專題2.24 軸對稱的最值問題（直通中考）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題2.24軸對稱的最值問題（直通中考）【要點回顧】（1）垂直線段最短問題；（2）將軍飲馬問題；（3）造橋選址問題．一、單選題1．（2020·山東濟南·中考真題）如圖，在中，AB＝AC，分別以點A、B為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC＝4，面積為10，則BM+MD長度的最小值為（）A． B．3 C．4 D．52．（2019·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在小正三角形組成的網(wǎng)格中，已有個小正三角形涂黑，還需涂黑個小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（2017·天津·中考真題）如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是（）A． B． C． D．4．（2015·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．5．（2020·安徽·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形中，，垂直的角平分線于，為的中點，連接．則圖中兩個陰影部分面積之差的最大值（

）A． B． C． D．6．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕l與交于點P，且點P到的距離為，點Q為上任意一點，則的最小值為（

）

A． B． C． D．7．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，邊長為6的等邊三角形中，D在上，E為對稱軸上的一個動點，連接，作等邊三角形，則在點E運動過程中，的最小值為（）A．6 B．3 C．2 D．1.58．（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，已知點D，E分別在的邊，上，若，，由作圖痕跡可得，的最小值是（

)A．2 B．3 C．6 D．9．（2019·山東德州·校聯(lián)考一模）如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交邊于E，F(xiàn)點．若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則周長的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．1210．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題11．（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為．12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一張平行四邊形紙片，，，將這張紙片折疊，使得點落在邊上，點的對應點為點，折痕為，若點在邊上，則長的最小值等于．13．（2009·山東淄博·中考真題）已知，點P為內(nèi)一點，點A為OM上一點，點B為ON上一點，當?shù)闹荛L取最小值時，的度數(shù)為．14．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，已知等邊，點D為平面內(nèi)任意一點，且，，則的最大值是．15．（2021·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則｜PA－PB|的最大值為．16．（2021·陜西西安·交大附中分校?？寄M預測）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E為AB邊中點，且∠CED＝120°，則邊DC長度的最大值為．17．（2023·山西太原·太原市實驗中學校考一模）如圖，在中，，點為中點，的面積是10．的垂直平分線分別交邊于兩點，在線段上存在一點，使三點構成的的周長最小，則周長的最小值為．18．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）如圖，等邊中，于D，，點P、Q分別為上的兩個定點且，在上有一動點E使最短，則的最小值為．三、解答題19．（2019·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側，I為△APC的內(nèi)心．（1）求證：∠BAD=∠CAE；（2）設AP=x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值．20．（2021·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為邊BC上一點（不與點B，C重合），過點D作DE⊥AB于點E，取AD的中點M，連接CM，ME．（1)填空：CM與ME的數(shù)量關系為，∠CME的度數(shù)為．（2）將△BDE繞點B順時針旋轉，旋轉角為a（0°＜a＜360°），請判斷（1）中的結論是否仍然成立．若成立，請就圖（2）給出證明；若不成立，請說明理由；（3）將△BDE繞點B在平面內(nèi)自由旋轉，且BC＝3，BD＝1，請直接寫出線段CM的最大值和最小值．21．（2018·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．（1）若∠ABC＝70°，則∠NMA的度數(shù)是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．22．（2022·廣東佛山·佛山市南海區(qū)石門實驗學校?？寄M預測）如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個動點（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，當四邊形ADCE的周長取最小值時，求BD的長．23．（2020·河北石家莊·石家莊市第四十中學?？寄M預測）如圖，和中，，，，邊與邊交于點（不與點，重合），點，在異側，為的內(nèi)心．

