2023-2024學(xué)年湖北省高三上冊10月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題(含解析)_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學(xué)年湖北省高三上冊10月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.)1.已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則(

)A. B. C. D.2.設(shè)為兩條直線,為兩個平面,下列四個命題中,正確的命題是(

)A.若,,則 B.若,,,則C.若,,,則 D.若,則3.函數(shù)的一條對稱軸為(

)A. B. C. D.4.等比數(shù)列的各項均為實數(shù),其前項和為,已知,則(

)A.4 B.16 C.32 D.645.由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中奇數(shù)不相鄰,且2不在第二位,則這樣的六位數(shù)個數(shù)為(

)A.120種 B.108種 C.96種 D.72種6.已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則(

)A.a(chǎn)<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b7.若曲線與曲線有公切線,則實數(shù)的取值范圍是(

)A. B.C. D.8.已知O為坐標(biāo)原點,P是橢圓E:上位于x軸上方的點,F(xiàn)為右焦點.延長PO,PF交橢圓E于Q,R兩點,,,則橢圓E的離心率為(

)A. B. C. D.二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯得0分.)9.設(shè)隨機變量,則下列說法正確的是(

)A.服從正態(tài)分布B.C.D.當(dāng)且僅當(dāng)時,取最大值10.如圖所示,該曲線W是由4個圓:,,,的一部分所構(gòu)成,則下列敘述正確的是(

A.曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB.若圓與曲線W有8個交點,則C.與的公切線方程為D.曲線W上的點到直線的距離的最小值為411.如圖,正方體棱長為1,P是上的一個動點,下列結(jié)論中正確的是(

A.BP的最小值為B.當(dāng)P在上運動時,都有C.當(dāng)P在直線上運動時,三棱錐的體積不變D.的最小值為12.已知雙曲線:的一條漸近線方程為,圓:上任意一點處的切線交雙曲線于,兩點,則(

)A.B.滿足的直線僅有2條C.滿足的直線僅有4條D.為定值2三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)13.設(shè),為兩個不共線向量,若向量與共線,則實數(shù).14.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出回歸方程,設(shè),其變換后得到線性回歸方程,則.15.設(shè),函數(shù),若函數(shù)恰有3個零點,則實數(shù)的取值范圍為.16.設(shè)函數(shù)的定義域為,對于任意的,當(dāng),有,若,則不等式的解集為.四、解答題(本小題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.已知函數(shù).(1)求的值;(2)在△ABC中,若,求的最大值.18.如圖,三棱柱的所有棱長都是,平面,分別是的中點.

(1)求證:平面平面;(2)求和平面所成角的正弦值.19.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊渾所著的《詳解九章算法?商功》中,后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個球.......設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列.

(1)寫出與的遞推關(guān)系,并求數(shù)列的通項公式;(2)記數(shù)列的前項和為,且,在與之間插入個數(shù),若這個數(shù)恰能組成一個公差為的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項和.20.已知函數(shù).(1)若,求的極值;(2)若對任意,恒成立,求整數(shù)m的最小值.21.某中學(xué)舉辦了詩詞大會選拔賽,共有兩輪比賽,第一輪是詩詞接龍,第二輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目,選手從中抽取2個題目,主持人說出詩詞的上句,若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分,若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分.(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個,求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望;(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽,每一次由四個團隊中的一個回答問題,無論答題對錯,該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題,且其他團隊有相同的機會搶答下一問題.記第n次回答的是甲的概率為,若.①求P2,P3;②證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大?。?2.已知拋物線:,過點作斜率互為相反數(shù)的直線,分別交拋物線于及兩點.(1)若,求直線的方程;(2)求證:.1.C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算可得答案.【詳解】因為,所以.故選:C.2.D【分析】ABC可舉出反例,D可利用線面平行的判定定理證得.【詳解】A選項,如圖1,滿足,,但不平行,A錯誤;

B錯誤,如圖2,滿足,,,但不平行,B錯誤;

C選項,如圖3,滿足,,,但不平行,C錯誤;

