專題2.1 軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題2.1軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】軸對(duì)稱圖形

一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸.特別提醒：

軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合．對(duì)稱軸有可能不只一條【知識(shí)點(diǎn)2】軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱定義把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱（或說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱），這條直線叫做對(duì)稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)

特別提醒：

軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等.2.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反過來，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱.【知識(shí)點(diǎn)3】軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

軸對(duì)稱的性質(zhì)：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．【考點(diǎn)一】軸對(duì)稱??軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【例1】以下四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可，一個(gè)圖形的一部分，沿著一條直線對(duì)折后兩部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．解：A.找不到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；B.找不到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；C.找不到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；D.能找到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以是軸對(duì)稱圖形，故符合題意；故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】下面四個(gè)圖形分別是綠色食品、低碳、節(jié)能和節(jié)水標(biāo)志，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對(duì)稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．解：選項(xiàng)B、C、D均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【考點(diǎn)二】軸對(duì)稱??成軸對(duì)稱兩個(gè)圖形的識(shí)別【例2】下列圖形中，與關(guān)于直線成軸對(duì)稱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】認(rèn)真觀察各選項(xiàng)給出的圖形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線進(jìn)行判斷．解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸MN垂直平分，所以B是符合要求的．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)；應(yīng)用對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分解題是正確解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】如圖，線段AB與（）不關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)仔細(xì)觀察各選項(xiàng)圖形即可得解．解：觀察可知，B選項(xiàng)中，線段AB與A′B′（AB=A′B′）不關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，A、C、D選項(xiàng)線段AB與A′B′（AB=A′B′）都關(guān)于直線l成軸對(duì)稱．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記軸對(duì)稱的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】軸對(duì)稱??由軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷【例3】如圖所示，與關(guān)于直線成軸對(duì)稱，則線段與直線的關(guān)系正確的是（

）

A．直線被線段垂直平分 B．線段被直線垂直平分C．直線經(jīng)過線段中點(diǎn)，但不垂直 D．直線與線段垂直，但不經(jīng)過線段中點(diǎn)【答案】B【分析】成軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，據(jù)此即可得到答案．解：∵與關(guān)于直線成軸對(duì)稱，∴線段被直線垂直平分．故選：B【點(diǎn)撥】此題考查了成軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握“成軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分”是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】如圖，與關(guān)于直線l對(duì)稱，下列結(jié)論中：①；②；③l垂直平分；④與的延長線的交點(diǎn)不一定在l上．其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．解：根據(jù)軸對(duì)稱的定義可得，與關(guān)于直線l對(duì)稱，則①正確．因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線(中垂線)；軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，故②，③l垂直平分，正確．因?yàn)槌奢S對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)線段或延長線如果相交，那么，交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上，故④與的延長線的交點(diǎn)不一定在l上，錯(cuò)誤．正確的有3個(gè)，故選：B【點(diǎn)撥】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線（中垂線）；軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等．【考點(diǎn)四】軸對(duì)稱??由軸對(duì)稱圖形的特征求解【例4】如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，和的交點(diǎn)在直線上．

圖中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)___，的對(duì)應(yīng)角是___；若，，求的長；連接和，判斷和的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；；(2)；(3）平行，理由見分析【分析】（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)應(yīng)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得到，再根據(jù)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，，由平行線的判定即可得出結(jié)論．（1）解：∵和關(guān)于直線對(duì)稱，和的交點(diǎn)在直線上，∴圖中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)角是，故答案為：；；（2）∵，，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，和的交點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴的長為；（3）平行．理由如下：∵和關(guān)于直線對(duì)稱，和的交點(diǎn)在直線上，∴，，∴，∴和的位置關(guān)系為：平行．

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，P在內(nèi)，點(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，分別交于E，F(xiàn)．若的周長是，求的長；若，試求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，由三角形周長公式得到，則，即；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，進(jìn)一步推出．（1）解：∵點(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∵的周長是，∴，∴，即；（2）解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，正確得到，以、是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖1，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱，連接交于點(diǎn)，設(shè)．

求；若點(diǎn)是直線上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)．求證：；如圖2，在上求作一點(diǎn)，使最?。鞣ǎ?/p>

【答案】(1)；(2)見分析；(3)見分析【分析】（1）利用軸對(duì)稱性質(zhì)得到邊長關(guān)系即可求出；（2）利用軸對(duì)稱換邊，再使用三角形三邊大小關(guān)系證明即可；（3）利用最短路徑寫出作法即可．解：（1）點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱，，，，；（2）連接，

點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，中，；（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，如下圖所示．

【點(diǎn)撥】本題考查最短路徑的畫法和證明，軸對(duì)稱的性質(zhì)為對(duì)稱軸上的點(diǎn)到關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等．求解在直線上找一點(diǎn)使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩點(diǎn)的距離和最小，作法為作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接另一點(diǎn)與直線的交點(diǎn)．【考點(diǎn)五】軸對(duì)稱??軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用【例5】已知：如圖，是一個(gè)長方形的臺(tái)球面，有、兩球分別位于圖中所在位置，試問怎樣撞擊球，才能使先碰到臺(tái)邊反彈后再擊中球？在圖中畫出球的運(yùn)動(dòng)線路．【分析】首先作出點(diǎn)A關(guān)于FC的對(duì)稱點(diǎn)，再連接交FC于點(diǎn)P，連接AP，PB，可得A球的運(yùn)動(dòng)路線．解：如圖所示：運(yùn)動(dòng)路線：．【點(diǎn)撥】本題主要考查生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．【舉一反三】【變式】茅坪民族中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的，），桌面上擺滿了桔子，桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請(qǐng)你在下圖幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？【分析】本題意思是在上找一點(diǎn)D，在上找一點(diǎn)E，使的周長最?。绻O(shè)點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是M，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是N，當(dāng)點(diǎn)D、E在上時(shí)，的周長為，此時(shí)周長最?。猓孩俜謩e作點(diǎn)C關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)是M、N，②連接MN，分別交OA于D，OB于E．則C→D→E→C為所求的行走路線．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用對(duì)稱性的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】軸對(duì)稱??軸對(duì)稱性質(zhì)??折疊問題【例6】如圖所示，一個(gè)四邊形紙片，，把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)，是折痕．

試判斷與的位置關(guān)系；如果，求∠AEB的度數(shù)．【答案】(1)，理由見分析；(2)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求解；（2）由（1）得，，可得，再由折疊的性質(zhì)可得，求出，即可求解．解：（1）；∵是的折疊后形成的，∴，∴；（2）由（1）得，，∴，由折疊可知，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，將沿折疊得到，與交于點(diǎn)F．