江西省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課后強(qiáng)化訓(xùn)練-第四章第六節(jié)　銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

[基礎(chǔ)過關(guān)]1．2sin60°的值等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：2sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：C2．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq\f(2,3)，BC＝4，則AB長為()A．6B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(8,3)D．2eq\r(13)解析：如圖所示．∵sinA＝eq\f(2,3)，BC＝4，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,3)＝eq\f(4,AB).解得AB＝6.答案：A3．如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝eq\f(2,5)，則此斜坡的水平距離AC為()A．75mB．50mC．30mD．12m解析：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝eq\f(2,5)，BC＝30m，∴tan∠BAC＝eq\f(2,5)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(30,AC).解得AC＝75m.答案：A4．如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊(OC⊥OB，點A，B，C，D，O在同一平面內(nèi))，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，則點A到OC的距離等于()A．a(chǎn)sinx＋bsinxB．a(chǎn)cosx＋bcosxC．a(chǎn)sinx＋bcosxD．a(chǎn)cosx＋bsinx解析：如圖，作AE⊥OC于點E，作AF⊥OB于點F，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x.∴∠FBA＝x.∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB＋BO＝a·cosx＋b·sinx.答案：D5．如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝eq\f(1,4)，則sinB的值為()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\f(\r(15),3)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(10),4)解析：過點A作AD⊥BC，垂足為D，如圖所示．在Rt△ACD中，CD＝CA·cosC＝1，∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(15)，在Rt△ABD中，BD＝CB－CD＝3，AD＝eq\r(15)，∴AB＝eq\r(BD2＋AD2)＝2eq\r(6).∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(10),4).答案：D6．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是()A．30eq\r(3)nmileB．60nmileC．120nmileD．(30＋30eq\r(3))nmile解析：如圖，過C作CD⊥AB于D點，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60.在Rt△ACD中，cos∠ACD＝eq\f(CD,AC)，sin∠ACD＝eq\f(AD,AC).∴CD＝AC·cos∠ACD＝60×eq\f(\r(3),2)＝30eq\r(3).AD＝AC·sin∠ACD＝60×eq\f(1,2)＝30.在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30eq\r(3).∴AB＝AD＋BD＝30＋30eq\r(3).答案：D7．小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐活動課中測量路燈的高度．如圖，已知她的目高AB為1.5米，她先站在A處看路燈頂端O的仰角為35°，再往前走3米站在C處，看路燈頂端O的仰角為65°，則路燈頂端O到地面的距離約為(已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)()A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米解析：過點O作OE⊥AC于點E，延長BD交OE于點F，設(shè)DF＝x，∴BF＝3＋x.∵tan65°＝eq\f(OF,DF)，∴OF＝xtan65°.∵tan35°＝eq\f(OF,BF)，∴OF＝(3＋x)tan35°.∴2.1x＝0.7(3＋x)．∴x＝1.5.∴OF＝1.5×2.1＝3.15.∴OE＝3.15＋1.5＝4.65≈4.7.答案：C8．(2021·江西模擬)如圖①是釣魚傘，為遮擋不同方向的陽光，釣魚傘可以在撐桿AN上的點O處彎折并旋轉(zhuǎn)任意角，圖②是釣魚傘直立時的示意圖，當(dāng)傘完全撐開時，傘骨AB，AC與水平方向的夾角∠ABC＝∠ACB＝30°，傘骨AB與AC水平方向的最大距離BC＝2m，BC與AN交于點M，撐桿AN＝2.2m，固定點O到地面的距離ON＝1.6m.(1)如圖②，當(dāng)傘完全撐開并直立時，求點B到地面的距離；(2)某日某時，為了增加遮擋斜射陽光的面積，將釣魚傘傾斜與鉛垂線HN成30°夾角，如圖③.①求此時點B到地面的距離；②若斜射陽光與BC所在直線垂直時，求BC在水平地面上投影的長度．(說明：eq\r(3)≈1.732，結(jié)果精確到0.1m)解：(1)點B到地面的距離即為MN的長度，MN＝AN－AM＝AN－BMtan30°＝2.2－eq\f(\r(3),3)≈1.6(m)．答：點B到地面的距離約為1.6m.(2)①如圖①，過點A，B分別作地面的垂線，垂足分別為Q，T，∵∠AOH＝30°，∴∠OAQ＝30°.∵∠ABC＝30°，∴∠BAO＝90°－∠ABC＝60°，∴∠BAQ＝∠BAO－∠OAQ＝30°，∴∠ABS＝30°，∴BS＝BM＝1，∴BT＝OP＋ON－SB＝OAcos30°＋ON－SB＝0.6×eq\f(\r(3),2)＋1.6－1≈1.1(m)．答：此時點B到地面的距離約為1.1m.②如圖②，依題意，可知BC⊥CD，∠CBD＝30°.∵BC＝2，∴BD＝eq\f(4\r(3),3)≈2.3(m)．答：BC在水平地面上投影的長度約為2.3m.9．(2021·會昌模擬)如圖，海面上甲、乙兩船分別從A，B兩處同時出發(fā)，由西向東行駛，甲船的速度為24nmile/h，乙船的速度為15nmile/h，出發(fā)時，測得乙船在甲船北偏東50°方向，且AB＝10nmile，經(jīng)過20分鐘后，甲、乙兩船分別到達(dá)C，D兩處．(參考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)(1)求兩條航線間的距離；(2)若兩船保持原來的速度和航向，還需要多少時間才能使兩船的距離最短？(精確到0.01)解：(1)如圖，過點A作AE⊥DB，交DB的延長線于E，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝50°，AB＝10，∴AE＝AB·cos50°≈10×0.643＝6.43(nmile)．