專題17等腰三角形與直角三角形（共42題）-2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【有答案】【全國通用】（第01期）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國通用】（第01期）專題17等腰三角形與直角三角形（共42題）姓名：__________________班級：______________得分：_________________一、單選題1．（2021·湖南衡陽市·中考真題）下列命題是真命題的是（）．A．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和 B．正六邊形的每一個內(nèi)角為C．有一個角是的三角形是等邊三角形 D．對角線相等的四邊形是矩形【答案】B【分析】根據(jù)多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的性質(zhì)，對各個選項(xiàng)逐個分析，即可得到答案．【詳解】正六邊形的外角和，和正五邊形的外角和相等，均為∴選項(xiàng)A不符合題意；正六邊形的內(nèi)角和為：∴每一個內(nèi)角為，即選項(xiàng)B正確；三個角均為的三角形是等邊三角形∴選項(xiàng)C不符合題意；對角線相等的平行四邊形是矩形∴選項(xiàng)D不正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的性質(zhì)，從而完成求解．2．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點(diǎn)有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點(diǎn)有3個．故共有3個點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．3．（2021·浙江寧波市·中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，．若E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則的長為（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長，再根據(jù)中位線定理可知EF=?！驹斀狻拷猓阂?yàn)锳D垂直BC，則△ABD和△ACD都是直角三角形，又因?yàn)樗訟D=，因?yàn)閟in∠C=，所以AC=2，因?yàn)镋F為△ABC的中位線，所以EF==1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵．4．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）下列命題中，假命題是（）A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半B．等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合C．若，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個三角形的外心【答案】C【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的定義分別判斷即可．【詳解】解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故為真命題；B、等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合，故為真命題；C、若在同一條直線上AB=BC，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，故為假命題；D、三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個三角形的外心，故為真命題；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)知識，要熟練掌握．5．（2021·四川瀘州市·中考真題）在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，有以下結(jié)論：（其中R為ABC的外接圓半徑）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，則ABC的外接圓面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：先求出∠C，根據(jù)題目所給的定理，,利用圓的面積公式S圓=．方法二：設(shè)△ABC的外心為O，連結(jié)OA，OB，過O作OD⊥AB于D，由三角形內(nèi)角和可求∠C=60°，由圓周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性質(zhì)，∠OAB=∠OBA=，由垂徑定理可求AD=BD=，利用三角函數(shù)可求OA=，利用圓的面積公式S圓=．【詳解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，有題意可知，∴，∴S圓=．方法二：設(shè)△ABC的外心為O，連結(jié)OA，OB，過O作OD⊥AB于D，∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，∵OD⊥AB，AB為弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，∴OA=，∴S圓=．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式是解題關(guān)鍵．6．（2021·浙江溫州市·中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若．，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解．【詳解】∵在中，，∴在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理和三角函數(shù)．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．7．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，中，，將沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再利用折疊的性質(zhì)得到AE=BE，AD=BD=5，設(shè)AE=x，則CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，設(shè)AE=x，則CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．也考查了勾股定理．8．（2021·陜西中考真題）如圖，在菱形中，，連接、，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，由題意易得，，進(jìn)而可得△ABC是等邊三角形，，然后問題可求解．【詳解】解：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2021·安徽中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的長，即可求出該四邊形的周長．