專題2.24 軸對稱的最值問題（直通中考）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題2.24軸對稱的最值問題（直通中考）【要點(diǎn)回顧】（1）垂直線段最短問題；（2）將軍飲馬問題；（3）造橋選址問題．一、單選題1．（2020·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在中，AB＝AC，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)．若BC＝4，面積為10，則BM+MD長度的最小值為（）A． B．3 C．4 D．52．（2019·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在小正三角形組成的網(wǎng)格中，已有個(gè)小正三角形涂黑，還需涂黑個(gè)小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（2017·天津·中考真題）如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個(gè)動點(diǎn)，則下列線段的長度等于最小值的是（）A． B． C． D．4．（2015·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．5．（2020·安徽·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形中，，垂直的角平分線于，為的中點(diǎn)，連接．則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值（

）A． B． C． D．6．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕l與交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到的距離為，點(diǎn)Q為上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）

A． B． C． D．7．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，邊長為6的等邊三角形中，D在上，E為對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，作等邊三角形，則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，的最小值為（）A．6 B．3 C．2 D．1.58．（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，已知點(diǎn)D，E分別在的邊，上，若，，由作圖痕跡可得，的最小值是（

)A．2 B．3 C．6 D．9．（2019·山東德州·校聯(lián)考一模）如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動點(diǎn)，則周長的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．1210．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，若D是邊上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題11．（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，則的最大值與最小值的差為．12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一張平行四邊形紙片，，，將這張紙片折疊，使得點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，若點(diǎn)在邊上，則長的最小值等于．13．（2009·山東淄博·中考真題）已知，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A為OM上一點(diǎn)，點(diǎn)B為ON上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時(shí)，的度數(shù)為．14．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，已知等邊，點(diǎn)D為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，，則的最大值是．15．（2021·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點(diǎn)，則｜PA－PB|的最大值為．16．（2021·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E為AB邊中點(diǎn)，且∠CED＝120°，則邊DC長度的最大值為．17．（2023·山西太原·太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，的面積是10．的垂直平分線分別交邊于兩點(diǎn)，在線段上存在一點(diǎn)，使三點(diǎn)構(gòu)成的的周長最小，則周長的最小值為．18．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）如圖，等邊中，于D，，點(diǎn)P、Q分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)且，在上有一動點(diǎn)E使最短，則的最小值為．三、解答題19．（2019·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)B，E在AD異側(cè)，I為△APC的內(nèi)心．（1）求證：∠BAD=∠CAE；（2）設(shè)AP=x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當(dāng)AB⊥AC時(shí)，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值．20．（2021·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，取AD的中點(diǎn)M，連接CM，ME．（1)填空：CM與ME的數(shù)量關(guān)系為，∠CME的度數(shù)為．（2）將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜360°），請判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立．若成立，請就圖（2）給出證明；若不成立，請說明理由；（3）將△BDE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，且BC＝3，BD＝1，請直接寫出線段CM的最大值和最小值．21．（2018·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（1）若∠ABC＝70°，則∠NMA的度數(shù)是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請你直接寫出△PBC周長的最小值．22．（2022·廣東佛山·佛山市南海區(qū)石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個(gè)動點(diǎn)（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，當(dāng)四邊形ADCE的周長取最小值時(shí)，求BD的長．23．（2020·河北石家莊·石家莊市第四十中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，和中，，，，邊與邊交于點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)，在異側(cè)，為的內(nèi)心．

（1）求證：；（2）設(shè)，用含的式子表示為___________，則求的最大值為_______．（3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，則________，________．24．（2023·湖北襄陽·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（1）若∠ABC=70°，則∠MBC的度數(shù)是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請你直接寫出△PBC周長的最小值．參考答案1．D【分析】由基本作圖得到得EF垂直平分AB，則MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，連接MA、DA，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷MA+MD的最小值為AD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，然后利用三角形面積公式計(jì)算出AD即可．【詳解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，連接MA、DA，如圖，∵M(jìn)A+MD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)在AD上時(shí)取等號），∴MA+MD的最小值為AD，∵AB＝AC，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵∴∴BM+MD長度的最小值為5．