D選項,若,由線面平行的判斷定理可得,D正確.故選:D3.A【分析】利用三角函數(shù)性質(zhì)求出對稱軸通式即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的對稱軸滿足,解得,令,則,故選:A.4.D【分析】通過討論的取值情況,確定,利用等比數(shù)列的求和公式,建立方程組,求出和,進而求得的值.【詳解】當(dāng)公比時可得,代入,與矛盾,所以.由等比數(shù)列的前項和公式,可得,兩式相除,得,可解得或(舍),當(dāng)時,代入原式可求得,則由等比數(shù)列的通項公式.故選:D5.B【分析】利用全部不相鄰的奇數(shù)中去掉2在第二位的情況,即可利用不相鄰問題插空法求解.【詳解】1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中奇數(shù)不相鄰,先排3個偶數(shù),然后把3個奇數(shù)插入即可,共有個,若2在第二位,則第一位一定為奇數(shù),則從3個奇數(shù)中選擇一個放在第一位上,此時還剩下2個偶數(shù)和2個奇數(shù)安排在后四位上,則先排2個偶數(shù),然后把剩下2個奇數(shù)插空即可,此時共有個,因此符合條件的六位數(shù)有個,故選:B6.A【分析】由題意可得、、,利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關(guān)系,由,得,結(jié)合可得出,由,得,結(jié)合,可得出,綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知、、,,;由,得,由,得,,可得;由,得,由,得,,可得.綜上所述,.故選:A.本題考查對數(shù)式的大小比較,涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.7.A【分析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點,設(shè)公切線與函數(shù)切于點,然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程,則可得,消去,得,再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)切于點,由,得,所以公切線的斜率為,所以公切線方程為,化簡得,設(shè)公切線與函數(shù)切于點,由,得,則公切線的斜率為,所以公切線方程為,化簡得,所以,消去,得,由,得,令,則,所以在上遞減,所以,所以由題意得,即實數(shù)的取值范圍是,故選:A關(guān)鍵點點睛:此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查導(dǎo)數(shù)的計算,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出公切線方程,考查計算能力,屬于較難題.8.B【分析】由橢圓的對稱性,及,得四邊形為矩形,設(shè),利用橢圓的定義,及條件所給出的長度關(guān)系,可表示出,,,利用勾股定理,求出m,推斷出點P的位置,求出離心率.【詳解】如圖,設(shè)左焦點為,連接,,,由題,,關(guān)于原點對稱,所以四邊形為平行四邊形,又因為,所以四邊形為矩形.設(shè),則,又因為,則,,,在中,,即,解得或(舍去),故點P為橢圓的上頂點.由,所以,即,所以離心率.故選:B.解題時注意數(shù)形結(jié)合,抓住橢圓的對稱性,將圖形關(guān)系用含a,b,c的代數(shù)式表示出來,即可求解離心率.9.BC【分析】根據(jù)二項分布及正態(tài)分布的定義即可判斷A;根據(jù)二項分布的概率公式即可判斷B;根據(jù)二項分布的期望與方差公式即可判斷C;利用不等式法結(jié)合二項分布的概率公式即可判斷D.【詳解】對于A,隨機變量,則服從二項分布,故A錯誤;對于B,,故B正確;對于C,,,所以,故C正確;對于D,設(shè)為最大值,則,即,解得,所以當(dāng)或時,取最大值,故D錯誤.故選:BC.10.ACD【分析】A選項可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓,即可判斷;B選項可直接由圖討論判斷對錯;C選項可由圓心到直線的距離等于半徑,求出公切線;D選項可先找到,的公切線方程為,曲線W上的點到直線的距離的最小值即為平行線間的距離.【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓,所以其面積為,故A選項正確.當(dāng)時,交點為B,D,F(xiàn),H;當(dāng)時,交點為A,C,E,G;當(dāng)或時,沒有交點;當(dāng)時,交點個數(shù)為8,故B選項錯誤.設(shè)與的公切線方程為,由直線和圓相切的條件可得,解得,(舍去),則其公切線方程為,即,故C選項正確.同理可得,的公切線方程為,則兩平行線的距離,故D選項正確.故選:ACD.11.ABC【分析】判斷BP的最小值即為正三角形的邊上的高,即可判斷A;證明平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B;根據(jù)線面平行的性質(zhì)結(jié)合棱錐的體積公式可判斷C;將平面沿著翻折到平面上,將的最小值轉(zhuǎn)化為線段AC的長度,判斷D.【詳解】對于A,連接,在正方體中,,故BP的最小值為正三角形的邊上的高,即,A正確;對于B,連接,

由于平面,平面,故,而平面,故平面,平面,故;同理可證,平面,故平面,平面,故,即,B正確;對于C,連接,因為,

故四邊形為平行四邊形,則平面,平面,故平面,P點在直線上運動,即P到平面的距離為定值,而為邊長為的正三角形,其面積為定值,故三棱錐的體積為定值,由于故三棱錐的體積為定值,C正確;對于D,將平面沿著翻折到平面上,連接,

與交于點P,則即為的最小值;在中,,,即的最小值為,D錯誤;故選:ABC難點點睛:本題解答的難點在于D選項的判斷,解答時要采用將空間問題平面化的方法,即將兩平面翻折到一個平面上,從而將兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段的長度問題.12.AD【分析】由雙曲線及其漸近線方程求得,寫出雙曲線方程,討論或斜率不存在易得,判斷A、B;若,且,得到,聯(lián)立雙曲線方程應(yīng)用韋達定理及向量夾角的坐標(biāo)表示求得為定值,即,進而有,即可判斷C、D.【詳解】因為雙曲線:,所以其漸近線方程為,又雙曲線的一條漸近線方程為,即,所以,解得,故,A對;