【詳解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的對邊平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因?yàn)镺點(diǎn)是菱形ABCD的對稱中心，∴O點(diǎn)到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四邊形EFGH是矩形；設(shè)OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如圖，連接AC，則AC經(jīng)過點(diǎn)O，可得三角形ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+HE=,故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，要求學(xué)生在理解相關(guān)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會應(yīng)用，能分析并綜合運(yùn)用相關(guān)條件完成線段關(guān)系的轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生的綜合分析與應(yīng)用的能力．10．（2021·四川樂山市·中考真題）如圖，已知點(diǎn)是菱形的對角線延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作、延長線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、．若，，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的基性質(zhì)，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，則AP=+PC，PE=AP=+PC，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC，最后算出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，∴∠CAE=30?，∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，∴AC=，∴AP=+PC，在直角△AEP中，∵∠PAE=30°，AP=+PC，∴PE=AP=+PC，在直角△PFC中，∵∠PCF=30°，∴PF=PC，∴=+PC-PC=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，關(guān)鍵會在直角三角形中應(yīng)用30°．11．（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，在紙片中，，點(diǎn)分別在上，連結(jié)，將沿翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F落在的延長線上，若平分，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根據(jù)角平分線的定義證得∠BFD=∠DFE=∠DAE，進(jìn)而證得∠BDF=90°，證明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的長．【詳解】解：∵，∴=5，由折疊性質(zhì)得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，則BD=5﹣AD，∵平分，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，∵∠DAE+∠B=90°，∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，∴Rt△ABC∽Rt△FBD，∴即，解得：AD=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．12．（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，，，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意得出OA=8，OC=2，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可【詳解】解：由題意可知：AC=AB∵，∴OA=8，OC=2∴AC=AB=10在Rt△OAB中，∴B(0，6)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，圓的半徑相等、熟練進(jìn)行勾股定理的計(jì)算是關(guān)鍵13．（2021·云南中考真題）在中，，若，則的長是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，∴BC=100×3÷5=60，∴AB==80，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2021·浙江金華市·中考真題）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)都在同一個圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定圓的圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)確定△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，再由勾股定理解得，解得，據(jù)此解題即可．【詳解】解：如圖所示，正方形的頂點(diǎn)都在同一個圓上，圓心在線段的中垂線的交點(diǎn)上，即在斜邊的中點(diǎn)，且AC=MC，BC=CG，∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、圓的面積、三角形的面積等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．（2021·浙江溫州市·中考真題）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．過點(diǎn)作的垂線交小正方形對角線的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，延長交于點(diǎn)．若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，設(shè)BH交CF于P，CG交DF于Q，根據(jù)題意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根據(jù)可得BE=PE=PC=PF=DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可證明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示長CH的長，即可表示出CG的長，進(jìn)而可得答案．【詳解】如圖，設(shè)BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH為△CFQ的中位線，∴PH=QF，CH=HQ，∵四邊形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，在Rt△PCH中，CH==，∴CG=BE，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．