2023-2024學(xué)年廣東省高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題1（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省肇慶高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一?單選題（本大題共有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，注意：答在試卷上無效）1.已知向量，，則（）A. B.9 C.1 D.3【正確答案】A【分析】先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算的減法公式求，再由向量的模的公式求.【詳解】因，，所以，所以，故選：A.2.直線的傾斜角（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】確定直線的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意可得直線的斜率為，直線傾斜角為，則，故，故選：B3.如圖：在平行六面體中，M為，的交點(diǎn)．若，，，則向量（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合平行六面體的性質(zhì)求解【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，M為，的交點(diǎn)，，，，所以,故選：B4.下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是（）A.B.C.D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于A，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，即，解得，所以共面，故不可以作空間向量一個(gè)基底，故D正確．故選：D．5.已知平面α內(nèi)兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（）A.-1，2 B.1，-2C.1，2 D.-1，-2【正確答案】A【分析】求出向量的坐標(biāo)后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐標(biāo)運(yùn)算列出方程組，求解即可.【詳解】，由為平面α的法向量，得,即解得故選：A.6.已知長(zhǎng)方體中，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)，利用得坐標(biāo)，然后利用可得．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．，，解得，，，，解得．故選：C．7.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)A到平面的距離是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，則平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)A到平面的距離.故選：C8.已知在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，若異面直線，所成的角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，表達(dá)出，換元后求出的最大值.【詳解】以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)，則，所以．令，則，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：B二?多選題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.注意：答在試卷上無效）9.已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示，以及空間向量垂直的坐標(biāo)表示，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由向量，可得，所以向量與不共線，所以A不正確；對(duì)于B中，由向量，可得，所以向量與不共線，所以B不正確；對(duì)于C中，由向量，可得，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以向量與不垂直，所以D不正確.故選：ABD.10.已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)直線方向向量、平面法向量定義，結(jié)合向量間的位置關(guān)系判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.【詳解】A：由題設(shè)，對(duì)；B：由題設(shè)，或，錯(cuò)；C：由題設(shè)，對(duì)；D：由題設(shè)，對(duì).故選：ACD11.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）A. B.向量與的夾角是60°C.AC1⊥DB D.BD1與AC所成角的余弦值為【正確答案】AC【分析】選擇{、、}作為一組基底，分別表示各選項(xiàng)中的向量，運(yùn)用向量的模、向量夾角、數(shù)量積、異面直線所成角公式計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，則，∴，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，，則，∴向量與的夾角是，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，又因?yàn)?，所以，∴，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)與所成角的平面角為，因?yàn)?，，所以，，，∴，所以選項(xiàng)D不正確.故選：AC.12.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【正確答案】BD【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．三?填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分.注意：答在試卷上無效）13.已知，，則___________.【正確答案】24【分析】利用向量的數(shù)量積直接求解.【詳解】因?yàn)?，，所?所以.故2414.已知，在直線l上，寫出直線l的一個(gè)方向向量：______．【正確答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)直線方向向量的求法求得.【詳解】由于，，所以直線的一個(gè)方向向量.故（答案不唯一）15.如圖，為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，若已知，則到直線的距離為________．【正確答案】##【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得到直線的距離.【詳解】由于平面，平面，所以，而四邊形是矩形，所以，由此以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，所以到直線的距離為.故16.如圖，二面角等于，A、是棱l上兩點(diǎn)，BD、AC分別在半平面、內(nèi)，，，且，則CD的長(zhǎng)等于________.【正確答案】4【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合空間向量加法運(yùn)算性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，，得，，又，∴，所以，即.故答案：4.四?解答題（本大題共有6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.注意：答在試卷上無效）17.已知點(diǎn)求：（1）求過兩點(diǎn)的直線的斜率；（2）邊上的高所在直線方程；【正確答案】17.18.【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解斜率即可；（2）根據(jù)斜率公式以及垂直關(guān)系得高所在直線斜率，即可求解.【小問1詳解】由可得；【小問2詳解】由可得，所以邊上的高所在直線的斜率為，由點(diǎn)，所以邊上的高所在直線方程為.18.已知空間三點(diǎn)，設(shè)．（1）求與的夾角的余弦值；（2）若向量與互相垂直，求k的值．【正確答案】（1）（2）【分析】(1)先求出向量，再利用空間向量的夾角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要條件列出方程，解方程求出的值.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以空間向量的夾角公式，可得，所以與的夾角的余弦值為.【小問2詳解】由（1）可知，.因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，所以，所以，所以，解得.19.如圖，在直三棱柱中，，棱，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).（1）求的模；（2）求；（3）求證：.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析；【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出；（2）求出向量和的坐標(biāo)，然后利用空間向量法求出的值；（3）計(jì)算出和的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算得出，可證明出；【小問1詳解】如圖，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系.依題意得、，；【小問2詳解】依題意得、、、，，，，，，所以，；【小問3詳解】依題意，得、，，，，，即；20.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).（1）求直線到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后利用空間向量求解即可；（2）求出平面與平面的法向量，然后利用空間向量求解即可.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椤?，平面，平面，所以∥平面，所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，所以，設(shè)平面法向量為，則，令，則，所以直線到平面的距離為；【小問2詳解】平面的一個(gè)法向量為，由（1）可知平面的法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【正確答案】（1）證明見解析；（2）1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡(jiǎn)可得，，解得或，或，.22.如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，且，平面為的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】22.證明見詳解23.存在，或【分析】（1）根據(jù)