若時,,此時,若斜率不存在時,,此時,所以對應(yīng)直線有4條,B錯;若,且,直線斜率存在為,則,即(也滿足),代入,消得:,即,,所以,,則,所以,即,所以,則直線有無數(shù)條,C錯誤;由C分析易知:,則,故,D正確.故選:AD關(guān)鍵點點睛:對于C、D,設(shè)切點坐標(biāo)并寫出切線方程,聯(lián)立雙曲線方程,應(yīng)用韋達定理、向量夾角坐標(biāo)表示判斷為定值為關(guān)鍵.13.##2.5【分析】根據(jù)向量共線定理,得到方程組,求出答案.【詳解】與共線,故存在實數(shù),使得,即,所以,解得.故14.【分析】兩邊取對數(shù),對照系數(shù),求出【詳解】,即,∴,.故15.【分析】設(shè),可確定當(dāng)時,函數(shù)的零點個數(shù),繼而作出的大致圖像,考慮時的圖象情況,分類討論,將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,數(shù)形結(jié)合,即可解決.【詳解】設(shè),當(dāng)時,,此時,由,得,即,解得或,即在上有2個零點;若,,其圖象對稱軸為,函數(shù)的大致圖像如圖:則此時,即,則,即無解,則無零點,此時無零點,不符合題意;故需,此時函數(shù)的大致圖像如圖:由得或,要使得函數(shù)恰有3個零點,需滿足在上有一個零點此時只有一個解,故只需與函數(shù)在y軸左側(cè)圖象無交點,則需,解得,結(jié)合,可得,故方法點睛:本題為復(fù)合函數(shù)的零點問題,解答時采用數(shù)形結(jié)合的方法去解決,即作出函數(shù)的大致圖像,將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為曲線的交點個數(shù)問題,即可解決.16.【分析】構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因為,所以,即又,所以令,因為對于任意的,,所以在上單調(diào)遞增,又,,由有:即,由函數(shù)的單調(diào)性有:.則不等式的解集為:.故答案為.17.(1)1(2)【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式、倍角公式與輔助角公式將函數(shù)解析式化簡,再可求的值即可;(2)由A,B為三角形的內(nèi)角,,可求得,從而,展開后利用三角函數(shù)的輔助角公式即可求得的最大值.【詳解】(1)∵,∴.(2)由題意可知,,而可得:,即,∴,∵,∴,,∴的最大值為.18.(1)證明見解析(2)【分析】(1)取的中點,證得平面,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面A1BD和BAE的一個法向量,求得,得到,即可證得平面平面;(2)由(1)可知:是平面的一個法向量,結(jié)合向量的夾角公式,即可求得和平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點,連接,則,又因為平面,所以平面,則兩兩垂直,如圖,以為原點,所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,

可得,設(shè)分別為平面和平面的法向量,由,令,則,可得是平面的一個法向量,由,令,則,可得是平面的一個法向量,因為,即,所以平面平面.(2)由(1)可得:,是平面的一個法向量,設(shè)和平面所成角為,則,所以和平面所成角的正弦值為.19.(1),(2)【分析】(1)利用每一層小球的數(shù)量找到遞推關(guān)系,再利用累加法求通項公式即可;(2)利用與的關(guān)系求出數(shù)列,進而求得,再利用錯位相減法求即可.【詳解】(1)由題意可知,,,所以數(shù)列的一個遞推關(guān)系為,所以當(dāng)時,利用累加法可得,將代入得,符合,所以數(shù)列的通項公式為.(2)當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,①,②①-②,得,即,所以數(shù)列是以3為首項,3為公比等比數(shù)列,所以,由題意可知,所以,所以,所以,③,④③-④得,所以,所以數(shù)列的前項和.20.(1)極大值為,無極小值(2)1【分析】(1)求導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性得極值;(2)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立,設(shè),轉(zhuǎn)化為求的最大值,確定的零點的范圍,得出最大值的范圍后可得最小的整數(shù).【詳解】(1)當(dāng)時,,.當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增;當(dāng)時.,則在上單調(diào)遞減.所以在時取得極大值且極大值為,無極小值;(2)因為對任意,恒成立,所以在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),則.設(shè),顯然在上單調(diào)遞減,因為,,所以,使得,即,當(dāng)時,,;當(dāng)時,,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,因為,所以,故整數(shù)m的最小值為1.方法點睛:本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,研究不等式恒成立問題.求解不等式恒成立問題,常常需要轉(zhuǎn)化,用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,本題中函數(shù)的最值點不能直接求出,我們用表示,通過得出的范圍,從而可得最大值的范圍,然后得出結(jié)論.21.(1)12(2)①,;②證明過程見詳解,第7次回答的是甲的可能性比第8次的大【分析】(1)設(shè)該選手答對的題目個數(shù)為,該選手在第一輪的得分為η,可得,再寫出的所有可能取值,分別求出其對應(yīng)的概率,進而得到的分布列,并求出的數(shù)學(xué)期望,從而可求得的數(shù)學(xué)期望;(2)①直接根據(jù)題意可得第一次是甲回答,第二次甲不回答,所以第二

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