16．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，把邊AB沿對角線BD平移，點(diǎn)，分別對應(yīng)點(diǎn)A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)，，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的距離為48；③的最大值為15；④的最小值為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點(diǎn)C到BD的距離，從而對②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于連接，過作于分別交于證明是最小值時的位置，再利用勾股定理求解，對④做出判斷．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得AB//且AB=∵四邊形ABCD為矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD∴四邊形CD為平行四邊形，故①正確在矩形ABCD中，BD===25過A作AM⊥BD，CN⊥BD，則AM=CN∴S△ABD=AB·CD=BD·AM∴AM=CN==12∴點(diǎn)C到的距離為24∴點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的距離為48∴故②正確∵∴當(dāng)在一條直線時最大，此時與D重合∴的最大值==15∴故③正確，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于連接，過作于分別交于則為的中位線，，由可得，此時最小，由②同理可得：設(shè)則由勾股定理可得：整理得：解得：（負(fù)根舍去），∴故④正確故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．17．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一個動點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，由題意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，進(jìn)而可得△PCD≌△QED，則有∠PCD=∠QED=90°，然后可得點(diǎn)Q是在QE所在直線上運(yùn)動，所以CQ的最小值為CQ⊥QE時，最后問題可求解．【詳解】解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），∵，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴∠PCD=∠QED=90°，，∴點(diǎn)Q是在QE所在直線上運(yùn)動，∴當(dāng)CQ⊥QE時，CQ取的最小值，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵．18．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，菱形ABCD中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線方向移動，移動到點(diǎn)D停止．在形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（）

A．直角三角形→等邊三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等邊三角形C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【分析】是特殊三角形，取決于點(diǎn)P的某些特殊位置，按其移動方向，逐一判斷即可．【詳解】解：連接AC，BD，如圖所示．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∴和都是等邊三角形．點(diǎn)P在移動過程中，依次共有四個特殊位置：（1）當(dāng)點(diǎn)P移動到BC邊的中點(diǎn)時，記作．∵是等邊三角形，是BC的中點(diǎn)，∴．∴．∴是直角三角形．（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，記作．此時，是等邊三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)P移動到CD邊的中點(diǎn)時，記為．∵和都是等邊三角形，∴．∴是直角三角形．（4）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，記作．∵，∴是等腰三角形．綜上，形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是：直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，熟知特殊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題19．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，在中，，，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，連結(jié)AP，則的度數(shù)是_______．

【答案】或【分析】分①點(diǎn)P在BC的延長線上，②點(diǎn)P在CB的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，如圖

∵，，∴∴∵以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，∴AC=PC∴∵∴∴②當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時，如圖

由①得，∵AC=PC∴∴故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論不重不漏是解題的關(guān)鍵．20．（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，將三角形紙片折疊，使點(diǎn)、都與點(diǎn)重合，折痕分別為、.已知，，，則的長為_______．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)得出BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，得出∠AFE=30°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EAF=∠AFE=30°，證出△ABE是等邊三角形，得出∠BAE=60°，求出AE=BE=2，證出∠BAF=90°，利用勾股定理求出AF，即CF，可得BC．