角的平分線（第2課時）（教學課件）-（滬教版）

滬教版八年級上冊

第19

章幾何證明19.5角的平分線（第2課時）學習目標1．進一步理解鞏固線段的垂直平分線和角的平分線的性質定理；2．能夠應用角的平分線性質定理及其逆定理解決簡單的幾何問題；3．通過探索和證明，發(fā)展推理意識和能力.到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。[知識回顧]線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。題設、結論[“互逆”的思想]逆命題逆定理定理命題逆命題逆定理定理在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。[知識回顧]例題2已知：CD垂直平分線段AB，E是CD上一點，分別聯結CA、CB、EA、EB.[來源:]求證：∠CAE=∠CBE.分析：要證明∠CAE=∠CBE，可以通過△CAE≌△CBE來達到.也可以通過∠CAB-∠EAB=∠CBA-∠EBA來達到.例題2已知：CD垂直平分線段AB，E是CD上一點，分別聯結CA、CB、EA、EB.[來源:]求證：∠CAE=∠CBE.證明：∵

CD垂直平分線段AB（已知）,∴EA＝EB，CA＝CB（線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等）.在△CAE與△CBE中，（已證）（已證）（公共邊）∴△CAE≌△CBE（S.S.S）.∴∠CAE=∠CBE（全等三角形的對應角相等）.例題2已知：CD垂直平分線段AB，E是CD上一點，分別聯結CA、CB、EA、EB.[來源:]求證：∠CAE=∠CBE.另解：證明：∵CD垂直平分線段AB（已知）,∴EA＝EB，CA＝CB（線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等）.∴∠CAB=∠CBA，∠1=∠2.（等邊對等角）∴∠CAB－∠1=∠CBA－∠2.（等式性質）即∠CAE=∠CBE.例題3已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別是點D、E；BE、CD相交于點O，且AO平分∠BAC.求證：OB=OC.分析：要證明OB=OC，只需要證明△ODB≌△OEC，垂直和對頂角已經提供了足夠的角的信息，只需要再找一組對應邊即可.利用角的平分線的知識得到OD=OE.證明：∵AO平分∠BAC（已知），CD⊥AB，BE⊥AC（已知），∴∠ODB＝∠OEC＝90°（垂直的意義），且OD=OE（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.在△ODB與△OEC中，∴△ODB≌△OEC（A.S.A）∴OB=OC（全等三角形的對應邊相等）.（已證）（已證）（對頂角相等）例題3已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別是點D、E；BE、CD相交于點O，且AO平分∠BAC.求證：OB=OC.練習判斷下面的證明過程是否正確，并說明理由.已知：點D是射線AP上的一點，點E、F分別在AB、AC上，且DE＝DF.求證：AP平分∠BAC.證明：∵點D是射線AP上的一點，且DE＝DF（已知），∴AP平分∠BAC（在一個角的內部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）.回答：錯誤.因為點到線的距離是由垂線段的長度表示的，所以必須由垂直這個條件才能夠使用角的平分線性質定理及其逆定理.1.已知:如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,AC=AE，AD平分∠CAB,交BC于點D，聯結DE，求證:DE是AB的垂直平分線課本練習【解析】證明：∵AD平分∠CAB，∴∠DAE=∠CAD∵AC=AE，AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS）∴∠AED=∠C=90°∴DE⊥AB，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°-∠B=60°，2.如圖,在△ABC中，∠B-115°,AC的垂直平分線與AB交于點D,聯結CD.如果∠BCD與∠DCA的度數比為3:5,那么∠ACB的度數是多少?【解析】設∠BCD、∠DCA的度數分別為3x，5x∵AC的垂直平分線與AB交于點D，∴DA=DC∴∠A=∠DCA=5x，∵∠B=115°，∴∠A+∠ACB=180°-115°=65°∴5x+5x+3x=65°，解得：x=5°∴∠ACB=3x+5x=8x=40°3.判斷下面的證明過程是否正確,并說明理由.已知:如圖，點D是射線AP上的一點，點E、F分別在AB、AC上，DE=DF求證:AP平分∠BAC.證明:∵點D是射線AP上一點,且DE=DF(已知),AP平分∠BAC(在一個角的內部且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上【解析】錯誤。因為已知中缺少條件：DE⊥AB，DF⊥AC1.如圖，在△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數為()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O是內心，即三條角平分線的交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°－70°＝110°.隨堂檢測2.如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P.小區(qū)CPAOBMN3.已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F.∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

MENABCPOD4.如圖，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP、BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點O到△ABC三邊的距離和；溫馨提示：不存在垂線段———構造應用12解：連接OC.MENABCPOD4.如圖，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP、BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的面積為32，求△ABC的周長.5.如圖，在△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點D在∠EPF的平分線上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4.∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

6.已知：如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求證：CM＝CN.證明：∵OD平分線∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.在△AOD與△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD.∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN.通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲和體會？1.角的平分線的性質定理：在角的平分線上的點到這個角兩邊的距離相等．符號語言：∵OP平分∠AOBPD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE

（在角的平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）．課堂小結2.角平分線性質定理的逆定理：在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.符號語言：∴OP平分∠AOB∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.

（在一個角的內部（包