（1）求證：；（2）設，用含的式子表示為___________，則求的最大值為_______．（3）當時，的取值范圍為，則________，________．24．（2023·湖北襄陽·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．（1）若∠ABC=70°，則∠MBC的度數(shù)是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．參考答案1．D【分析】由基本作圖得到得EF垂直平分AB，則MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，連接MA、DA，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷MA+MD的最小值為AD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，然后利用三角形面積公式計算出AD即可．【詳解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，連接MA、DA，如圖，∵MA+MD≥AD（當且僅當M點在AD上時取等號），∴MA+MD的最小值為AD，∵AB＝AC，D點為BC的中點，∴AD⊥BC，∵∴∴BM+MD長度的最小值為5．故選：D．【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用軸對稱求線段和的最小值，三角形的面積，兩點之間，線段最短，掌握以上知識是解題的關鍵．2．C【分析】由等邊三角形有三條對稱軸可得答案．【詳解】如圖所示，n的最小值為3．故選C．【點撥】本題考查了利用軸對稱設計圖案，解題的關鍵是掌握常見圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形的性質(zhì)．3．B【詳解】試題分析：在中，，AD是的中線，可得點B和點D關于直線AD對稱，連結CE，交AD于點P，此時最小，為EC的長，故選B.4．B【詳解】作點P關于OA對稱的點P1，作點P關于OB對稱的點P2，連接P1P2，與OA交于點M，與OB交于點N，由線段垂直平分線性質(zhì)可得出△PMN的周長就是P1P2的長，此時△PMN的周長最?。逴P=5，△PMN周長的最小值是5cm，∴OP2=OP1=OP=5．又∵P1P2=5，∴OP1=OP2=P1P2，∴△OP1P2是等邊三角形，∴∠P2OP1=60°，∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°，故選：B．5．C【分析】延長交的延長線于點．設交于點，首先證明，當CD⊥AC時，△ACD的面積最大．【詳解】解：延長交的延長線于點．設交于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，當時，的面積最大，最大面積為．故選C．【點撥】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．6．C【分析】由折疊可得：為的角平分線，根據(jù)垂線段最短即可解答．【詳解】解：∵將折疊，使邊落在邊上，∴為的角平分線，∵點Q為上任意一點，∴的最小值等于點P到的距離3cm．故選C．【點撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識點，掌握角平分線上的點到兩邊距離相等是解答本題的關鍵．7．D【分析】連接．由易得，則可得，從而確定點F的運動路徑，由垂線段最短即可求得的最小值．【詳解】解：如下圖所示，連接．∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴．又∵為的對稱軸，，∴．當點E在對稱軸上運動時，點F在所在直線上運動，∴當時，值最小，最小值為．故選：D．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，證明兩個三角形全等并確定點F的運動路徑是解題的關鍵．8．C【分析】根據(jù)作圖痕跡可得平分，結合可得，根據(jù)點到直線距離垂線段最短結合直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，平分，∵，∴，當時，最短，∵，∴，故選C；【點撥】本題考查角平分線作圖，點到直線距離垂線段最短及直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半，解題的關鍵是熟練掌握角平分線作圖得到平分．9．C【分析】連接，由于是等腰三角形，點D是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點C關于直線的對稱點為點A，故的長為的最小值，由此即可得出結論．【詳解】解：連接，∵是等腰三角形，點D是邊的中點，∴，，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點C關于直線的對稱點為點A，∴的長為的最小值，∴周長的最小值為．故選：C．【點撥】本題考查的是軸對稱——最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關鍵．10．D【分析】過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，在中，當A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長．【詳解】解：過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點撥】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造胡不歸模型，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．11．12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關系即可得出結論．【詳解】解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點撥】本題考查三角形全等與三角形的三邊關系，解題關鍵在于添加輔助線構建全等三角形把AD轉化為BE從而求解，是一道較好的中考題．12．2【分析】根據(jù)題意，，當點與點重合時，符合題意，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵將這張紙片折疊，使得點落在邊上，點的對應點為點，∴，而,當點與點重合時，，此時的長最小，∴．故答案為：2．【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，理解當點與點重合時的長最小是解題的關鍵．13．80°【分析】如圖，分別作P關于OM、ON的對稱點，然后連接兩個對稱點即可得到A、B兩點，由此即可得到△PAB的周長取最小值時的情況，并且求出∠APB度數(shù)．【詳解】解：如圖，分別作P關于OM、ON的對稱點P1、P2，然后連接兩個對稱點即可得到A、B兩點，∴△PAB即為所求的三角形，根據(jù)對稱性知道：∠APO=∠AP1O，∠BPO=∠BP2O，還根據(jù)對稱性知道：∠P1OP2=2∠MON，OP1=OP2，而∠MON=50°，∴∠P1OP2=100°，∴∠AP1O=∠BP2O=40°，∴∠APB=2×40°=80°．故答案為80°．14．3【分析】以為邊作等邊三角形，證明得，根據(jù)三角形三邊的關系求出的最大值即可求解．【詳解】如圖，以為邊作等邊三角形，則．∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴的最大值是3．故答案為：3．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．15．6【分析】作A關于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于P，則點P就是使|PA-PB|的值最大的點，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據(jù)角的和差關系得到∠ACD=75°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】如圖，作A關于的對稱點，連接并延長交延長線于點P，則點P就是使的值最大的點，，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵點A與A′關于CD對稱，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6【點撥】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關鍵．16．