【詳解】解：∵把三角形紙片折疊，使點(diǎn)B、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為DE，F(xiàn)G，∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，∴∠AFE=30°，又AE=EF，∴∠EAF=∠AFE=30°，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形，∠AED=∠BED=30°，∴∠BAE=60°，∵DE=，∴AE=BE=AB==2，∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，∴FC=AF==，∴BC=BF+FC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)折疊的性質(zhì)得出相等的邊和角是解題關(guān)鍵．21．（2021·江蘇蘇州市·中考真題）如圖．在中，，．若，則______．【答案】54°【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠AEF，再根據(jù)三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案為：54°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2021·浙江中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角星（是正五邊形的五個頂點(diǎn)），則圖中的度數(shù)是_______度．【答案】36【分析】根據(jù)題意，得五邊形（是正五邊形的五個頂點(diǎn)）為正五邊形，且；根據(jù)多邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得正五邊形內(nèi)角和，從而得；再根據(jù)補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵正五角星（是正五邊形的五個頂點(diǎn)）∴五邊形（是正五邊形的五個頂點(diǎn)）為正五邊形，且∴正五邊形內(nèi)角和為：∴∴∵∴∴故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形、多邊形內(nèi)角和、補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形、多邊形內(nèi)角和、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．23．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)E在上，且平分，若，，則的面積為________．【答案】50【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)求出EF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=BE=5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四邊形ABCD的面積===50，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，知識點(diǎn)較多，但難度不大，圖形特征比較明顯，作出輔助線構(gòu)造直角三角形求出EF的長是解題的關(guān)鍵．24．（2021·云南中考真題）已知的三個頂點(diǎn)都是同一個正方形的頂點(diǎn)，的平分線與線段交于點(diǎn)D．若的一條邊長為6，則點(diǎn)D到直線的距離為__________．【答案】3或或或【分析】將△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分別分AB=BC=6，AC=6，進(jìn)行解答．【詳解】解：∵△ABC三個頂點(diǎn)都是同一個正方形的頂點(diǎn)，如圖，若∠ABC=90°，則∠ABC的平分線為正方形ABCD的對角線，D為對角線交點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，當(dāng)AB=BC=6，則DF=BC=3；當(dāng)AC=6，則AB=BC==，∴DF=BC=；如圖，若∠BAC=90°，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BAD≌△BFD（AAS），∴AB=BF，當(dāng)AB=AC=6，則BC=，∴BF=6，CF=，在正方形ABEC中，∠ACB=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=；當(dāng)BC=6，則AB=AC==，同理可得：，綜上：點(diǎn)D到直線AB的距離為：3或或或，故答案為：3或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，知識點(diǎn)較多，解題時要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答．25．（2021·江蘇南京市·中考真題）如圖，在四邊形中，．設(shè)，則______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】由等腰的性質(zhì)可得：∠ADB=，∠BDC=，兩角相加即可得到結(jié)論．【詳解】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB=在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC=∵∴====故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分別求出∠ADB=，∠BDC=是解答本題的關(guān)鍵．26．（2021·四川資陽市·中考真題）將一張圓形紙片（圓心為點(diǎn)O）沿直徑對折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線剪開，再將展開得到如圖3的一個六角星．若，則的度數(shù)為______．【答案】135°【分析】利用折疊的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理解題．【詳解】解：連接OC，EO由折疊性質(zhì)可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD∴∠ECO=∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即的度數(shù)為135°故答案為：135°【點(diǎn)睛】主要在考查折疊的性質(zhì)，學(xué)生動手操作的能力，也考查了等腰三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理，掌握折疊及等腰三角形的性質(zhì)正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．27．（2021·浙江金華市·中考真題）如圖，菱形的邊長為，，將該菱形沿AC方向平移得到四邊形，交CD于點(diǎn)E，則點(diǎn)E到AC的距離為____________．【答案】2【分析】首先根據(jù)菱形對角線的性質(zhì)得出AC的長，然后利用菱形對角線平分對角和平移的性質(zhì)得出等腰，過頂點(diǎn)作垂線段EF，利用三線合一得出CF的長，再利用直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊一半和勾股定理列出方程，即可求解．