第8講 整式的除法（4大考點）（解析版）

第8講整式的除法（4大考點）考點考向考點考向一：同底數(shù)冪的除法1、同底數(shù)冪相除：同底數(shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．用式子表示為：（，，都是正整數(shù)）．2、規(guī)定；（，是正整數(shù)）．二：單項式除以單項式1、單項式除以單項式：兩個單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．三：多項式除以單項式1、多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加．（1）多項式除以單項式，商式與被除式的項數(shù)相同，不可丟項，如（2）中容易丟掉最后一項．（2）要求學(xué)生說出式子每步變形的依據(jù)．（3）讓學(xué)生養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣，利用乘除逆運算，檢驗除的對不對．考點精講考點精講一．同底數(shù)冪的除法（共4小題）1．（2022春?金山區(qū)月考）計算：x7÷x2＝x5．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進行解答即可．【解答】解：x7÷x2＝x7﹣2＝x5，故答案為：x5．【點評】此題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?普陀區(qū)校級期中）計算：（y3）2÷y5＝y(tǒng)．【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減的運算性質(zhì)計算即可．【解答】解：（y3）2÷y5，＝y(tǒng)6÷y5，＝y(tǒng)．【點評】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?浦東新區(qū)期中）計算：（﹣a6）÷（﹣a）2＝﹣a4．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相除的法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減即可得出答案．【解答】解：（﹣a6）÷（﹣a）2＝﹣（a6÷a2）＝﹣a4．故答案為：﹣a4．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪相除的法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．4．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知3m＝4，3n＝5，分別求3m+n與32m﹣n的值．【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，冪的乘方的法則對所求的式子進行整理，再代入運算即可．【解答】解：當3m＝4，3n＝5時，3m+n＝3m×3n＝4×5＝20；32m﹣n＝32m÷3n＝（3m）2÷3n＝42÷5＝16÷5＝．【點評】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．二．整式的除法（共6小題）5．（2022春?金山區(qū)校級月考）計算：4a3÷2a＝2a2．【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：4a3÷2a＝2a2．故答案為：2a2．【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．6．（2021秋?普陀區(qū)期末）計算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝3a3﹣4．【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：（9a6﹣12a3）÷3a3＝9a6÷3a3﹣12a3÷3a3＝3a3﹣4．故答案為：3a3﹣4．【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．7．（2022春?松江區(qū)校級期中）計算：x÷（x2﹣x）＝．【分析】先把除法運算寫成分式的形式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了利用分式的基本性質(zhì)進行化簡，對于分子或分母是多項式時，要先進行因式分解再約分．8．（2021秋?靜安區(qū)期末）計算x÷2x2的結(jié)果是（）A． B． C． D．2x【分析】根據(jù)整式的除法法則計算即可得出答案．【解答】解：原式＝（1÷2）（x÷x2）＝?＝，故選：B．【點評】本題考查了整式的除法，掌握單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?浦東新區(qū)期末）計算：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝．【分析】用多項式的每一項與單項式相除，然后相加即可得出答案．【解答】解：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝﹣3x+2y﹣；故答案為：﹣3x+2y﹣．【點評】此題考查了整式的除法，熟練掌握整式的除法法則是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．10．（2021秋?寶山區(qū)期末）小明在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘（x﹣2y）錯抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到3x，如果小明沒有錯抄題目，并且計算依然正確，那么得到的結(jié)果應(yīng)該是什么？【分析】根據(jù)小明的做法求出第一個多項式，根據(jù)多項式乘多項式的法則即可得出答案．【解答】解：3x（x﹣2y）＝3x2﹣6xy，（3x2﹣6xy）（x﹣2y）＝3x3﹣6x2y﹣6x2y+12xy2＝3x3﹣12x2y+12xy2．答：得到的結(jié)果應(yīng)該是3x3﹣12x2y+12xy2．【點評】本題考查了多項式乘多項式，掌握多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加是解題的關(guān)鍵．