第7講 十字相乘和分組分解法因式分解（3大考點）

第7講十字相乘和分組分解法因式分解（3大考點）考點考向考點考向一、十字相乘十字相乘法：如果二次三項式中的常數(shù)項能分解成兩個因式、的積，而且一次項系數(shù)又恰好是，那么就可以進(jìn)行如下的分解因式，即：要將二次三項式分解因式，就需要找到兩個數(shù)、，使它們的積等于常數(shù)項，和等于一次項系數(shù),滿足這兩個條件便可以進(jìn)行如下分解因式，即：．由于把中的分解成兩個因數(shù)有多種情況，怎樣才能找到兩個合適的數(shù)，通常要經(jīng)過多次的嘗試才能確定采用哪種情況來進(jìn)行分解因式．二、分組分解如何將多項式因式分解？分析：很顯然，多項式中既沒有公因式，也不好用公式法．怎么辦呢？由于,而：．這樣就有：將一個多項式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法．說明：如果把一個多項式的項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式．考點精講考點精講一．因式分解-十字相乘法等（共5小題）1．（2022春?寶山區(qū)校級月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），則p+q的值為（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣82．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知關(guān)于x的多項式x2+kx﹣3能分解成兩個一次多項式的積，那么整數(shù)k的值為．3．（2021秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．4．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．5．（2021秋?浦東新區(qū)期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝．二．因式分解-分組分解法（共8小題）6．（2022春?長寧區(qū)校級期中）分解因式：x2﹣y2+4y﹣4＝．7．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）分解因式：2x﹣ay+ax﹣2y＝．8．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝．9．（2022春?普陀區(qū)校級期中）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝．10．（2021秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．11．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝．12．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．13．（2021秋?浦東新區(qū)期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．三．因式分解的應(yīng)用（共2小題）14．（2022春?金山區(qū)月考）如果x、y滿足，那么代數(shù)式x2﹣4y2的值為．15．（2021秋?寶山區(qū)期末）如果△ABC的三邊長a，b，c滿足等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，試判斷此△ABC的形狀并寫出你的判斷依據(jù)．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022·上海·七年級期末）已知甲、乙、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數(shù)皆為正整數(shù)．若甲與乙相乘，積為，乙與丙相乘，積為，則甲與丙相加的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎梢员?0至20之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是（

）A．15,17 B．16,17 C．15,16 D．13,143．（2022·上海·七年級開學(xué)考試）如果多項式mx2﹣nx﹣2能因式分解為（3x+2）（x+p），那么下列結(jié)論正確的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=34．（2022·上?！て吣昙壠谀┤绻粋€三角形的三邊、、，滿足，那么這個三角形一定是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．不等邊三角形 D．直角三角形二、填空題5．（2022·上海浦東新·七年級期末）因式分解：_______．6．（2022·上海·七年級期末）分解因式：_____．7．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）當(dāng)時，代數(shù)式__________8．（2022·上?！ば轮谐跫壷袑W(xué)七年級期末）因式分解：m2-n2-2m+1=___．9．（2022·上海普陀·七年級期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝_____．10．（2022·上?！て吣昙壠谀┯嬎悖海?）__________．

（2）__________．（3）__________．11．（2022·上海普陀·七年級期末）已知關(guān)于x的多項式x2+kx﹣3能分解成兩個一次多項式的積，那么整數(shù)k的值為_____．12．（2022·上海·七年級專題練習(xí)）矩形的周長是，兩邊x，y使，則矩形面積為_________13．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）因式分解：______________；________；__________；________14．（2022·上海寶山·七年級期末）分解因式：________．15．（2022·上海·七年級期末）已知，則_______________16．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎?，則_____________17．（2022·上?！て吣昙壠谀┤绻鹸﹣2y+3＝0，那么代數(shù)式x2﹣（4y+1）x+4y2+2y的值為_____．18．（2022·上海·七年級期末）正數(shù)滿足，那么______．19．（2022·上海·七年級期末）若a,b,c滿足，則________三、解答題20．（2022·上?！て吣昙夐_學(xué)考試）分解因式：．21．（2022·上海·七年級期末）因式分解：22．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）因式分解：23．（2022·上海寶山·七年級期末）分解因式：24．（2022·上海·七年級期末）分解因式：．25．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知有因式，求a的值，并將其因式分解．26．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x理解：已知x3－8有一個因式x－2，我們可以用如下方法對x3－8進(jìn)行因式分解．解：設(shè)x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b）因為（x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b所以a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8所以a＝2，且b＝4所以x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4）這種分解因式的方法叫做待定系數(shù)法．(1)已知x3＋27有一個因式x＋3，用待定系數(shù)法分解：x3＋27．(2)觀察上述因式分解，直接寫出答案：因式分解：a3＋b3＝；a3－b3＝．27．（2022·上?！て吣昙壠谀?shù)學(xué)業(yè)余小組在活動中發(fā)現(xiàn)：……（1）請你在答題卡中寫出（補(bǔ)上）上述公式中積為的一行；（2）請仔細(xì)領(lǐng)悟上述公式，并將分解因式：（3）請將分解因式．28．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x下列材料：讓我們來規(guī)定一種運算：，例如：，再如：，按照這種運算的規(guī)定：請解答下列各個問題：(1)＝；（只填最后結(jié)果）(2)當(dāng)x＝時，；（只填最后結(jié)果）(3)將下面式子進(jìn)行因式分解：．（寫出解題過程）29．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）解方程(1)解關(guān)于x、y的方程：．(2)求方程的整數(shù)解．30．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x以下材料，根據(jù)閱讀材料提供的方法解決問題【閱讀材料】對于多項式，我們把代入多項式，發(fā)現(xiàn)能使多項式的值為0，由此可以斷定多項式中有因式，（注：把代入多項