【詳解】∵∠BAD=60°，∴連接對角線AC,BD，則AC⊥BD，且AC平分∠BAD,∴在Rt△ADO中，利用勾股定理得又∵AC=2AO,∴AC=，由題可知=，∴A’C=;由平移可知=∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,∴=∠DCA，即==30°，∴是等腰三角形；過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F，如圖所示：則由等腰三角形三線合一可得：A’F=FC=,在Rt△ECF中，,設(shè)EF=x，則EC=2x，由勾股定理得：，解得x=2，故填：2．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一，直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊一半和勾股定理；菱形對角線互相垂直且平分，一條對角線平分一組對角，熟知概念定理是解題的關(guān)鍵．28．（2021·浙江紹興市·中考真題）已知與在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D不重合，，，，則CD長為_______．【答案】，，【分析】首先確定滿足題意的兩個三角形的形狀，再通過組合得到四種不同的結(jié)果，每種結(jié)果分別求解，共得到四種不同的取值；圖2、圖3、圖4均可通過過A點(diǎn)向BC作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)可求出相應(yīng)線段的長，與CD關(guān)聯(lián)即可求出CD的長；圖5則是要過D點(diǎn)向BC作垂線，構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可求解．【詳解】解：如圖1，滿足條件的△ABC與△ABD的形狀為如下兩種情況，點(diǎn)C，D不重合，則它們兩兩組合，形成了如圖2、圖3、圖4、圖5共四種情況；如圖2，，此時，，由題可知：，∴是等邊三角形，∴；過A點(diǎn)作AE⊥BC，垂足為E點(diǎn)，在中，∵，∴,;在中，;∴；（同理可得到圖4和圖5中的，，．）∴．如圖3，，此時，，由題可知：，∴是等邊三角形，∴；過A點(diǎn)作AM⊥BC，垂足為M，在中，∵，∴,;在中，;（同理可得到圖4和圖5中的，，．）∴CD=；如圖4，由上可知：；如圖5，過D點(diǎn)作DN⊥BC，垂足為N點(diǎn)；∵，∴，∴在中，,；∵,∴在中，;綜上可得：CD的長為，，．故答案為：，，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對幾何圖形的分類討論問題，內(nèi)容涉及到勾股定理、直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、解直角三角形、等邊三角形等知識，考查了學(xué)生對相關(guān)概念與性質(zhì)的理解與應(yīng)用，本題對綜合分析能力要求較高，屬于填空題中的壓軸題，涉及到了分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想等．29．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，的半徑為，P為AB邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為________．【答案】3【分析】連接OC和PC，利用切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，可得當(dāng)CP最小時，PQ最小，此時CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【詳解】解：連接QC和PC，∵PQ和圓C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，∴當(dāng)CP最小時，PQ最小，∵△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)CP⊥AB時，CP最小，此時CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP==，∵圓C的半徑CQ=，∴PQ==3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)PC⊥AB時，線段PQ最短是關(guān)鍵．30．（2021·浙江麗水市·中考真題）小麗在“紅色研學(xué)”活動中深受革命先烈事跡的鼓舞，用正方形紙片制作成圖1的七巧板，設(shè)計(jì)拼成圖2的“奔跑者”形象來激勵自己．已知圖1正方形紙片的邊長為4，圖2中，則“奔跑者”兩腳之間的跨度，即之間的距離是__________．【答案】【分析】先根據(jù)圖1求EQ與CD之間的距離，再求出BQ，即可得到之間的距離=EQ與CD之間的距離+BQ．【詳解】解：過點(diǎn)E作EQ⊥BM，則根據(jù)圖1圖形EQ與CD之間的距離=由勾股定理得：，解得：；，解得：∵∴∵EQ⊥BM，∴∴∴之間的距離=EQ與CD之間的距離+BQ故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線間的距離、勾股定理、平行線所分得線段對應(yīng)成比例相關(guān)知識點(diǎn)，能利用數(shù)形結(jié)合法找到需要的數(shù)據(jù)是解答此題的關(guān)鍵．31．（2021·四川成都市·中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在對角線上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長為_______；第二步，分別在上取點(diǎn)M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，則線段的長為_______．【答案】1【分析】連接AF，NE，NF，證明出△AOE△ADC，利用對應(yīng)邊成比例求出OE=，再根據(jù)勾股定理求出的長，利用勾股定理求出EF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE，最后得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，連接AF，NE，NF，∵點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，∴MN⊥EF，設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)得到OA=OA’=3，令BF=x，則FC=8-x,由勾股定理的：，∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴，由勾股定理得到：AC=，∴，∴OE=，∴OA=，∴OC=，∵，∴，解得：,∴的長為1．設(shè)B’N=m，B’F=1，則，解得：m=1，則FN=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案為：1，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于畫出圖形，利用三角形相似和勾股定理求出各邊的長度，特別注意點(diǎn)F與點(diǎn)E重合用到垂直平分線的性質(zhì)．32．（2021·浙江金華市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上．若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是1，則“貓”爪尖F的坐標(biāo)是___________．