古希臘三大作圖問(wèn)題

一、古希臘三大作圖問(wèn)題

與尺規(guī)作圖古希臘三大作圖問(wèn)題古希臘有三個(gè)十分著名的作圖問(wèn)題，這三個(gè)作圖問(wèn)題規(guī)定只能用圓規(guī)和直尺解決.它們分別是：倍立方體：求作一個(gè)立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍.化圓為方：求作一個(gè)正方形，使其面積與一個(gè)給定的圓的面積相等.三等分角：求作一個(gè)角，使其等于給定的角的三分之一.尺規(guī)作圖古時(shí)候人們約定，所謂圓規(guī)直尺作圖是指：使用直尺，我們能過(guò)任何給定的不同兩點(diǎn)，作一條直線；使用圓規(guī)，我們能以給定點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作一個(gè)圓.在作圖中，使用的直尺是沒有刻度標(biāo)記的直尺；只用圓規(guī)、直尺，古希臘三大作圖問(wèn)題不可作。不限制用圓規(guī)和直尺，三大作圖問(wèn)題是可作的幾種常見的三等分角的方法方法一：阿基米德的作法；方法二：近似求解三等分角的方法——二分法；方法三：物理實(shí)驗(yàn)——運(yùn)用鐘表三等分角.二、三等分角不可能尺規(guī)作圖的證明歷史上人們的想法針對(duì)一個(gè)具體的問(wèn)題去尋找實(shí)現(xiàn)的方法，我們找不到實(shí)現(xiàn)的方法，不代表這種方法不存在，我們只能這樣一直地找下去；沒有針對(duì)一個(gè)問(wèn)題，去尋找解決這類問(wèn)題的方法。不可作圖問(wèn)題是如何解決的呢？思路：我們對(duì)尺規(guī)作圖一類問(wèn)題進(jìn)行考慮。確定尺規(guī)作圖的范圍；判斷我們要求作的具體問(wèn)題是否在這個(gè)范圍內(nèi)。不可作圖問(wèn)題證明的基本步驟1）尺規(guī)作圖代數(shù)化——幾何問(wèn)題代數(shù)化；2）范圍界定，與數(shù)域建立聯(lián)系——數(shù)域與擴(kuò)域；3）是否只有這個(gè)范圍。三等分角不可能性的證明問(wèn)題的代數(shù)化；方程沒有有理數(shù)根；方程的根是不可作圖的。三、教材邏輯作圖欣賞三大作圖問(wèn)題其它方法尺規(guī)作圖原則尺規(guī)作圖的范圍（1）——能作的范圍尺規(guī)作圖的范圍（2）——僅能作的范圍應(yīng)用不能作的范圍能作的范圍倍方三等分角正十七邊形范例有理數(shù)域與尺規(guī)作圖數(shù)域擴(kuò)充與尺規(guī)作圖擴(kuò)域“列”、擴(kuò)域“樹”與尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖代數(shù)化直線的表示圓的表示數(shù)域與尺規(guī)作圖的封閉性圓規(guī)作圖與擴(kuò)域補(bǔ)充知識(shí)四、關(guān)鍵點(diǎn)作圖問(wèn)題代數(shù)化1）作圖作數(shù)作數(shù)對(duì)；2）基本圖形作圖代數(shù)化作直線與圓確定方程及系數(shù)直線與直線的交點(diǎn)直線與圓的交點(diǎn)圓與圓的交點(diǎn)擴(kuò)域“列”與擴(kuò)域“樹”“列”：“樹”：有理數(shù)域擴(kuò)域“列”與擴(kuò)域“樹”擴(kuò)域“樹”的基本特征：每一支都是一個(gè)擴(kuò)域“列”；在這些擴(kuò)域“列”中，每一個(gè)擴(kuò)域中的數(shù)都可以用尺規(guī)作出；某一個(gè)擴(kuò)域可能出現(xiàn)在不同的擴(kuò)域“列”中.只能作圖對(duì)尺規(guī)作圖而言,從單位1出發(fā),利用尺規(guī)作圖,可以作出有理數(shù)域中的每一個(gè)數(shù)。然后,我們可以選擇有理數(shù)域中的一個(gè)數(shù),作它的算術(shù)平方根(這里要求),進(jìn)而作出所有形如的數(shù),其中是數(shù)域中的任意數(shù)。從而，用尺規(guī)可以作出一個(gè)新的數(shù)域.重復(fù)這樣的過(guò)程，我們就可以作出數(shù)域“樹”。數(shù)域“樹”中每一個(gè)數(shù)都可以用尺規(guī)作出，