三．整式的混合運算（共5小題）11．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，拼成一個長為（2a+b），寬為（a+b）的矩形，需要B類卡片3張．【分析】先求出長為2a+b，寬為a+b的矩形面積，然后對照A、B、C三種卡片的面積，進行組合．【解答】解：長為2a+b，寬為a+b的矩形面積為（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，A圖形面積為a2，B圖形面積為ab，C圖形面積為b2，則可知需要A類卡片2張，B類卡片3張，C類卡片1張．【點評】本題主要考查多項式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．12．（2022春?崇明區(qū)校級期中）計算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的結(jié)果是．【分析】設(shè)a＝1﹣﹣﹣﹣，b＝+++，然后根據(jù)整式的乘法與加減混合運算進行計算即可得解．【解答】解：設(shè)a＝1﹣﹣﹣﹣，b＝+++，則原式＝a（b+）﹣（a﹣）?b＝ab+a﹣ab+b＝（a+b），∵a+b＝1﹣﹣﹣﹣++++＝1，∴原式＝．故答案為：．【點評】本題考查了整式的混合運算，利用換元法可以使書寫更簡便且形象直觀．13．（2022春?寶山區(qū)校級月考）將4個數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義＝ad﹣bc，上述記號就叫做2階行列式．若，則x＝2．【分析】根據(jù)題中的新定義將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為x的值．【解答】解：根據(jù)題意化簡＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8，解得：x＝2．故答案為：2【點評】此題考查了整式的混合運算，屬于新定義的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去括號、合并同類項法則，根據(jù)題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關(guān)鍵．14．（2022?閔行區(qū)校級開學(xué)）0.125（x﹣y）3?（y﹣x）4﹣0.875（y﹣x）?（y﹣x）6+（x﹣y）2?（y﹣x）5+0.5（y﹣x）7．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則化簡后，再合并同類項即可．【解答】解：0.125（x﹣y）3?（y﹣x）4﹣0.875（y﹣x）?（y﹣x）6+（x﹣y）2?（y﹣x）5+0.5（y﹣x）7＝0.125（x﹣y）7+0.875（x﹣y）7﹣（x﹣y）7﹣0.5（x﹣y）7＝（0.125+0.875）（x﹣y）7+（﹣﹣0.5）（x﹣y）7＝（x﹣y）7﹣2（y﹣x）7＝﹣（y﹣x）7．【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．15．解關(guān)于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．【分析】將k看作已知數(shù)，按一元一次方程的解法步驟求解即可．【解答】解：移項，（k+1）（k﹣1）x＝2（k+1）（k+2），當k+1≠0，且k﹣1≠0，即當k≠±1時，系數(shù)化為1，得x＝，化簡，得x＝．【點評】此題考查了解決含字母參數(shù)的一元一次方程問題的能力，關(guān)鍵是能將字母參數(shù)看作已知數(shù)進行求解，并討論字母參數(shù)符號的條件．四．整式的混合運算—化簡求值（共1小題）16．（2022春?寶山區(qū)校級月考）先化簡，再求值：（1）2（x2）3﹣x（2x5﹣x），其中x＝3；（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）]÷（2x），其中x＝1，y＝﹣2．【分析】（1）先用冪的乘方、乘法分配律計算，再合并同類項，化簡后將x＝3代入即可；（2）先用完全平方、平方差公式，將括號內(nèi)合并后再算除法，化簡后將x＝1，y＝﹣2代入即可．【解答】解：（1）原式＝2x6﹣2x6+x2＝x2，把x＝3代入得：原式＝32＝9；（2）原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2）÷（2x）＝（2x2﹣4xy）÷（2x）＝x﹣2y，把x＝1，y＝﹣2代入得：原式＝1﹣2×（﹣2）＝1+4＝5．【點評】本題考查整式化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握整式運算的相關(guān)法則、公式，將整式化簡．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022·上?！て吣昙壠谥校┯嬎悖ī?xy2）2÷（﹣3xy）的結(jié)果為（）A．﹣12xy3 B．2y3 C．12xy D．2xy3【答案】A【分析】先算積的乘方，再進行除法計算【詳解】原式＝36x2y4÷（﹣3xy）＝﹣12xy3，故選：A．【點睛】本題考查了積的乘方，單項式的除法，掌握計算方法和計算順序是解題關(guān)鍵．2．（2022·上?！て吣昙壠谥校┮阎瑒t的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪的公式逆運算即可求解.【詳解】∵，∴=()2÷()3=32÷23=故選B【點睛】此題主要考查冪的運算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運算公式.二、填空題3．（2022·上海·七年級期末）計算__________．【答案】【分析】根據(jù)單項式除以單項式運算法則，本題只需要把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，計算得出答案即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了單項式除以單項式，掌握單項式除以單項式的運算法則是解題關(guān)鍵．4．（2022·上?！て吣昙壠谀┤绻?，，那么________________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法的逆用和冪的乘方的逆用變形，然后利用整體代入法求值即可．