【答案】【分析】設(shè)大正方形的邊長為2a，則大等腰直角三角形的腰長為，中等腰直角三角形的腰長為a，小等腰直角三角形的腰長為，小正方形的邊長為，平行四邊形的長邊為a，短邊為，用含有a的代數(shù)式表示點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，表示點(diǎn)F的坐標(biāo)，確定a值即可.【詳解】設(shè)大正方形的邊長為2a，則大等腰直角三角形的腰長為，中等腰直角三角形的腰長為a，小等腰直角三角形的腰長為，小正方形的邊長為，平行四邊形的長邊為a，短邊為，如圖，過點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G,點(diǎn)F作FH⊥y軸，垂足為H,過點(diǎn)A作AQ⊥x軸，垂足為Q,延長大等腰直角三角形的斜邊交x軸于點(diǎn)N，交FH于點(diǎn)M，根據(jù)題意，得OC==，CD=a,DQ=，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,∴+a+=1，∴a=；根據(jù)題意，得FM=PM=，MH=，∴FH==；∴MT=2a-，BT=2a-,∴TN=-a，∴MN=MT+TN=2a-+-a==，∵點(diǎn)F在第二象限，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-，）故答案為：（-，）．【點(diǎn)睛】本題考查了七巧板的意義，合理設(shè)出未知數(shù)，用未知數(shù)表示各個圖形的邊長，點(diǎn)ＡＡ的橫坐標(biāo)，點(diǎn)Ｆ的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．33．（2021·江蘇宿遷市·中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（示意圖如圖，則水深為__尺．【答案】12【分析】依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB=AB'=x尺，則水深A(yù)C=（x﹣1）尺，因?yàn)锽'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB=AB'=x尺，則水深A(yù)C=（x﹣1）尺，因?yàn)锽'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，蘆葦長13尺．故答案為：12．．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．三、解答題34．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖與的方格都是由邊長為1的小正方形組成．圖1是繪成的七巧板圖案，它由7個圖形組成，請按以下要求選擇其中一個并在圖2、圖3中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）選一個四邊形畫在圖2中，使點(diǎn)為它的一個頂點(diǎn)，并畫出將它向右平移3個單位后所得的圖形．（2）選一個合適的三角形，將它的各邊長擴(kuò)大到原來的倍，畫在圖3中．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）七巧板中有兩個四邊形，分別是正方形和平行四邊形，根據(jù)題意可畫出4種圖形任意選一種即可，（2）七巧板中有五個等腰直角三角形，有直角邊長的兩個，直角邊長2的兩個，直角邊長2的一個，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．【詳解】解：（1）畫法不唯一，當(dāng)選四邊形為正方形時可以是如圖1或圖2；當(dāng)四邊形式平行四邊形時可以是圖3或圖4．（2）畫法不唯一，當(dāng)直角邊長為時，擴(kuò)大即直角邊長為利用勾股定理畫出直角邊長為直角三角形可以是如圖5或圖6當(dāng)直角邊長為2時，擴(kuò)大即直角邊長為2利用勾股定理畫出直角邊長為2直角三角形可以是如圖7或圖8等．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖，平移，二次根式的乘法，以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．35．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，是的角平分線，在上取點(diǎn)，使．（1）求證：．（2）若，，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分線的定義和等邊對等角求出，即可完成求證；

（2）先求出∠ADE，再利用平行線的性質(zhì)求出∠ABC，最后利用角平分線的定義即可完成求解．

【詳解】解：（1）平分，．，，，．（2），，．．．平分，，即．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記概念與性質(zhì)，本題的解題思路較明顯，屬于幾何中的基礎(chǔ)題型，著重考查了學(xué)生對基本概念的理解與掌握．36．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，連結(jié)CD，BE．

（1）若，求，的度數(shù)．（2）寫出與之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；；（2），見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性質(zhì)分別求出，．（2）利用三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求出用含分別表示，，即可得到兩角的關(guān)系．【詳解】（1），，．在中，，，，，．．

（2），的關(guān)系：．理由如下：設(shè)，．在中，，，．，在中，，．．．．【點(diǎn)睛】本題主要通過求解角和兩角之間的關(guān)系，考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．三角形的內(nèi)角和等于．三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．等腰三角形等邊對等角．37．（2021·四川眉山市·中考真題）“眉山水街”走紅網(wǎng)絡(luò)，成為全國各地不少游客新的打卡地！游客小何用無人機(jī)對該地一標(biāo)志建筑物進(jìn)行拍攝和觀測，如圖，無人機(jī)從處測得該建筑物頂端的俯角為24°，繼續(xù)向該建筑物方向水平飛行20米到達(dá)處，測得頂端的俯角為45°，已知無人機(jī)的飛行高度為60米，則這棟建筑物的高度是多少米？（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】和中有公共直角邊CE，根據(jù)等腰直角三角形以及銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系解出CE的長度，再用無人機(jī)的飛行高度減去CE即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作交AB的延長線于點(diǎn)C，作于點(diǎn)F，如圖所示：在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)解直角三角形，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)中邊與角的關(guān)系列出比例是解決本題的關(guān)鍵38．