第06講 多邊形內(nèi)角和（7種題型）（原卷版）

第06講多邊形內(nèi)角和（7種題型）【知識梳理】一、多邊形內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點詮釋：(1)內(nèi)角和公式的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于；二、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點詮釋：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；(2)正n邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．三．平面鑲嵌（密鋪）（1）平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接．彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．（2）正多邊形鑲嵌有三個條件限制：①邊長相等；②頂點公共；③在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°．判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°，則說明能夠進行平面鑲嵌，反之則不能．（3）單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形．（4）兩種正多邊形的鑲嵌：3個正三角形和2個正方形、四個正三角形和1個正六邊形、2個正三角形和2個正六邊形、1個正三角形和2個正十二邊形、1個正方形和2個正八邊形等．（5）用任意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個平面圖案．【考點剖析】題型一：利用內(nèi)角和求邊數(shù)例1.一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則它是()A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形【變式1】（2021·河北承德市·八年級期末）一個多邊形的內(nèi)角和是900°，這個多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．7【變式2】（2021·浙江省余姚市實驗學校八年級期中）若一個多邊形的內(nèi)角和是720°，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7題型二：求多邊形的內(nèi)角和例2.一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，截去一個角后，得到的多邊形的內(nèi)角和為()A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【變式1】（2021·云南臨滄·八年級期末）一個八邊形的內(nèi)角和度數(shù)為（）A．360° B．720° C．900° D．1080°【變式2】（2021·廣西來賓市·八年級期中）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多，求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內(nèi)角和．【變式3】（2020·南京市寧海中學八年級開學考試）問題1：如圖，我們將圖（1）所示的凹四邊形稱為“鏢形”．在“鏢形”圖中，∠AOC與∠A、∠C、∠P的數(shù)量關(guān)系為∠AOC=∠A+∠C+∠P．問題2：如圖（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明認為可以利用“鏢形”圖的結(jié)論解決上述問題：由問題1結(jié)論得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=．所以∠APC=．請幫助小明完善上述說理過程，并嘗試解決下列問題（問題1、問題2中得到的結(jié)論可以直接使用，不需說明理由）；解決問題1：如圖（3）已知直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系為解決問題2：如圖（4），已知直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，則∠P與∠B、∠D的關(guān)系為題型三：復雜圖形中的角度計算例3.如圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°【變式1】（2021·全國八年級單元測試）如圖，在五邊形ABCDE中，∠D＝120°，與∠EAB相鄰的外角是80°，與∠DEA，∠ABC相鄰的外角都是60°，則∠C為________度．【變式2】（2020·南京市寧海中學八年級開學考試）如圖，五邊形ABCDE的兩個內(nèi)角平分線相交于點O，∠1，∠2，∠3是五邊形的3個外角，若∠1+∠2+∠3=220°，則∠AOB=___________．【變式3】（2022春?武岡市期中）如圖，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù)．【變式4】（2022春?宿城區(qū)校級月考）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運用以上模型結(jié)論解決問題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．題型四：利用方程和不等式確定多邊形的邊數(shù)例4.一個同學在進行多邊形的內(nèi)角和計算時，求得內(nèi)角和為1125°，當他發(fā)現(xiàn)錯了以后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算了一個內(nèi)角，問這個內(nèi)角是多少度？他求的是幾邊形的內(nèi)角和？【變式1】．（2023春·全國·八年級專題練習）看圖回答問題：(1)內(nèi)角和為2014°，小明為什么說不可能？(2)小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習）解決多邊形問題：(1)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個多邊形的內(nèi)角和時，重復加了一個角的度數(shù)，計算結(jié)果是，這個多邊形是幾邊形？題型五：已知各相等外角的度數(shù)，求多邊形的邊數(shù)例5.正多邊形的一個外角等于36°，則該多邊形是正()A．八邊形B．九邊形C．十邊形D．十一邊形【變式1】．（2022春·八年級單元測試）已知一個多邊形的每個外角都是，那么這個多邊形的邊數(shù)是__________．【變式2】（2021·廣西八年級期中）己知一個n邊形的每一個外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求這個n邊形的內(nèi)角和．題型六：多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合運用例6.一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為540°，則它是()A．五邊形B．四邊形C．三角形D．不能確定【變式1】（2021·陜西）一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的度數(shù)之和為，求這個多邊形的邊數(shù)．【變式2】（2021·廣西來賓市·八年級期中）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多，求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內(nèi)角和．【變式3】（2021秋?泰州期末）【相關(guān)概念】將多邊形的內(nèi)角一邊反向延長，與另一條邊相夾形成的那個角叫做多邊形的外角．如圖，將△ABC中∠ACB的邊CB反向延長，與另一邊AC形成的∠ACD即為△ACB的一個外角．三角形外角和與三角形內(nèi)角和對應，為與三個內(nèi)角分別相鄰的三個外角的和．【求解方法】借助一組內(nèi)角與外角的數(shù)量關(guān)系，可以求出三角形的外角和．如圖，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根據(jù)以上提示，完成下列問題：（1）將下列表格補充完整．名稱圖形內(nèi)角和外角和三角形180°360°四邊形360°360°五邊形540°360°…………n邊形…180°（n﹣2）360°（2）如果一個八邊形的每一個內(nèi)角都相等，請用兩種不同的方法求出這個八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)．題型七：平面鑲嵌例7．（2022春·八年級單元測試）用同一種下列形狀的圖形地磚不能進行平面鑲嵌的是（）A．正三角形 B．長方形 C．正八邊形 D．正六邊形【變式】（2022春·八年級單元測試）用正多邊形來鑲嵌平面的原理是共頂點的各個角之和必須等于．現(xiàn)在有七種不同的正多邊形：①正三角形、②正方形、③正六邊形、④正八邊形、⑤正十邊形、⑥正十二邊形、⑦正十五邊形．請你用其中的不同的三種正多邊形來鑲嵌平面，這三種正多邊形可以是：________．（請用序號表示，只需寫出兩種即可）【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·全國·八年級期末）如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·山東泰安·八年級?？计谀┱噙呅蔚膬?nèi)角和為，則這個多邊形的一個內(nèi)角為（）A． B． C． D．3．（2023春·浙江·八年級專題練習）一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個多邊形是（）A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形4．（2023春·浙江·八年級專題練習）一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，這個多邊形的外角不可能是（）A． B． C． D．5．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，等于（

