第09講分式與分式運(yùn)算（11大考點(diǎn)）

第09講分式與分式運(yùn)算（11大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．分式的定義（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因?yàn)閥﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．二．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號．三．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．四．分式的值分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問題的特點(diǎn)出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．五．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．六．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號時(shí)，一般把負(fù)號提到分式本身的前面．③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．七．最簡分式最簡分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡分式．和分?jǐn)?shù)不能化簡一樣，叫最簡分?jǐn)?shù)．八．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序．九．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對一個(gè)分式而言的；通分則是對兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來說的．十．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．2．注意化簡結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡化運(yùn)算過程．十一．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時(shí)需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．分式的定義（共2小題）1．（2020秋?浦東新區(qū)期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2020秋?嘉定區(qū)期末）在代數(shù)式，，，中，分式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．分式有意義的條件（共2小題）3．（2021秋?寶山區(qū)期末）如果分式有意義，那么x的取值范圍是．4．（2021秋?浦東新區(qū)期末）對于分式如果y＝1，那么x的取值范圍是．三．分式的值為零的條件（共2小題）5．（2021秋?普陀區(qū)期末）當(dāng)x＝3時(shí)，下列各式值為0的是（）A． B． C． D．6．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）如果分式的值為0，那么x的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1四．分式的值（共3小題）7．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）已知分式的值是整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為．8．（2021秋?金山區(qū)期中）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，代數(shù)式的值等于．9．（2020秋?靜安區(qū)期末）若分式的值大于零，則x的取值范圍是．五．分式的基本性質(zhì)（共2小題）10．（2021秋?寶山區(qū)期末）已知分式的值為，如果把分式中的a、b同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，那么新得到的分式的值為（）A． B． C． D．11．（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．若A、B表示兩個(gè)不同的整式，則一定是分式 B．如果將分式中的x和y都擴(kuò)大到原來的3倍，那么分式的值不變 C．單項(xiàng)式23ab是5次單項(xiàng)式 D．若3m＝5，3n＝4，則3m﹣n＝六．約分（共1小題）12．（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列約分正確的是（）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣七．最簡分式（共1小題）13．（2020秋?寶山區(qū)期末）下列分式中，最簡分式是（）A． B． C． D．八．分式的乘除法（共6小題）14．（2022?閔行區(qū)校級開學(xué)）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是關(guān)于x與y的五次三項(xiàng)式，則（﹣）5＝．15．（2020秋?嘉定區(qū)期末）計(jì)算：＝．16．（2020秋?黃浦區(qū)期末）計(jì)算：．17．（2021秋?徐匯區(qū)月考）計(jì)算：．18．（2020秋?上海期末）計(jì)算：÷．19．（2020秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：÷．九．分式的加減法（共3小題）20．（2021秋?普陀區(qū)期末）計(jì)算：＝．21．（2021秋?寶山區(qū)期末）計(jì)算：＝．22．（2021秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：＝．一十．分式的混合運(yùn)算（共2小題）23．（2022?閔行區(qū)校級開學(xué)）已知，求：（1）；（2）（）2﹣的值．24．（2021秋?浦東新區(qū)期末）化簡：．一十一．分式的化簡求值（共2小題）25．（2021秋?普陀區(qū)期末）先化簡，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．26．（2021秋?寶山區(qū)期末）先化簡，再求值（+1），其中x為滿足x2+x﹣3＝0．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022·上海普陀·七年級期末）當(dāng)x＝3時(shí)，下列各式值為0的是（）A． B． C． D．2．（2022·上海浦東新·七年級期末）下列約分正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·上海寶山·七年級期末）已知分式的值為，如果把分式中的同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，那么新得到的分式的值為（

）A． B． C． D．4．（2022·上?！て吣昙壠谀┯?jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．5．（2022·上海浦東新·七年級期末）下列說法正確的是（

）A．若A、B表示兩個(gè)不同的整式，則一定是分式B．如果將分式中的x和y都擴(kuò)大到原來的3倍，那么分式的值不變C．單項(xiàng)式是5次單項(xiàng)式D．若，則6．（2022·上?！て吣昙壠谀┌逊质街械膞、y的值都擴(kuò)大到原來的2倍，則分式的值…

（

）A．不變 B．?dāng)U大到原來的2倍C．?dāng)U大到原來的4倍 D．縮小到原來的7．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）如果，那么代數(shù)式的值為（

）A． B． C．1 D．2二、填空題8．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）已知a2﹣3a﹣1＝0，則a2+＝_____．9．（2022·上?！て吣昙壠谀┤舴质降闹禐榱?，則x＝_______．10．（2022·上海寶山·七年級期末）如果分式有意義，那么的取值范圍是________．11．（2022·上海·七年級期末），的最簡公分母為___．12．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）已知，則______．三、解答題13．（2022·上?！て吣昙壠谀┗啠?4．（2022·上?！て吣昙壠谀┫然?，再求值：，其中．15．（2022·上?！て吣昙壠谀┯?jì)算：16．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x下列材料，解決問題：在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（或整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效，現(xiàn)舉例說明．將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：＝．這樣，分式就拆分成一個(gè)整式x﹣2與一個(gè)分式的和的形式．（1）將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為．（2）已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x＝．17．（2022·上?！て吣昙壠谀τ谡龜?shù)x，規(guī)定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并證明你的結(jié)論；（3）求值：．18．（2022·上?！て吣昙夐_學(xué)考試）閱讀下面的解題過程：已知：，求的值．解：由知x≠0，所以，即x+=3．所以=x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7．故的值為．該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目：已知：，求的值．19．（2022·上?！て吣昙壠谀┯?jì)算：．20．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）我們規(guī)定：分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個(gè)假分式可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和．例如，，．(1)將假分式化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和；(2)將假分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和的形式為：，求、的值；并直接寫出當(dāng)為