（2021·四川樂山市·中考真題）如圖，已知，，與相交于點(diǎn)，求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明，得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】∵，∴（AAS），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．39．（2021·重慶中考真題）在等邊中，，，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C時，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF的延長線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動，將線段EF繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．【答案】（1）①；②見解析；（2）【分析】（1）①連接AG，根據(jù)題意得出△ABC和△GEF均為等邊三角形，從而可證明△GBC≌△GAC，進(jìn)一步求出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點(diǎn)K，連接KF，先證明出△BFK是頂角為120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，從而得出結(jié)論即可；（2）利用“胡不歸”模型構(gòu)造出含有30°角的直角三角形，構(gòu)造出，當(dāng)N、P、J三點(diǎn)共線的時候滿足條件，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別計(jì)算出PN與DN的長度，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①如圖所示，連接AG，由題意可知，△ABC和△GEF均為等邊三角形，∴∠GFB=60°，∵BD⊥AC，∴∠FBC=30°，∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，∵AC=BC，GC=GC，∴△GBC≌△GAC（SAS），∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，∵AB=6，∴AD=3，AG=BG=，∴在Rt△ADG中，，∴；②證明：以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點(diǎn)K，連接KF，如圖，∵△ABC和△GEF均為等邊三角形，∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，∴∠BEF+∠BHF=180°，∵∠BHF+∠KHF=180°，∴∠BEF=∠KHF，由輔助線作法可知，F(xiàn)B=FK，則∠K=∠FBE，∵BD是等邊△ABC的高，∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，∴∠BFK=120°，在△FEB與△FHK中，∴△FEB≌△FHK（AAS），∴BE=KH，∴BE+BH=KH+BH=BK，∵FB=FK，∠BFK=120°，∴BK=BF，即：；（2）如圖1所示，以MP為邊構(gòu)造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，則PJ=MP，∴求的最小值，即為求的最小值，如圖2所示，當(dāng)運(yùn)動至N、P、J三點(diǎn)共線時，滿足最小，此時，連接EQ，則根據(jù)題意可得EQ∥AD，且EQ=AD，∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，∵∠PEF=60°，∴∠MEP=∠QEF，由題意，EF=EP，∴△MEP≌△QEF（SAS），∴∠EMP=∠EQF=90°，又∵∠PMJ=30°，∴∠BMJ=60°，∴MJ∥AC，∴∠PMJ=∠DNP=90°，∵∠BDC=90°，∴四邊形ODNJ為矩形，NJ=OD，由題，AD=3，BD=，∵M(jìn)J∥AC，∴△BMO∽△BAD，∴，∴OD=BD=，OM=AD=，設(shè)PJ=x，則MJ=x，OJ=x-，由題意可知，DN=CD=2，∴，解得：，即：PJ=，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等，理解基本圖形的性質(zhì)，合理構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵．40．（2021·浙江中考真題）已知在中，是的中點(diǎn)，是延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)．（1）如圖1，若，求的長．（2）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，如圖2所示．若，求證：．（3）如圖3，若，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時，？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，【分析】（1）先解直角三角形ABC得出，從而得出是等邊三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的長，進(jìn)而得出BC的長；（2）連結(jié)，先利用AAS證出，得出AE=2PE，AC=DE，再得出是等邊三角形，然后由SAS得出，得出AE=BC即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，連接BE，過C作CG⊥AB于G，過E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再證明，從而得出得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．【詳解】（1）解，，，，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，在中，，，．（2）證明：連結(jié)，，，，，，，，又，，是等邊三角形，，，又，，，．（3）存在這樣的．過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，連接BE，過C作CG⊥AB于G，過E作EN⊥AB于N，則，，由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN，∵，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，，∴∠EAN=∠CBG∵AE=BC，AB=BA，∴∴AC=BE，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴，∵∴【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是合理添加輔助線，有一定的難度．41．（2021·江蘇連云港市·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點(diǎn)，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個動點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)