山東省青島市2024屆高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2024屆高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式解得，則有，又，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由，得，.故選：B3.設(shè)，，若，則（）A.5 B. C.20 D.25〖答案〗A〖解析〗，，若，則有，解得，則有，得.故選：A.4.已知某設(shè)備的使用年限（年）與年維護(hù)費(fèi)用（千元）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：2456839由所給數(shù)據(jù)分析可知：與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，因回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，解得.故選：B.5.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，、、成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?、、成等差?shù)列，即，即，即，所以，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槭敲宽?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則，因此，.故選：D.6.若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)為奇函數(shù)，，解得.時(shí)，，函數(shù)定義域?yàn)镽，滿足，函數(shù)為奇函數(shù).所以.故選：C7.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，在上，，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗拋物線的開口向上，由于在上，且，根據(jù)拋物線的定義可知，所以拋物線的方程為.故選：A8.已知，，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由兩邊平方得①，由兩邊平方得②，由①②兩式相加并化簡(jiǎn)得，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.一組樣本數(shù)據(jù)11，19，15，16，19，則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)是19 B.平均數(shù)是16 C.中位數(shù)是15 D.方差是44〖答案〗AB〖解析〗這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以眾數(shù)是，A選項(xiàng)正確；中位數(shù)是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；平均數(shù)是，B選項(xiàng)正確.方差是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.已知的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則（）A. B.展開式中的系數(shù)為C.展開式中常數(shù)項(xiàng)為16 D.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1〖答案〗ABD〖解析〗由二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得，A選項(xiàng)正確；展開式的通項(xiàng)為，時(shí)，，展開式中的系數(shù)為，B選項(xiàng)正確；時(shí)，，展開式中常數(shù)項(xiàng)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；中，令，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.（多選）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則（）A.正四棱錐的體積為 B.側(cè)棱與底面所成角為C.其外接球的半徑為 D.其內(nèi)切球的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗如圖所示：設(shè)為底面正方形的中心，所以.對(duì)于A選項(xiàng)：由棱錐體積公式可知，只需求出棱錐的高（即的長(zhǎng)度即可），由已知底面正方形的邊長(zhǎng)為4且側(cè)棱，所以有，且由勾股定理有，棱錐的高，綜上；故A選項(xiàng)不符題意.對(duì)于B選項(xiàng)：注意到，所以側(cè)棱與底面所成的平面角為，由以上分析可知，所以；故B選項(xiàng)符合題意.對(duì)于C選項(xiàng):由對(duì)稱性可知正四棱錐外接球球心一定在高上.如圖所示：設(shè)點(diǎn)為外接球球心，為外接球半徑.由勾股定理得，即，解得，故C選項(xiàng)符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)：由以上分析注意到一方面有，另一方面，其中為內(nèi)切球的半徑分別為正方形的面積，顯然，且面積相等，所以只需求出等腰三角形的面積即可，其平面圖如圖所示：設(shè)為中點(diǎn)，所以，又，由三線合一可知，由勾股定理可得，所以，所以，結(jié)合以及可得，解得；故D選項(xiàng)符合題意.故選：BCD.12.已知函數(shù)，則（）A.是極大值點(diǎn)B.有且只有1個(gè)零點(diǎn)C.存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意成立D.若，，則〖答案〗BD〖解析〗，定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以是極小值點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，，所以存在唯一零點(diǎn)，且，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由對(duì)于任意成立，即對(duì)于任意成立，構(gòu)造函數(shù)，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，沒有最小值，且，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，令，則，令，，所以在上單調(diào)遞減，則，則，令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，當(dāng)時(shí)，成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題13.函數(shù)的最小正周期為，則__________.〖答案〗1〖解析〗函數(shù)的最小正周期為，則，解得.故〖答案〗為：1.14.已知圓：，直線過(guò).若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，寫出滿足上面條件的一條直線的方程__________.〖答案〗（寫出或中的一個(gè)即可）〖解析〗圓：的圓心為，半徑為，當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，此時(shí)：，圓心到：的距離為1，由，可知圓心到直線的距離為,故：滿足要求，當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，故圓心到直線的距離為，解得，所以直線方程為，故滿足題意的直線有：和，故〖答案〗為：（寫出或中的一個(gè)即可）15.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球給人類保留宇宙秘密的遺產(chǎn)”，若要測(cè)量如圖所示某藍(lán)洞口邊緣，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測(cè)得海里，，，，則，兩點(diǎn)的距離為__________海里.〖答案〗〖解析〗在三角形中，，所以，所以，在三角形中，，由正弦定理得，在三角形中，，所以（海里）.故〖答案〗為：16.橢圓：與其對(duì)稱軸交于四點(diǎn)，按逆時(shí)針方向順次連接這四個(gè)點(diǎn)，所得的四邊形的面積為，且的離心率為，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為__________；直線：與交于，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的值為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，且，又，故，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，聯(lián)立與可得，設(shè),則，故，由于以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以,,故，所以，化簡(jiǎn)可得，滿足，故，故〖答案〗為：，四、解答題17.中，已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求的大??；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)椋?所以，因?yàn)?，所?所以，所以是銳角，且.（2）因?yàn)椋?，，又，由正弦定理，所?18.在長(zhǎng)方體中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)檎叫?，所以，因?yàn)?，平面所以平面?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，；，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，，所以，平面與平面的夾角的余弦值為.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐?為，求的面積.解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得：所以的方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；設(shè)，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.20.已知數(shù)列中，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）若，求數(shù)列的行前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，因?yàn)?，，所以所以所以，，，……，所以所以所以因?yàn)檫m合上式，所以（2）因?yàn)?所以21.某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人.次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過(guò)傳出來(lái)的球”發(fā)生的概率為.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，記乙、丙、丁三人中接過(guò)傳出來(lái)的球的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）當(dāng)時(shí)，證明：.（1）解：乙、丙、丁三人每次接到傳球的概率均為，3次傳球后，事件“乙、兩、丁三人均接過(guò)傳出來(lái)的球”發(fā)生的概率為.（2）解：由題意知，的可能取值為1，2，3，，，，的分布列如下：123.（3）證明：次傳球后乙、丙、丁三人均接過(guò)他人傳球，有兩種情況，其一為：次傳球后乙、丙、丁三人均接過(guò)他人傳球，這種情況的概率為；其二是為：次傳球后乙、兩、丁中只有兩人接過(guò)他人傳球，第次傳球時(shí)將球傳給剩余一人，這種情況的概率為.所以，當(dāng)時(shí)，所以.22.已知，函數(shù).（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：；（3）若為的極值點(diǎn)，點(diǎn)在圓上.求.（1）解：，，由，得切點(diǎn)為由，有，即在點(diǎn)處的切線斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為：.（2）證明：因?yàn)?，)，設(shè)函數(shù)，