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用軸對稱求線段和的最小值，三角形的面積，兩點(diǎn)之間，線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】由等邊三角形有三條對稱軸可得答案．【詳解】如圖所示，n的最小值為3．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是掌握常見圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形的性質(zhì)．3．B【詳解】試題分析：在中，，AD是的中線，可得點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)CE，交AD于點(diǎn)P，此時(shí)最小，為EC的長，故選B.4．B【詳解】作點(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)P1，作點(diǎn)P關(guān)于OB對稱的點(diǎn)P2，連接P1P2，與OA交于點(diǎn)M，與OB交于點(diǎn)N，由線段垂直平分線性質(zhì)可得出△PMN的周長就是P1P2的長，此時(shí)△PMN的周長最小．∵OP=5，△PMN周長的最小值是5cm，∴OP2=OP1=OP=5．又∵P1P2=5，∴OP1=OP2=P1P2，∴△OP1P2是等邊三角形，∴∠P2OP1=60°，∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°，故選：B．5．C【分析】延長交的延長線于點(diǎn)．設(shè)交于點(diǎn)，首先證明，當(dāng)CD⊥AC時(shí)，△ACD的面積最大．【詳解】解：延長交的延長線于點(diǎn)．設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．6．C【分析】由折疊可得：為的角平分線，根據(jù)垂線段最短即可解答．【詳解】解：∵將折疊，使邊落在邊上，∴為的角平分線，∵點(diǎn)Q為上任意一點(diǎn)，∴的最小值等于點(diǎn)P到的距離3cm．故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識點(diǎn)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等是解答本題的關(guān)鍵．7．D【分析】連接．由易得，則可得，從而確定點(diǎn)F的運(yùn)動路徑，由垂線段最短即可求得的最小值．【詳解】解：如下圖所示，連接．∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴．又∵為的對稱軸，，∴．當(dāng)點(diǎn)E在對稱軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)F在所在直線上運(yùn)動，∴當(dāng)時(shí)，值最小，最小值為．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，證明兩個(gè)三角形全等并確定點(diǎn)F的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)作圖痕跡可得平分，結(jié)合可得，根據(jù)點(diǎn)到直線距離垂線段最短結(jié)合直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，平分，∵，∴，當(dāng)時(shí)，最短，∵，∴，故選C；【點(diǎn)撥】本題考查角平分線作圖，點(diǎn)到直線距離垂線段最短及直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線作圖得到平分．9．C【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴的長為的最小值，∴周長的最小值為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對稱——最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．10．D【分析】過點(diǎn)C作射線，使，再過動點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，在中，當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長．【詳解】解：過點(diǎn)C作射線，使，再過動點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時(shí)，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．11．12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等與三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．12．2【分析】根據(jù)題意，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，符合題意，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵將這張紙片折疊，使得點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，而,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)的長最小，∴．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，理解當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的長最小是解題的關(guān)鍵．13．80°【分析】如圖，分別作P關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)，然后連接兩個(gè)對稱點(diǎn)即可得到A、B兩點(diǎn)，由此即可得到△PAB的周長取最小值時(shí)的情況，并且求出∠APB度數(shù)．【詳解】解：如圖，分別作P關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)P1、P2，然后連接兩個(gè)對稱點(diǎn)即可得到A、B兩點(diǎn)，∴△PAB即為所求的三角形，根據(jù)對稱性知道：∠APO=∠AP1O，∠BPO=∠BP2O，還根據(jù)對稱性知道：∠P1OP2=2∠MON，OP1=OP2，而∠MON=50°，∴∠P1OP2=100°，∴∠AP1O=∠BP2O=40°，∴∠APB=2×40°=80°．故答案為80°．14．3【分析】以為邊作等邊三角形，證明得，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的最大值即可求解．【詳解】如圖，以為邊作等邊三角形，則．∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴的最大值是3．故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．15．6【分析】作A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于P，則點(diǎn)P就是使|PA-PB|的值最大的點(diǎn)，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據(jù)角的和差關(guān)系得到∠ACD=75°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，作A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接并延長交延長線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是使的值最大的點(diǎn)，，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對稱，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6【點(diǎn)撥】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．16．9【分析】將沿DE翻折到的位置，將沿EC翻折到的位置，連接，證明是等邊三角形，得，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得結(jié)論．【詳解】解：將沿DE翻折到的位置，將沿EC翻折到的位置，連接，如圖，由翻折知，，，，∵∠CED＝120°，∴∴∴∴∴是等邊三角形，∴由兩點(diǎn)之間線段最短得，當(dāng)在同一條直線時(shí)，取最大值為：3+3+3=9，故答案為：9．【點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的判定以及兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用，證明是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．17．