復變函數課件二(北京理工大學)

第二章解析函數

解析函數是復變函數研究的主要對象。本章首先介紹復變函數導數的概念，然后討論復變函數在一點解析的概念和充要條件，最后介紹幾個常見初等函數的解析性。11復變函數的導數2解析函數2§2-1復變函數的導數(1)導數的定義3注意4解5解67(2)可導與連續(xù)的關系函數f(z)在z0處可導，則在z0處一定連續(xù),但函數f(z)在z0

處連續(xù)不一定在z0

處可導.8但二元函數u(x,y)=2x,v(x,y)=3y

連續(xù)，由連續(xù)性定理知，f(z)=2x+3yi連續(xù)。9(3)求導法則由于復變函數中導數的定義與一元實函數中導數的定義在形式上完全一致，同時，復變函數中的極限運算法則也和實函數中一樣，因而實函數中的求導法則可推廣到復變函數中，且證明方法相同，此處略.求導公式與法則:10111.可微的概念復變函數可微的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致。復變函數可微與可導是否也具有一元實變函數可微與可導的關系？二、微分的定義及其可微的充要條件12令13則且反過來可容易證明14與一元函數類似地,記152.復變函數在一點可導的充要條件Cauchy-Rieman方程16定理1復變函數點可導的充分必要條件是：⑴函數

與

在

可微．⑵在該點滿足方程

當在可導時，它在該點的導數為條件（*）常稱為柯西—黎曼方程（C.—R.方程）．1718推論設。若和在的四個一階偏導函數在點均連續(xù)并且滿足C-R方程，則在點處可導。注意1）在點可微等價于它在該點可導。但不等價于其實部函數與虛部函數在點可微。

2）一個二元實函數在某點可微的充分條件是：它的兩個一階偏導數在該點不僅存在，而且是連續(xù)。19(1)解析函數的定義

§2-2函數的解析性20復變函數在區(qū)域內解析與在該區(qū)域內可導是等價的.

復變函數在一點處解析必在該點處可導；反過來不一定成立，即復變函數在一點處可導，不一定在該點處解析.

事實上，復變函數在區(qū)域內解析顯然在該區(qū)域內可導.

21定理1

函數的解析點一定是它的可導點．反之不真；點為函數的解析點的充分必要條件是點為其可導點所構成的集合的內點。推論1

若函數在某個區(qū)域內解析的充分必要條件為它在該區(qū)域內可導．推論2

復變函數不會只在有限個點或者一條曲線上解析，它的全體解析點的集合一定是開集。

22另外，由第1節(jié)的定理以及推論1，我們有定理2

函數在區(qū)域內解析等價于二元實函數和在區(qū)域內處處可微，并且滿足C—R方程。此時，在區(qū)域內有

23例題例1

判定下列函數在何處可導,在何處解析:解不滿足Cauchy-Riemann方程,此時24且四個偏導數均連續(xù)此時25四個偏導數均連續(xù)此時26此時27例2

判別函數的可導點和解析點。

這四個偏導數都連續(xù)，u(x,y)和v(x,y)處處可微，其C-R方程只在直線y=x上成立。于是函數f(z)僅在直線y=x上可導，f(z)在復平面內處處不解析。此時28例3

解29例4證30例5解31參照以上例題可以證明:32例6

研究在的可導性。（說明在上面定理中的可微性不可去）33解析函數的判定方法:34容易得到35從而，可知(1)所有多項式在復平面內是處處解析的.36解3738解39§2-3初等解析函數1.指數函數2.對數函數3.冪函數4.三角函數和雙曲函數401.指數函數定義顯然為簡便，常用下面記號與指數函數符號一致與Euler公式相一致41定理

指數函數具有如下性質：42例1

解43例2

解求出下列復數的輻角主值:44例3

解從而，有452.對數函數這樣或因此4647例4

解注意:在實函數中，負數無對數，而復變數對數函數是實對數函數的拓廣.48例5解49解5051對數函數的性質對于某一固定分支，有523.冪函數注意:53例7解例8解54冪函數的解析性它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內解析,554.三角函數和雙曲函數將兩式相加與相減,得下面把余弦函數和正弦函數的定義推廣到自變數取復值的情況.565758為周期的周期函數.59正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數.

雙曲正弦函數和雙曲余弦函數在復平面內也都是解析函數60一些常用的重要公式：61但與實函數完全不同的是：sinz,cosz

無界62例9解z)Re(tan=63解例1064例11解655.反三角函數和反雙曲函數兩端取對數得66反正弦函數反正切函數67解例1268本章主要內容復變函數連續(xù)解析函數初等解析函數判別方法可導解析指數函數對數函數三角函數雙曲函數冪函數反三角函數69本章要注意的幾點導數的概念解析的充要條件基本初等函數的運用701789.8.21生于法國、巴黎1857.5.23卒于法國、斯科A.L.Cauchy(柯西)簡介數學分析嚴格化的開拓者復變函數論的奠基人彈性力學理論的建立者在方程、群論、數論、幾何、光學、天體力學等也有出色貢獻。多產的科學家(800多篇論文)，分析大師。7