【詳解】解：∵，，∴=====故答案為：．【點睛】此題考查的是冪的運算性質(zhì)的應(yīng)用，掌握同底數(shù)冪除法的逆用和冪的乘方的逆用是解題關(guān)鍵．5．（2022·上海市徐匯中學(xué)七年級期中）已知＝2，＝9，則＝_______【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法的逆用、冪的乘方的逆用進行計算即可得．【詳解】解：因為，，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪除法的逆用、冪的乘方的逆用，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．6．（2022·上海普陀·七年級期末）計算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝_____．【答案】【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．7．（2022·上?！ば轮谐跫壷袑W(xué)七年級期末）______．【答案】【分析】根據(jù)整式乘除運算中，多項式除以單項式的運算法則：多項式除以單項式等于多項式中的每一項分別除以單項式，即可求出結(jié)果．【詳解】解：原式=

=故答案為：．【點睛】此題主要考察的是整式的除法，正確掌握相關(guān)運算是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上海浦東新·七年級期末）計算：___________.【答案】【分析】根據(jù)多項式除以單項式的運算法則即可求解.【詳解】故填：.【點睛】此題主要考查整式的除法，解題的關(guān)鍵是熟知整式的乘除運算法則.9．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）________；___________．【答案】

【分析】利用同底數(shù)冪的乘法、除法、冪的乘方化簡，先算乘方，再算乘除．【詳解】解：===，====．故答案為：，．【點睛】此題考查了同底數(shù)冪的乘法、除法、冪的乘方運算，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法、除法、冪的乘方的運算法則．10．（2022·上海·七年級期末）計算：（-x2y）2÷y=___．【答案】3x2y【分析】根據(jù)單項式除以單項式的法則計算即可.【詳解】原式=3x2y，故答案為3x2y．【點睛】本題考查整式的運算有關(guān)知識，根據(jù)整式的運算法則即可求出答案.11．（2022·上海·七年級期末）計算：（4x2y﹣2xy2）÷2xy＝_____．【答案】2x-y【分析】原式利用多項式除以單項式法則計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：故答案為2x-y．【點睛】此題考查了整式的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·上?！て吣昙壠谀┯嬎悖篲___________.【答案】【分析】根據(jù)多項式除以單項式的運算法則計算即可.【詳解】；故答案為.【點睛】本題考查了整式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項式除以單項式的運算法則.13．（2022·上?！て吣昙壠谀┪覀兌x一種新運算：記，如果設(shè)為代數(shù)式，若，則______（用含，的代數(shù)式表示）.【答案】【分析】先對新定義規(guī)定的運算運用平方差公式化簡，根據(jù)新定義規(guī)定的運算轉(zhuǎn)化為方程求的值．【詳解】即：即：故答案是：【點睛】本題考查了代數(shù)式的運算．關(guān)鍵是根據(jù)新定義規(guī)定的運算，準確代值計算．三、解答題14．（2022·上?！て吣昙夐_學(xué)考試）【答案】2x【分析】原式被除數(shù)利用積的乘方與冪的乘方運算法則計算，再利用單項式除以單項式法則計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式．故答案為2x．【點睛】本題考查整式的除法，負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．15．（2022·上?！て吣昙壠谀敬鸢浮?3a【分析】先計算乘方，再計算除法，最后相減即可．【詳解】==-3a．【點睛】考查了多項式除以單項式和單項式除以單項式，解題關(guān)鍵是熟記其計算法則和運算順序．16．（2022·上?！て吣昙壠谀┯嬎悖篬(xy2)(xy2)2(xy2)](xy)【答案】【分析】原式被除數(shù)括號中第一項利用平方差公式化簡,合并后利用多項式除以單項式法則計算,得到化簡結(jié)果即可.【詳解】解：；故答案為：.【點睛】本題考查了整式的混合運算,涉及的知識有:平方差公式,多項式除以單項式法則,去括號法則,以及合并同類項法則,熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵.17．（2022·上海普陀·七年級期末）已知3m＝4，3n＝5，分別求3m+n與32m﹣n的值．【答案】20，【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的逆用法則，同底數(shù)冪的除法的逆用法則，冪的乘方的逆用法則對所求的式子進行整理，再代入運算即可．【詳解】解：；．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆用，同底數(shù)冪的除法的逆用，冪的乘方的逆用．掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．18．（2022·上?！ば轮谐跫壷袑W(xué)七年級期末）計算：32（x3y2z）3÷（-8x5y4z2）．【答案】-4x4y2z【分析】根據(jù)單項式除以單項式進行計算即可求解．【詳解】原式=32×（x9y6z3）÷（-8x5y4z2）=-4x4y2z．【點睛】本題考查了單項式除以單項式，正確的計算是解題的關(guān)鍵．19．（2022·上海宋慶齡學(xué)校七年級階段練習(xí)）3.456×2.456×5.456﹣﹣．【答案】2.912【分析】可設(shè)3.456＝a，則2.456＝a﹣1，5.456＝a+2，1.456＝a－2，將原式變形化簡為2a﹣4，再代入計算即可求解．