）A． B． C． D．6．（2022春·八年級單元測試）將一個多邊形切去一個角后所得的多邊形內(nèi)角和為，則原多邊形的邊數(shù)為（）A．或 B．或 C．或或 D．或或7．（2023秋·廣西欽州·八年級統(tǒng)考期末）小紅：我計算出一個多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對呀，你可能少加了一個角則小紅少加的這個角的度數(shù)是（）A．1 B．1 C．1 D．18．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知一個多邊形內(nèi)角和為，則這個多邊形可連對角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．409．（2023秋·八年級課時練習）一個多邊形截去一角后，變成一個八邊形，則這個多邊形原來的邊數(shù)是（

）A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10二、填空題10．（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）若n邊形的每個內(nèi)角都是，則邊數(shù)n為___．11．（2022春·八年級單元測試）如圖是由射線、、、組成的平面圖形，則______°．12．（2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）一個正n多邊形的一個內(nèi)角是它的外角的4倍，則___________．13．（2023春·全國·八年級專題練習）若一個多邊形的每個外角均為，則這個多邊形的內(nèi)角和為_______度．14．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）一個多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個多邊形的邊數(shù)是________．15．（2023春·陜西西安·八年級西安行知中學?？茧A段練習）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則它是____________邊形．16．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）一個邊形的所有內(nèi)角和等于，則的值等于__．17．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．18．（2023春·浙江·八年級專題練習）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1440°．則原來多邊形的邊數(shù)是______．19．（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）某休閑廣場的地面中間是1塊正六邊形地磚，周圍是用正方形和正三角形地磚按如圖方式依次向外鋪設(shè)10圈而成，其中第1圈有6塊正方形和6塊正三角形地磚，則鋪設(shè)該廣場共用地磚塊．三、解答題20．（2023春·廣東茂名·八年級?？茧A段練習）已知一個正多邊形其一個內(nèi)角與其相鄰的一個外角的度數(shù)之比是，求這個多邊形是幾邊形？21．（2022秋·云南楚雄·八年級?？茧A段練習）若一個多邊形的外角和比這個多邊形的內(nèi)角和?。?1)求這個多邊形的邊數(shù)；(2)求這個多邊形的所有對角線條數(shù)．22．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，求的大小．

23．（2022春·八年級單元測試）已知四邊形的四個外角的度數(shù)之比為，那么這個四邊形各內(nèi)角的度數(shù)分別是多少？24．（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀材料：解決問題：（1）如圖1，四邊形ABCD是凹四邊形，請?zhí)骄俊螧DC(∠BDC＜180°)與∠B，∠D，∠BAC三個角之間的等量關(guān)系．小明得出的結(jié)論是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他證明如下．請你將小明的證明過程