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系將原式化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，故，則，所以，故選：A4．D【分析】利二倍角公式展開(kāi)，再由正余弦定理角化邊，然后因式分解可得.【詳解】因?yàn)?，所以，由正余弦定理可得，整理得，所以或，所以為等腰三角形或直角三角?故選：D5．C【分析】由函數(shù)解析式得出函數(shù)的奇偶性，再由特殊值對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：因?yàn)椋x域?yàn)?，即為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B、D，當(dāng)時(shí)，，故排除，故選：．6．A【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較的大小后可得結(jié)論．【詳解】是增函數(shù)，是減函數(shù)，因此在是增函數(shù)，且此時(shí)．在時(shí)是增函數(shù)，所以在定義域內(nèi)是增函數(shù)．，，，即，所以．故選：A．7．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再利用奇偶性求出解集.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，則也是偶函數(shù),所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?所以,即,則，解得，故選：D.8．B【分析】化簡(jiǎn)得出，由計(jì)算得出，根據(jù)已知條件得出，解出的范圍，再對(duì)整數(shù)賦值可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋驗(yàn)榍?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)零點(diǎn)，故，所以，，解得，由，解得，，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.9．BCD【分析】對(duì)于ACD利用基本不等式即可證明，對(duì)于B利用等量替換即可求解.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，A錯(cuò)誤；由，得，故，B正確；由，知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，C正確；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故D正確.故選：BCD.10．AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．11．BD【分析】化簡(jiǎn)，利用兩角和的正弦公式可得，結(jié)合額正弦定理角化邊可判斷B；利用結(jié)合B的結(jié)論化簡(jiǎn)并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得面積的最大值，判斷A，D；假設(shè)正確，結(jié)合面積公式推出矛盾，判斷C.【詳解】由題意，得，即,即，結(jié)合正弦定理得，B正確；由得，當(dāng)，即時(shí)，面積取到最大值是，A錯(cuò)誤，D正確，對(duì)于C，假設(shè)，由于，，故，則，這與三角形面積有意義不相符，C錯(cuò)誤，故選：BD12．ACD【分析】由已知得出，化簡(jiǎn)變形后可判斷A選項(xiàng)的正誤；取可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用構(gòu)造函數(shù)法證明CD選項(xiàng)中的不等式，可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】由可得，可知直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).對(duì)于A選項(xiàng)，由已知可得，消去可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，取，則，所以，，故，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，所以，，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，D對(duì).故選：ACD.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).13．【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式可將函數(shù)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，.故答案為.14．【分析】根據(jù)二倍角正切公式，計(jì)算，再根據(jù)兩角和的正切公式，計(jì)算，由題意可知，求解即可.【詳解】，即，即則故本題考查三角函數(shù)給值求角，屬于中檔題.15．1【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，由求得和，可用消元法消去，然后引入新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定方程有唯一解，從而得解，再求得值．【詳解】，，設(shè)公共點(diǎn)為，則，即，消得，令，∴在上單調(diào)遞增，又，∴，．.故1.16．14【分析】畫出的圖像,再數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)的的最小值,再根據(jù)對(duì)稱性與函數(shù)的解析式判斷中的定量關(guān)系化簡(jiǎn)再求最值即可.【詳解】畫出的圖像有：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的解,故的圖像與有四個(gè)不同的交點(diǎn),又由圖,,故的取值范圍是,故的最小值是1.又由圖可知,,,故,故.故.又當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,故.又在時(shí)為減函數(shù),故當(dāng)時(shí)取最大值.故(1).1

(2).4本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及范圍的問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析交點(diǎn)間的關(guān)系,并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于難題.17．（1），（2）（1）有最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)得，根據(jù)由五點(diǎn)作圖法知，由第二點(diǎn)、第五點(diǎn)橫坐標(biāo)，得出關(guān)于的關(guān)系式，求解，即可求出解析式，用整體替換正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即可求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，只需，利用整體思想結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)圖象得，由五點(diǎn)作圖法知，解得所以函數(shù)的解析式.由，得故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（2）由題意在上恒成立所以當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)，即時(shí)，取得最大值∴，故的取值范圍是本題考查由圖像求解析式，利用特殊點(diǎn)坐標(biāo)與五點(diǎn)畫法中點(diǎn)的關(guān)系求參數(shù)，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查恒成立問(wèn)題，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題.18．(1)，(2)隔熱層修建4厘米時(shí)，總費(fèi)用最少，最少為64萬(wàn)元【分析】（1）根據(jù)無(wú)隔熱層，則每年能源消耗費(fèi)用為5萬(wàn)元得到，解方程得到，即可得到，然后根據(jù)題意求即可；（2）利用基本不等式求最小值即可.【詳解】（1）若無(wú)隔熱層，則每年能源消耗費(fèi)用為5萬(wàn)元，所以，解得，所以，.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)隔熱層修建4厘米時(shí)，總費(fèi)用最小，最小為64萬(wàn)元.19．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合正弦定理及三角恒等變換，化簡(jiǎn)可得的值，討論即可得角B（2）結(jié)合余弦定理及完全平方公式，可求得，即可由面積公式求得結(jié)果【詳解】（1），由正弦定理可得，，即，化簡(jiǎn)可得，，又．（2）在中，由余弦定理可得，，，．20．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)最大值為2，最小值為－2【分析】（1）根據(jù)條件，通過(guò)賦值得到，再令即可證明結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果和條件，再利用單調(diào)性的定義即可證明結(jié)果；（3）利用（2）中結(jié)果，得到在上也是減函數(shù)，再利用單調(diào)性和條件即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)于任意，總有，令，得，令，得，即，所以在上是奇函數(shù).（2）在上任取，則，又因?yàn)?，因?yàn)闀r(shí)，，所以，得到，所以在上是減函數(shù).（3）因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以在上也是減函數(shù)，所以在上的最大值和最小值分別為和，而，，所以在上的最大值為2，最小值為－2.21．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而即可證明；若函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點(diǎn)．法一：通過(guò)討論a的范圍，對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)分析求解即可；法二：令，方程在上有實(shí)根，即函數(shù)與函數(shù)在上有交點(diǎn)，討論在上的交點(diǎn)情況即可求解．【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，對(duì)．（2）解：法一：若函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，，，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立，當(dāng)時(shí)，，為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上無(wú)極值．綜上知，使在上存在極值的a的取值范圍是．法二：若函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點(diǎn)，令，則令，方程在上有實(shí)根，即函數(shù)與函數(shù)在上有交點(diǎn)．由，得，顯然，，在上單調(diào)遞減，則，所以，當(dāng)時(shí)，與有交點(diǎn)，a的取值范圍是．即當(dāng)時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立，當(dāng)時(shí)，，為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)．綜上知，函數(shù)在上存在極值，a的取值范圍是．方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)在給定區(qū)間上存在極值，求參數(shù)問(wèn)題，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上存在零點(diǎn)問(wèn)題，通常可用討論參數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性通過(guò)零點(diǎn)存在性定理判斷，或者是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題來(lái)解決.22．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)在上恒大于等