【詳解】解：設(shè)3.456＝a，則2.456＝a﹣1，5.456＝a＋2，1.456＝a－2，可得3.456×2.456×5.456﹣﹣＝a（a﹣1）（a＋2）﹣a3﹣（a﹣2）2＝a3＋a2﹣2a﹣a3﹣a2＋4a﹣4＝2a﹣4＝2×3.456﹣4＝6.912﹣4＝2.912【點睛】本題主要考查了整式的混合運算及化簡求值，熟練掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．20．（2022·上海宋慶齡學(xué)校七年級階段練習(xí)）解方程．【答案】【分析】依據(jù)去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為，解答即可．【詳解】解：去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數(shù)化為，得：．【點睛】本題考查解一元一次方程，整式的混合運算，解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為．掌握解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．21．（2022·上海普陀·七年級期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式化簡即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查整式的混合運算．掌握完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．22．（2022·上?！て吣昙壠谀┯嬎悖骸敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)多項式除以單項式法則和合并同類項法則計算即可．【詳解】解：==．【點睛】此題考查的是整式的混合運算，掌握多項式除以單項式法則和合并同類項法則是解題關(guān)鍵．23．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知：，求的值．【答案】或【分析】利用冪的乘方及積的乘方運算法則求出a與b的值，原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用完全平方公式展開，去括號合并得到最簡結(jié)果，將a與b的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，原式＝＝＝；當，時，原式＝＝，當，時，原式＝＝．【點睛】此題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．24．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有A，B，C，D四個點，它們對應(yīng)的實數(shù)分別為a，b，c，d，如果存在實數(shù)λ，滿足：對線段AB和CD上的任意一點，其對應(yīng)的數(shù)為x，實數(shù)對應(yīng)的點N仍然在線段AB或CD上，則稱（a，b，c，d，λ）為“完美數(shù)組”．例如：（1，2，3，6，6）就是一組“完美數(shù)組”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此時所有的“完美數(shù)組”，寫出你的結(jié)論和推算過程．【答案】（2，3，8，12，24）或（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）或（﹣4，﹣3，2，6，12）【分析】認真閱讀題干，理解“完美數(shù)組”的定義即可解答；【詳解】解：設(shè)A表示的數(shù)是x，則B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，由“完美數(shù)組”的定義，可知有如下情況：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；∴x＝2，∴“完美數(shù)組”是（2，3，8，12，24）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；∴x＝﹣2∴“完美數(shù)組”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；∴x＝﹣4，∴“完美數(shù)組”是（﹣4，﹣3，2，6，12）；【點睛】本題考查新定義，數(shù)軸與整式的運算；熟練掌握多項式乘多項式，單項式與多項式的運算法則，能夠通過題意將點與“完美數(shù)組”的關(guān)系轉(zhuǎn)化為整式的運算是解題的關(guān)鍵．25．（2022·上?！ば轮谐跫壷袑W(xué)七年級期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)a4(2)b4－9a2【分析】（1）根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法求解即可；（2）根據(jù)平方差公式求解即可；（1）解：原式==（2）解：原式===【點睛】本題主要考查整式的混合運算，掌握運算的相關(guān)法則是解題的關(guān)鍵．26．（2022·上海·七年級期末）計算：．【答案】【分析】先計算多項式除以單項式，再合并同類項即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查整式的混合運算．本題中主要涉及多項式除以單項式，多項式除以單項式就是用這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得結(jié)果相加．27．（2022·上海·七年級期末）計算：．【答案】【分析】利用乘法分配律去括號，再合并同類項．【詳解】原式==．【點睛】此題考查整式的混合運算，掌握單項式乘以多項式法則，去括號法則是解題的關(guān)鍵．28．（2022·上海·七年級期末）已知：，，，求的值．【答案】【分析】依據(jù)(ac+bd)2+(ad﹣bc)2=(a2+b2)(c2+d2)，即可得到ad﹣bc的值．【詳解】∵(ac+bd)2+(ad﹣bc)2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2﹣2abcd+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+