復變函數(shù)與積分變換第二章簡版z

任何一個人，都必須養(yǎng)成自學的習慣，即使是今天在學校的學生，也要養(yǎng)成自學的習慣，因為遲早總要離開學校的！自學，就是一種獨立學習，獨立思考的能力。行路，還是要靠行路人自己。

科學是老老實實的學問，不可能靠運氣來創(chuàng)造發(fā)明，對一個問題的本質不了解，就是碰上機會也是枉然。入寶山而空手回，原因在此。

學習有兩個必經(jīng)的過程：即“由薄到厚”和“由厚到薄”的過程.----華羅庚第二章解析函數(shù)§2.1復變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性§2.2解析函數(shù)的概念§2.3函數(shù)可導與解析的充要條件§2.4初等函數(shù)§2.1復變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1復變函數(shù)的概念2復變函數(shù)的極限3復變函數(shù)的連續(xù)性定義2.1.1

復變函數(shù)的概念數(shù),而例如,w=|z|是以復平面C為定義域的單值函E稱為該函數(shù)的定義域.是定義在C\{0}上的多值函數(shù).以后不特別申明時，所指的復變函數(shù)都是單值函數(shù).因為z=x+iy和w都是復數(shù),若把w記為u+iv時,

u與v也是z的函數(shù),因此也是x和y的函數(shù).于是,可以寫成其中u(x,y)和v(x,y)都是實變量的二元函數(shù).例如:w=z2是一個復變函數(shù).令因為于是函數(shù)w=z2對應于兩個二元實函數(shù)令于是反之,如果于是，復變函數(shù)的極限、連續(xù)、一致連續(xù)等概念就是映射

的相應概念.有關映射的各種性質也對復變函數(shù)成立.

重要注記：由于，，故一般將理解為以為自變量的函數(shù)，即。以后將看到，這樣做會帶來很多方便，并且具有“復風格”.o

x

y

(z)

G

o

uv(w)

G

G*

w=f(z)

在幾何上，

w=f(z)可以看作：

定義域函數(shù)值集合復變函數(shù)的幾何意義z

w=f(z)

w

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）.

對于復變函數(shù)，它反映的是兩對變量u，v和x，y之間的對應關系，因而無法用一個平面或一個三維空間的圖形來表示。故在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的對應關系來表達兩對變量u，v

與x，y之間的對應關系，以便在研究和理解復變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）思考題：為什么在復變函數(shù)中用兩個平面來表示其圖形？例1解—關于實軸對稱的一個映射且是全同圖形.反函數(shù)的定義設函數(shù)w=f(z)的定義域為復平面上的點集D,稱復平面上的點集為函數(shù)w=f(z)的值域.對于任意的w

G,必有D中一個或幾個復數(shù)與之對應.于是,確定了G上一個單值或多值函數(shù)z=j(w),稱之為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù).

定義

設復變函數(shù)w=f(z)在z0的某個去心鄰域內(nèi)有定義,A是復常數(shù).若對任意給定的e>0,存在d>0,使得對一切滿足0<|z-z0|<d的z,都有成立,則稱當z趨于z0時,f(z)以A為極限，并記做或2.1.2復變函數(shù)的極限u

v

(w)

oA

x

y

(z)

o

當變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中.復變函數(shù)的幾何意義:即形式和一元相同，本質和二元相同.“人面獸心”就是此意.

注2：A是復數(shù).極限計算的定理定理2.1注3：若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.注1:定義中z

z0的方式是任意的.說明定理2.2

若，那么與實變函數(shù)的極限運算法則類似.例2

試求方法一由定理1，得方法二由于，由定理2（3）得例3證(一)根據(jù)定理一可知,證(二)思考題：試著收集整理復極限的計算方法以及判別復極限不存在的方法，并用例子說明.

