2024屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat16頁(yè)2024屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判定出兩集合的關(guān)系判斷選項(xiàng)AB；求得否定選項(xiàng)C；求得否定選項(xiàng)D.【詳解】由，，可得故選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B判斷正確；，則選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；，則選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤.故選：B2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.3．設(shè)則A． B．C． D．【答案】B【詳解】：因?yàn)椋?，那么，所?4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)，余弦函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，故A不符題意；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)在上不是減函數(shù)，故B不符題意；對(duì)于C，函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，令，令在區(qū)間上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C符合題意；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故D不符題意.故選：C.5．若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，由題意可得恒成立，結(jié)合即可求解.【詳解】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以，又的解集為R，所以恒成立，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.6．設(shè)，且，“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由解得：x<0.由化為：,即，解得x>1或x<0.∴“”是“”的充分不必要條件，故選A.7．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且過(guò)原點(diǎn)，進(jìn)而得在上單調(diào)遞增，即可求解.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，且過(guò)原點(diǎn)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：D.8．設(shè)偶函數(shù)對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，．則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及已知條件的等式，即可將轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又，所以，即，則.故選：A9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②可能是偶函數(shù)；③在上一定存在最大值；④的解集為．其中正確的結(jié)論為（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】令，即可判斷①；令，結(jié)合奇偶性得定義即可判斷②；設(shè)，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷③④.【詳解】對(duì)于①，令，則，所以，故①正確；對(duì)于②，令，則，所以，所以為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以不是常函數(shù)，不可能是偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)，則，則，所以，所以是減函數(shù)，所以在上一定存在最大值，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)闉闇p函數(shù)，，由，得，解得，所以的解集為，故④正確.故選：C.10．下圖展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)（如圖1）；將線段圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)、恰好重合（從到是逆時(shí)針，如圖2）；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（如圖3），圖3中直線與x軸交于點(diǎn)，則的象就是，記作．則下列命題中正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．在其定義域上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】C【分析】借助于圖形來(lái)看四個(gè)選項(xiàng)，先由可判斷A，實(shí)數(shù)所在區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知B錯(cuò)，從圖形上可得在定義域上單調(diào)遞增，C對(duì)，先找到，再利用圖形判斷D錯(cuò)，【詳解】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為，，直線的方程為，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，即A錯(cuò).對(duì)于B，因?yàn)閷?shí)數(shù)所在區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不存在奇偶性．故B錯(cuò)．對(duì)于C，當(dāng)實(shí)數(shù)越來(lái)越大時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)也越來(lái)越往右，即也越來(lái)越大，所以在定義域上單調(diào)遞增，即C對(duì)．對(duì)于D，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)的正下方，此時(shí)點(diǎn)，所以，再由圖形可知的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，而非關(guān)于軸對(duì)稱，即D錯(cuò)．故選：C．二、填空題11．命題“”的否定是．【答案】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得解.【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“”的否定是.故答案為：.12．計(jì)算：.【答案】1【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求解．【詳解】故答案為：113．函數(shù)y=的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)函數(shù)表達(dá)式得到使得函數(shù)有意義只需要,解這個(gè)不等式取得交集即可.【詳解】由得－1<x<1.故答案為.【點(diǎn)睛】求函數(shù)定義域的類型及求法:(1)已知函數(shù)解析式：構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)抽象函數(shù)：①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b求出;②若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域．14．若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用當(dāng)時(shí)，由函數(shù)與的單調(diào)性可得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得出的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在分別具有單調(diào)遞增與單調(diào)遞減．函數(shù)在上單調(diào)遞增．，又當(dāng)時(shí)，，．存在使得方程成立，．故答案為：三、雙空題15．已知函數(shù)．①若，則函數(shù)的值域?yàn)椋虎谌艉瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域；根據(jù)零點(diǎn)和對(duì)應(yīng)方程的解得關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)方程有2個(gè)解，結(jié)合即可求解.