9【分析】將沿DE翻折到的位置，將沿EC翻折到的位置，連接，證明是等邊三角形，得，再根據(jù)兩點之間線段最短可得結論．【詳解】解：將沿DE翻折到的位置，將沿EC翻折到的位置，連接，如圖，由翻折知，，，，∵∠CED＝120°，∴∴∴∴∴是等邊三角形，∴由兩點之間線段最短得，當在同一條直線時，取最大值為：3+3+3=9，故答案為：9．【點撥】此題主要考查了等邊三角形的判定以及兩點之間線段最短的應用，證明是等邊三角形是解答此題的關鍵．17．7【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得與關于對稱，連接，交于點，則當三點共線時，的周長最小，為的長．【詳解】解：是線段的垂直平分線，與關于對稱，如圖所示，連接，交于點，，，周長，當三點共線時，的周長最小，為的長，為邊的中點，，，，，，，周長，周長的最小值為7，故答案為：7．【點撥】本題主要考查了軸對稱求最短，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．18．8【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)求出，作點Q關于的對稱點，連接交于E，連接，此時的值最?。钚≈?，求得，再證是等邊三角形，得到即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴∵，∴，如圖，作點Q關于的對稱點，連接交于E，連接，此時的值最小．最小值，∵∴∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴的最小值為8．故答案為：8．【點撥】此題考查了軸對稱性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．19．（1）詳見解析；（2）PD的最大值為3；（3）m=105，n=150．【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出結論．（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度，此時PD可得最大值．（3）I為△APC的內(nèi)心，即I為△APC角平分線的交點，應用“三角形內(nèi)角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值．【詳解】（1）如圖1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．當AD⊥BC時，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3為PD的最大值．（3）如圖2，設∠BAP=α，則∠APC=α+30°．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．∵I為△APC的內(nèi)心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．【點撥】本題是一道幾何綜合題，考查了垂線段最短，含30°的角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)心概念及角平分線定義等，解題的關鍵是將PD最大值轉化為PA的最小值．20．(1)CM=ME，60°（2）成立，證明見解析(3)CM的最大值為和最小值為【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)可得AM=CM=AD，AM=ME=AD，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠CME=60°；(2)取BD中點N，連接MN，CE，由三角形的中位線定理可得AB=2MN，可得MN=BC，由直角三角形的性質(zhì)可證△BNE是等邊三角形，可得BE=BN=EN，∠ENB=∠EBN=∠NEB=60°，由“SAS”可證△CEB≌△MEN，可得ME=EC，∠CEB=∠MEN，可證△MEC是等邊三角形，可得CM=ME，∠CME=60°；(3)由直角三角形的性質(zhì)可求BE=，則點E在以點B為圓心，為半徑的圓上，即可求解．【詳解】（1）解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，∵點M是AD的中點，∴AM=CM=AD，AM=ME=AD，∴MC=ME，∠MAC=∠MCA，∠MAE=∠MEA，∴∠CME=2(∠MAC+∠MAE)=2∠CAB=60°，故答案為：CM=ME，60°；（2）解：（1）中的結論仍然成立，理由如下：如圖2，取BD中點N，連接MN，CE，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，AB=2BC，∵將△BDE繞點B順時針旋轉，∴∠ABC=∠DBE=60°，∵點N是BD的中點，∠DEB=90°，∴EN=BN，∴△BNE是等邊三角形，∴BE=BN=EN，∠ENB=∠EBN=∠NEB=60°，∵點M是AD中點，點N是BD的中點，∴，AB=2MN，∴∠MNB+∠ABD=180°，BC=MN，∴∠MNE+∠ABE=60°，∵∠ABE+∠CBE=60°，∴∠CBE=∠MNE，∴△CEB≌△MEN(SAS)，∴ME=EC，∠CEB=∠MEN，∴∠MEC=∠NEB=60°，∴△MEC是等邊三角形，∴CM=ME，∠CME=60°；（3）解：∵BD=1，∠BDE=90°?∠DBE=30°，∴BE=，∴點E在以點B為圓心，為半徑的圓上，∴點E在線段BC上時，CE有最小值，即CM的最小值為；點E在線段CB的延長線上時，CE有最大值，即CM的最大值為，∴CM的最大值為和最小值為.【點撥】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．21．(1)50(2)①6；②14【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結論；（2）①根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得AM＝BM，然后求出△MBC的周長＝AC＋BC，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，于是得到結論．【詳解】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分線交AB于點N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案為：50；（2）①∵MN是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴△MBC的周長＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，∵AB＝8，△MBC的周長是14，∴BC＝14﹣8＝6；②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，理由：∵PB＋PC＝PA＋PC，PA＋PC≥AC，∴P與M重合時，PA＋PC＝AC，此時PB＋PC最小，∴△PBC周長的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14．【點撥】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．22．（1）見詳解；（2）【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知,再利用等量代換可得，最后利用SAS可證全等；（2）由△ABD≌△ACE可知,AD=AE,當四邊形ADCE的周長取最小值時,即AD取最小值時，此時AD⊥BC，求出此時BD的值即可得出答案.【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形∵∠DAE=60°即在和中，（2）∵△ABD≌△ACE∴,AD=AE,∴四邊形ADCE的周長為∴當四邊形ADCE的周長取最小值時,即AD取最小值時，此時AD⊥BC，【點撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線段最短，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵.23．（1）見解析；（2）6-x，3；（3）105°，145°．【分析】（1）由條件易證△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE即可．（2）PD＝AD－AP＝6－x，∵點P在線段BC上且不與B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度，此時PD可得最大值．（3）I為△APC的內(nèi)心，即I為△APC角平分線的交點，應用“三角形內(nèi)角和等于180°“及角平分線