定義

設f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義,且則稱f(z)在z0處連續(xù).若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱f(z)在區(qū)域D上連續(xù).關于函數(shù)f(z)在連續(xù)曲線C上的連續(xù)性和閉區(qū)域上的連續(xù)性,只要把上述定義中的z限制在C或上即可.2.1.3函數(shù)的連續(xù)性定理2.3設則f(x)在處連續(xù)的充分必要條件是都在點連續(xù).注：這個定理說明復變函數(shù)的連續(xù)性等價兩個二元實函數(shù)的連續(xù)性.定理2.4設都在點連續(xù),則都在

點連續(xù)，而

當時，也在點連續(xù).

定理2.5設在處連續(xù)，

而在點連續(xù)，則

復合函數(shù)在

點連續(xù).

應用或仿證明實函數(shù)類似結論的方法可以證明上述兩個定理.由前面的結論可知,多項式在復平面內(nèi)處處連續(xù).有理分式在復平面內(nèi)除分母為零的點之外,處處連續(xù).都是復常數(shù).例4

證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續(xù).證明x

y

(z)

ozz

定理2.6設f(z)在有界閉區(qū)域(或有限長的連續(xù)曲線C)上連續(xù)，則f(z)在(或C)上有界,即存在M>0,當或z

C時，有為了后面的需要,給出下面一個關于函數(shù)有界性的定理.§2.2解析函數(shù)的概念1復變函數(shù)的導數(shù)2解析函數(shù)的概念2.2.1復變函數(shù)的導數(shù)在定義中應注意:例1

解可導與連續(xù)的關系

函數(shù)f(z)在z0處可導則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導.例2

解

(1)f(z)=

z的連續(xù)性顯然求導法則由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣,因而實變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.求導公式與法則:定義z0記作：f(z)

A(D)DG2.2.2解析函數(shù)的概念根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導是等價的.但是函數(shù)解析是與區(qū)域密切相伴的,要比可導的要求高得多.即函數(shù)在z0點解析函數(shù)在一點處解析與在一點處可導不等價函數(shù)在z0點可導函數(shù)閉區(qū)域上解析與在閉區(qū)域上可導不等價即函數(shù)在閉區(qū)域上解析函數(shù)在閉區(qū)域上可導說明注解1、“可微”有時也可以稱為“單演”，而“解析”有時也稱為“單值解析”、“全純”、“正則”等；注解2、解析性與可導性的關系：在一個點的可導性為一個局部概念，而解析性是一個整體概念；注解：注解3、函數(shù)在一個點解析，是指在這個點的某個鄰域內(nèi)可導，因此在這個點可導，反之，在一個點的可導不能得到在這個點解析；注解4、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個區(qū)域的一個更大的區(qū)域上解析；注解：奇點定義例如:以z=0為奇點:通常泛指的解析函數(shù)是容許有奇點的:例3解例4解課堂練習答案處處不可導,處處不解析.四則運算法則復合函數(shù)求導法則反函數(shù)求導法則利用這些法則，我們可以計算常數(shù)、多項式以及有理函數(shù)的導數(shù)，其結果和數(shù)學分析的結論基本相同.注解：根據(jù)定理可知:(1)所有多項式在復平面內(nèi)是處處解析的.尋求研究解析性的更好的方法任務！?。∮枚x討論函數(shù)的解析性絕不是一種好辦法！小結與思考理解復變函數(shù)導數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念;掌握連續(xù)、可導、解析之間的關系以及求導方法.