答：兩條航線間的距離為6.43nmile；(2)當(dāng)甲、乙兩船的位置垂直時，兩船之間的距離最短，如圖，過C作CF⊥BD于F.∵BE＝AB·sin50°≈7.66，AC＝24×eq\f(1,3)＝8，BD＝15×eq\f(1,3)＝5，∴DF＝BD＋BE－AC＝4.66.設(shè)還需要t小時才能使兩船的距離最短，則有24t－15t＝4.66，解得t≈0.52.答：還需要0.52h才能使兩船的距離最短．[能力提升]10．南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學(xué)在校外實踐活動中對此開展測量活動．如圖，在橋外一點A測得大橋主架與水面的交匯點C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測量點與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時大橋主架頂端離水面的高CD為()A．a(chǎn)sinα＋asinβ B．a(chǎn)cosα＋acosβC．a(chǎn)tanα＋atanβ D.eq\f(a,tanα)＋eq\f(a,tanβ)解析：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝eq\f(BC,AB)，tanβ＝eq\f(BD,AB)，∴BC＝atanα，BD＝atanβ，∴CD＝BC＋BD＝atanα＋atanβ.答案：C11．如圖，AB是垂直于水平面的建筑物．為測量AB的高度，小紅從建筑物底端B點出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達(dá)點C，然后沿斜坡CD前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點處，DC＝BC.在點D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為0.8米，在E點處測得建筑物頂端A點的仰角∠AEF為27°(點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi))．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么建筑物AB的高度約為()(參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)A．65.8米 B．71.8米C．73.8米 D．119.8米解析：如圖，過點E作EM⊥AB于點M，延長ED交BC于點G，∵斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，BC＝CD＝52米，∴設(shè)DG＝x米，則CG＝2.4x米．在Rt△CDG中，∵DG2＋CG2＝DC2，即x2＋(2.4x)2＝522，解得x＝20或x＝－20(舍去)，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20＋0.8＝20.8(米)，BG＝52＋48＝100(米)．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四邊形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM·tan27°≈100×0.51＝51(米)，∴AB＝AM＋BM＝51＋20.8＝71.8(米)．答案：B12．如圖，一架長為6米的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時測得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，則梯子頂端A下移到C，這時又測得∠CDO＝50°，那么AC的長度約為________米．(sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)解析：由題意，可得∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AO,6)≈0.94.解得AO＝5.64m，∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝eq\f(CO,6)≈0.77.解得CO＝4.62m，則AC＝5.64－4.62＝1.02(m)，故答案為1.02.答案：1.0213．如圖是矗立在高速公路邊水平地面上的交通警示牌，經(jīng)過測量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則CD的長為________米．(結(jié)果保留根號)解析：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM＋AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB·tan30°＝12×eq\f(\r(3),3)＝4eq\r(3)(米)．在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM－DM＝(4eq\r(3)－4)米．故答案為(4eq\r(3)－4)．答案：(4eq\r(3)－4)14．(2021·玉山一模)一艘輪船由南向北航行，如圖，在A處測得小島P在北偏西15°方向上，兩個小時后，輪船在B處測得小島P在北偏西30°方向上，在小島周圍18海里內(nèi)有暗礁，問若輪船按20海里/時的速度繼續(xù)向北航行，有無觸礁的危險？解：如圖，作PD⊥AB交AB延長線于D點，∵∠PBC＝30°，∠PAB＝15°，∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝15°.∴PB＝AB＝20×2＝40(海里)．在Rt△BPD中，PD＝eq\f(1,2)PB＝20海里．∵20＞18，∴不會觸礁．15．(2021·金溪一模)圖1是一臺用保護(hù)套套好的帶鍵盤的平板電腦實物圖，圖2是它的示意圖，忽略平板電腦的厚度，支架BE分別固定在平板電腦AD背面中點B處，桌面E處，EB可以繞點E轉(zhuǎn)動，當(dāng)點D在線段EF上滑動時，可調(diào)節(jié)平板電腦AD的傾斜角∠ADC，經(jīng)測量，CE＝24cm，CF＝9cm，支架BE＝eq\f(1,2)AD＝10.5cm.(1)連接AE，求證：AE⊥CE；(2)當(dāng)∠ADC＝120°時，求A，E兩點間的距離；(3)當(dāng)點D滑到距離F點1cm處時，視覺效果最好，求此時傾斜角∠ADC的度數(shù)．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73，sin48.19°≈0.75，cos48.19°≈0.67，tan48.19°≈1.12，結(jié)果保留一位小數(shù))解：(1)證明：如圖，連接AE.∵BE＝eq\f(1,2)AD，B是AD中點，∴AB＝BE＝BD，∴∠A＝∠AEB，∠ADE＝∠DEB.在△ADE中，∠A＋∠AEB＋∠ADE＋∠DEB＝180°，∴2(∠AEB＋∠DEB)＝180°，∴∠AEB＋∠DEB＝90°.即∠AED＝90°.∴AE⊥CE；(2)∵∠ADC＝120°，∴∠ADE＝60°.在Rt△ADE中，AE＝AD·sin∠ADE＝eq\f(\r(3),2)AD.∵eq\f(1,2)AD＝10.5cm，∴AD＝21cm，∴AE＝eq\f(21\r(3),2)≈18.2(cm)；(3)∵DF＝1，CE＝24，CF＝9，∴DE＝CE－CF－DF＝14.在Rt△ADE中，cos∠ADE＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(14,21)＝eq\f(2,3)≈0.67，∴∠ADE≈48.2°.∴∠ADC＝180°－∠ADE≈131.8°.16．(2021·江西模擬)如圖是一個桌面會議話筒