工程電磁場理論(part6)

作業(yè)：2-10，2-121Sept.30,20045邊值問題(BoundaryValueProblem）

為什么研究邊值問題？從場的基本分布規(guī)律出發(fā)，只能解決幾何分布比較簡單的電場問題

需要探索更一般的方法偏微分方程的定解問題2Sept.30,20041）數(shù)學(xué)模型（MM）

——BVP以位函數(shù)（對于電場，則為電位

）為待求場函數(shù)，研究它所滿足的偏微分方程和在邊界上值的分布---BVP泛定方程

普適的、與數(shù)學(xué)物理規(guī)律對應(yīng)的偏微分方程（共性）2.定解條件

給定關(guān)心場域邊界上的值（個性）3Sept.30,2004（1）泛定方程

4Sept.30,2004（1）泛定方程

泊松方程（Poisson’sequation)拉普拉斯方程（Laplace’sequation)

2拉普拉斯算子，DelSquared5Sept.30,2004

第一類邊界條件（ThefirstkindBC,Dirichlet)（2）邊界條件給定場域邊界S上的位函數(shù)的值6Sept.30,2004

第二類邊界條件（ThesecondkindBC,Neumann)（2）邊界條件給定場域邊界S上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值

例：導(dǎo)體表面

齊次2ndB.C.（homogenous)7Sept.30,2004

第三類邊界條件（ThethirdkindBC,Cauchy)（2）邊界條件給定場域邊界S上的電位及其法向?qū)?shù)的線性組合8Sept.30,2004

遠(yuǎn)場條件（2）邊界條件當(dāng)場源分布在離坐標(biāo)原點的有限距離內(nèi)，而場域D擴(kuò)展至無限遠(yuǎn)處時，則應(yīng)有

9Sept.30,2004

不同媒質(zhì)之間的媒質(zhì)交界條件(interface)（2）邊界條件10Sept.30,2004(3)定解問題的一般表述

泛定方程

定解條件方程定義域（場域）的邊界上給定的邊界條件（邊值）和媒質(zhì)交界條件ifapplicable。

11Sept.30,20042）BVP的解析求解方法

（1）直接求解法——直接求解P.orL.equation直接積分法

例2-11，例2-12自學(xué)

12Sept.30,20042）BVP的解析求解方法

（1）直接求解法——直接求解P.orL.equation分析例2-11圖2-17角形電極系統(tǒng)13Sept.30,20042）BVP的解析求解方法

（1）直接求解法——直接求解P.orL.equation分析例2-11無限大極板平行平面場兩個極板的位置只由坐標(biāo)決定，且每個極板的電位均為常數(shù)電位僅隨坐標(biāo)的變化而變化14Sept.30,20042）BVP的解析求解方法

（1）直接求解法——直接求解P.orL.equation直接積分法

討論：例2-11——角形電極系統(tǒng)的場圖繪制

15Sept.30,2004一平行平面場，設(shè)定極坐標(biāo)系(

，

)

16Sept.30,2004A.等位面——等位線

=C等分角線

B.線

“曲線方塊”原則

由均勻區(qū)

不均勻區(qū)

17Sept.30,2004分離變量法：

請同學(xué)自學(xué)pp.73-79，了解分離變量法的基本原理，解的構(gòu)成；掌握直角坐標(biāo)系下簡單問題的分析和計算。掌握例2-14，習(xí)題要用到它的結(jié)論。18Sept.30,2004分析書例2-14[解]M.M.——B.V.P.1.泛定方程：

19Sept.30,20042.定解條件（邊界條件）

無限遠(yuǎn)處的B.C.：

銜接條件：

電位參考點

20Sept.30,20041.圓柱體內(nèi)均勻，即其中介質(zhì)被均勻極化2.若

1<

2，則E1>E2，故如本例為油中細(xì)長的空氣泡問題，則氣泡中場強將大于E0（極限情況下，E1

2E0），有可能導(dǎo)致內(nèi)部放電擊穿，破壞正常運行狀態(tài)。

21Sept.30,2004Observations

經(jīng)典方法

原則上，對于P.eqn.L.eqn.(B.V.P.)，總有解，但實際上，僅在簡單的規(guī)則形狀的邊界情況下，方能得出解析解。

間接求解法

鏡像法（含電軸法），復(fù)變函數(shù)法，保角變換法，格林函數(shù)法，……

22Sept.30,20043)唯一性定理

滿足給定邊值(B.C.)的拉氏或泊松方程的解答是唯一的。

場域內(nèi)場源不變拉氏方程不能變成泊松方程，orviceversa泛定方程不變邊界條件不變無論采用什么方法，其解都是等價、正確的23Sept.30,20046鏡像法

（methodofimages）

對于大地上方輸電線、雷電形成的電場，可以典型化為最基本的問題：無限大點電荷激發(fā)的電場問題1）鏡像法

24Sept.30,20046鏡像法

（methodofimages）

1）鏡像法

分析1.?2.已知場源分布，求

3.高斯定理？

導(dǎo)板上電荷分布未知

非單一媒質(zhì)需要新的方法

25Sept.30,2004間接法：考察一對相距2h位于

0單一媒質(zhì)，其上半空間與原問題的定解問題26Sept.30,2004設(shè)：兩者的電位函數(shù)解分別為

1、

2

(1)在同樣由s1，s2圍成的場域D內(nèi)（上半空間），均滿足

2

1

=0和

2

2

=0(2)B.C.ⅰ

ⅱ

27Sept.30,2004由唯一性定理可知，兩者的解答

1=

2=

計算導(dǎo)半上方的電場時,可以把導(dǎo)板上的感應(yīng)電荷的影響用一置于對稱位置上的集中電荷等效由于引入的電荷位于原電荷對導(dǎo)板的鏡像處—鏡像法鏡像法——用場域閉合邊界外虛設(shè)的較簡單的電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布。

注意適用區(qū)域：僅上半平面？為什么？28Sept.30,20042)具體應(yīng)用

(1)點電荷~無限大的接地導(dǎo)板系統(tǒng)

29Sept.30,2004如前述,場中電場分布,等效于引入鏡像電荷q，撤去導(dǎo)板，整個空間充滿同一種電介質(zhì)的電場。30Sept.30,2004(1)場中電位分布：

31Sept.30,2004(2)導(dǎo)板上感應(yīng)電荷的分布：

=D

n

32Sept.30,2004(3)場圖：

33Sept.30,2004(4)導(dǎo)板上感應(yīng)電荷總量：

34Sept.30,2004(5)點電荷所受的作用力：

35Sept.30,2004Observationsⅰ系導(dǎo)板上感應(yīng)電荷所激發(fā)，即等效于鏡像電荷(-q)激發(fā)的

ⅱ此也即是導(dǎo)板所受到的作用力

36Sept.30,2004鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵：

a.鏡像電荷的確定（位置、個數(shù)、電量大?。?；

b.等效求解的“有效區(qū)域”

Attentions簡單記法那個區(qū)域沒有引入電荷==適用于那個區(qū)域37Sept.30