【詳解】若，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)的值域?yàn)椋蝗艉瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解，則，即，由解得，綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：；.四、解答題16．已知函數(shù).（Ⅰ）若點(diǎn)在角的終邊上，求的值；（Ⅱ）若，求的值域.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)定義得正余弦值，再代入計(jì)算即可；（Ⅱ）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再整體代入求值域即可【詳解】（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以，，所以（Ⅱ），因?yàn)椋?，所以，所以的值域?7．已知函數(shù)在處取得極小值，其導(dǎo)函數(shù)為．當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：1+0-0+(1)寫出的值，并說(shuō)明理由；(2)求的值．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極小值點(diǎn)的定義求解即可；（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而解方程即可得答案.【詳解】（1）解：，理由如下：由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值.所以，為函數(shù)的極小值點(diǎn).（2）解：由題知，所以，結(jié)合（1）有：，即，解得.所以，18．國(guó)家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》，規(guī)定46個(gè)城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收、利用率要達(dá)35%以上．截至2019年底，這46個(gè)重點(diǎn)城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%．某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家垃圾分類號(hào)召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，新上一種把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目．已知該企業(yè)日加工處理量（單位：噸）最少為70噸，最多為100噸．日加工處理總成本（單位：元）與日加工處理量之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價(jià)為100元．（1）該企業(yè)日加工處理量為多少噸時(shí)，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時(shí)該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？（2）為了該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對(duì)該企業(yè)進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方式共有兩種．①每日進(jìn)行定額財(cái)政補(bǔ)貼，金額為2300元；②根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，金額為．如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得最大利潤(rùn)，你會(huì)選擇哪種補(bǔ)貼方式進(jìn)行補(bǔ)貼？為什么？【答案】（1）加工處理量為噸時(shí)，每噸廚余垃圾的平均加工成本最低，此時(shí)該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài)；（2）選擇兩種方案均可，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)條件寫出每噸廚余垃圾的平均成本表達(dá)式，利用基本不等式求解出其最小值，并判斷處理噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)；（2）根據(jù)兩種補(bǔ)貼方式分別列出企業(yè)日獲利的函數(shù)表達(dá)式，并求解出最大值，將最大值進(jìn)行比較確定出所選的補(bǔ)貼方式.【詳解】解：（1）由題意可知，每噸廚余垃圾平均加工成本為.又.當(dāng)且僅當(dāng)，即噸時(shí)，每噸廚余垃圾的平均加工成本最低.因?yàn)?，所以此時(shí)該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài)；（2）若該企業(yè)采用第一種補(bǔ)貼方式，設(shè)該企業(yè)每日獲利為，由題可得因?yàn)?所以當(dāng)噸時(shí)，企業(yè)最大獲利為850元.若該企業(yè)采用第二種補(bǔ)貼方式，設(shè)該企業(yè)每日獲利為，由題可得因?yàn)?所以當(dāng)噸噸時(shí),企業(yè)最大獲利為850元.結(jié)論：選擇方案一，因?yàn)槿占庸ぬ幚砹刻幚砹繛?0噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)；選擇方案二，日加工處理量處理量為90噸時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，能夠?yàn)樯鐣?huì)做出更大貢獻(xiàn)；由于最大利潤(rùn)相同，所以選擇兩種方案均可.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.19．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)用定義證明在上是增函數(shù)；(3)求不等式的解集．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由，即，又，解得，則可得的解析式，（2）由函數(shù)的單調(diào)性定義，即可得出答案．（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)?，解得，所以，，故?dāng)，時(shí)，是奇函數(shù)，故（2）設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以在上為增函?shù)．（3）由于是上的函數(shù)，所以，解得，由為奇函數(shù)以及得，又在上為增函數(shù)．所以，故，解得，故，因此解集為20．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)詳解(3)1【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性及最大值；（3）根據(jù)恒成立理解可得，分類討論，結(jié)合（2）運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令．因?yàn)?，則所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）．令，由，解得，（舍去）．當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在上是減函數(shù)．所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時(shí)，在上變化時(shí)，的變化情況如下表x++-↗↘所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．（3）當(dāng)時(shí)，則在上恒成立∴函數(shù)在上是減函數(shù)，則∴成立當(dāng)時(shí)，由（2）可知：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，則成立；②當(dāng)時(shí)，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即在區(qū)間上存在使得，不成立綜上所述：的取值范圍為，即的最大值為．21．已知無(wú)窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).(1)當(dāng)，時(shí)，寫出的所有可能值；(2)若數(shù)列中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項(xiàng)；(3)若，是否存在正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的M；如果不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)定義知，討論、及大小求所有可能值；（2）由，假設(shè)存在使，進(jìn)而有，可得，即可證結(jié)論；（3）由題設(shè)，令，