7【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得與關(guān)于對稱，連接，交于點(diǎn)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的周長最小，為的長．【詳解】解：是線段的垂直平分線，與關(guān)于對稱，如圖所示，連接，交于點(diǎn)，，，周長，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的周長最小，為的長，為邊的中點(diǎn)，，，，，，，周長，周長的最小值為7，故答案為：7．【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對稱求最短，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．18．8【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)求出，作點(diǎn)Q關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于E，連接，此時(shí)的值最小．最小值，求得，再證是等邊三角形，得到即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴∵，∴，如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于E，連接，此時(shí)的值最小．最小值，∵∴∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴的最小值為8．故答案為：8．【點(diǎn)撥】此題考查了軸對稱性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（1）詳見解析；（2）PD的最大值為3；（3）m=105，n=150．【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出結(jié)論．（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC時(shí)AP的長度，此時(shí)PD可得最大值．（3）I為△APC的內(nèi)心，即I為△APC角平分線的交點(diǎn)，應(yīng)用“三角形內(nèi)角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值．【詳解】（1）如圖1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．當(dāng)AD⊥BC時(shí)，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3為PD的最大值．（3）如圖2，設(shè)∠BAP=α，則∠APC=α+30°．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．∵I為△APC的內(nèi)心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．【點(diǎn)撥】本題是一道幾何綜合題，考查了垂線段最短，含30°的角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)心概念及角平分線定義等，解題的關(guān)鍵是將PD最大值轉(zhuǎn)化為PA的最小值．20．(1)CM=ME，60°（2）成立，證明見解析(3)CM的最大值為和最小值為【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)可得AM=CM=AD，AM=ME=AD，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠CME=60°；(2)取BD中點(diǎn)N，連接MN，CE，由三角形的中位線定理可得AB=2MN，可得MN=BC，由直角三角形的性質(zhì)可證△BNE是等邊三角形，可得BE=BN=EN，∠ENB=∠EBN=∠NEB=60°，由“SAS”可證△CEB≌△MEN，可得ME=EC，∠CEB=∠MEN，可證△MEC是等邊三角形，可得CM=ME，∠CME=60°；(3)由直角三角形的性質(zhì)可求BE=，則點(diǎn)E在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓上，即可求解．【詳解】（1）解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴AM=CM=AD，AM=ME=AD，∴MC=ME，∠MAC=∠MCA，∠MAE=∠MEA，∴∠CME=2(∠MAC+∠MAE)=2∠CAB=60°，故答案為：CM=ME，60°；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，取BD中點(diǎn)N，連接MN，CE，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，AB=2BC，∵將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=∠DBE=60°，∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，∠DEB=90°，∴EN=BN，∴△BNE是等邊三角形，∴BE=BN=EN，∠ENB=∠EBN=∠NEB=60°，∵點(diǎn)M是AD中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，∴，AB=2MN，∴∠MNB+∠ABD=180°，BC=MN，∴∠MNE+∠ABE=60°，∵∠ABE+∠CBE=60°，∴∠CBE=∠MNE，∴△CEB≌△MEN(SAS)，∴ME=EC，∠CEB=∠MEN，∴∠MEC=∠NEB=60°，∴△MEC是等邊三角形，∴CM=ME，∠CME=60°；（3）解：∵BD=1，∠BDE=90°?∠DBE=30°，∴BE=，∴點(diǎn)E在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓上，∴點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，CE有最小值，即CM的最小值為；點(diǎn)E在線段CB的延長線上時(shí)，CE有最大值，即CM的最大值為，∴CM的最大值為和最小值為.【點(diǎn)撥】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．21．(1)50(2)①6；②14【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AM＝BM，然后求出△MBC的周長＝AC＋BC，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；②當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，△PBC周長的值最小，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案為：50；（2）①∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴△MBC的周長＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，∵AB＝8，△MBC的周長是14，∴BC＝14﹣8＝6；②當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，△PBC周長的值最小，理由：∵PB＋PC＝PA＋PC，PA＋PC≥AC，∴P與M重合時(shí)，PA＋PC＝AC，此時(shí)PB＋PC最小，∴△PBC周長的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14．【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）見詳解；（2）【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知,再利用等量代換可得，最后利用SAS可證全等；（2）由△ABD≌△ACE可知,AD=AE,當(dāng)四邊形ADCE的周長取最小值時(shí),即AD取最小值時(shí)，此時(shí)AD⊥BC，求出此時(shí)BD的值即可得出答案.【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形∵∠DAE=60°即在和中，（2）∵△ABD≌△ACE∴,AD=AE,∴四邊形ADCE的周長為∴當(dāng)四邊形ADCE的周長取最小值時(shí),即AD取最小值時(shí)，此時(shí)AD⊥BC，【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線段最短，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.23．（1）見解析；（2）6-x，3；（3）105°，145°．【分析】（1）由條件易證△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE即可．（2）PD＝AD－AP＝6－x，∵點(diǎn)P在線段BC上且不與B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC時(shí)AP的長度，此時(shí)PD可得最大值．（3）I為△APC的內(nèi)心，即I為△APC角平分線的交點(diǎn)，應(yīng)用“三角形內(nèi)角和等于180°“及角平分線