注意:

復變函數(shù)的導數(shù)定義與一元實變函數(shù)的導數(shù)定義在形式上完全一樣,它們的一些求導公式與求導法則也一樣,然而復變函數(shù)極限存在要求與z趨于零的方式無關,這表明它在一點可導的條件比實變函數(shù)嚴格得多.定義對于二元實函數(shù)，方程§2.3函數(shù)可導與解析的充要條件稱為柯西—黎曼方程（簡記為C—R方程）.定理2.7(可導的充要條件)定理2.8（函數(shù)在一點可導的充分條件）定理2.9(函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件)定理2.10（函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分條件）例5

判定下列函數(shù)在何處可導,在何處解析:解不滿足柯西－黎曼方程,四個偏導數(shù)均連續(xù)指數(shù)函數(shù)四個偏導數(shù)均連續(xù)例6

解例7證小結與思考在本節(jié)中我們得到了一個重要結論—函數(shù)解析的充要條件:掌握并能靈活應用柯西—黎曼方程.思考題1、2、§2.4初等函數(shù)2.4.1指數(shù)函數(shù)2.4.2對數(shù)函數(shù)2.4.3冪函數(shù)2.4.4三角函數(shù)與反三角函數(shù)2.4.5雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)這里的ex是實指數(shù)函數(shù)2.4.1指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:定義2.1

對于任何復數(shù)z=x+iy,規(guī)定實的正余弦函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)的性質復指數(shù)函數(shù)與實指數(shù)函數(shù)保持一致.(4)加法定理(6)ez是以2i為基本周期的周期函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖形因為：當z沿實軸趨于+∞時ez+∞;

當z沿實軸趨于-∞時,ez0.2i是ez的周期2i是ez的基本周期幾點說明：例1

解例2

解求出下列復數(shù)的輻角主值:2.3.2對數(shù)函數(shù)1.定義說明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)Lnz一般不能寫成lnz2.計算公式及多值性說明：由于Argz的多值性導致w=Lnz是一個具有無窮多值的多值函數(shù)規(guī)定：為對數(shù)函數(shù)Lnz的主值特殊地,于是：三種對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：對數(shù)函數(shù)Lnz的圖形例3

解注意:

在實變函數(shù)中,負數(shù)無對數(shù),而復變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.例4解例5解2.性質但是：不再成立，其中n為大于1的正整數(shù).2.3.3冪函數(shù)1.一般冪函數(shù)稱為z的一般冪函數(shù)注意:2.冪函數(shù)的解析性它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的,它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的,的圖形3.乘冪注意:例6解答案課堂練習1的任何次冪均為1嗎？2.4.4三角函數(shù)與反三角函數(shù)1.三角正弦與余弦函數(shù)將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復值的情況.定義

對任意的復數(shù)z,規(guī)定z的

性質:(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù).遵循通常的三角恒等式，如sinz的零點(i.e.sinz=0的根)為z=n

cosz的零點(i.e.cosz=0的根)為z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(5)(注意：這是與實變函數(shù)完全不同的)(6)sinz,cosz在復數(shù)域內(nèi)均是無界函數(shù)2.其他復變數(shù)三角函數(shù)的定義sinz

的圖形cosz

的圖形tanz

的圖形例7解3.反三角函數(shù)的定義兩端取對數(shù)得同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復以上步驟,可以得到它們的表達式:反三角函數(shù)Arctanz的圖形1.雙曲函數(shù)的定義2.4.5雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2.雙曲函數(shù)的性質它們的導數(shù)分別為并有如下公式:它們都是以為周期的周期函數(shù),雙曲函數(shù)sinhz（或shz）3.反雙曲函數(shù)的定義小結與思考復變初等函數(shù)是一元實變初等函數(shù)在復數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質,又有一些與后者不同的特性.如:

1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.三角正弦與余弦不再具有有界性3.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)思考題實變?nèi)呛瘮?shù)與復變?nèi)呛瘮?shù)在性質上有哪些異同?本章總結1、復變函數(shù)導數(shù)與解析函數(shù)的概念2、函數(shù)可導與解析的判別方法：1）利用定義；

2）利用充（分）要條件3、復變初等函數(shù)復變函數(shù)連續(xù)初等解析函數(shù)判別方法可導解析指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)冪函數(shù)本章內(nèi)容總結AugustinLouisCauchy

(1789.8.21-1857.5.23)法國數(shù)學家,歷史上有數(shù)的大分析學家.1805年入理工科大