角的平分線（第2課時）（教學(xué)課件）-（滬教版）

滬教版八年級上冊

第19

章幾何證明19.5角的平分線（第2課時）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進(jìn)一步理解鞏固線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)定理；2．能夠應(yīng)用角的平分線性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題；3．通過探索和證明，發(fā)展推理意識和能力.到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。[知識回顧]線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。題設(shè)、結(jié)論[“互逆”的思想]逆命題逆定理定理命題逆命題逆定理定理在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。在一個角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。[知識回顧]例題2已知：CD垂直平分線段AB，E是CD上一點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)CA、CB、EA、EB.[來源:]求證：∠CAE=∠CBE.分析：要證明∠CAE=∠CBE，可以通過△CAE≌△CBE來達(dá)到.也可以通過∠CAB-∠EAB=∠CBA-∠EBA來達(dá)到.例題2已知：CD垂直平分線段AB，E是CD上一點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)CA、CB、EA、EB.[來源:]求證：∠CAE=∠CBE.證明：∵

CD垂直平分線段AB（已知）,∴EA＝EB，CA＝CB（線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等）.在△CAE與△CBE中，（已證）（已證）（公共邊）∴△CAE≌△CBE（S.S.S）.∴∠CAE=∠CBE（全等三角形的對應(yīng)角相等）.例題2已知：CD垂直平分線段AB，E是CD上一點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)CA、CB、EA、EB.[來源:]求證：∠CAE=∠CBE.另解：證明：∵CD垂直平分線段AB（已知）,∴EA＝EB，CA＝CB（線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等）.∴∠CAB=∠CBA，∠1=∠2.（等邊對等角）∴∠CAB－∠1=∠CBA－∠2.（等式性質(zhì)）即∠CAE=∠CBE.例題3已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別是點(diǎn)D、E；BE、CD相交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC.求證：OB=OC.分析：要證明OB=OC，只需要證明△ODB≌△OEC，垂直和對頂角已經(jīng)提供了足夠的角的信息，只需要再找一組對應(yīng)邊即可.利用角的平分線的知識得到OD=OE.證明：∵AO平分∠BAC（已知），CD⊥AB，BE⊥AC（已知），∴∠ODB＝∠OEC＝90°（垂直的意義），且OD=OE（在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等）.在△ODB與△OEC中，∴△ODB≌△OEC（A.S.A）∴OB=OC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.（已證）（已證）（對頂角相等）例題3已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別是點(diǎn)D、E；BE、CD相交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC.求證：OB=OC.練習(xí)判斷下面的證明過程是否正確，并說明理由.已知：點(diǎn)D是射線AP上的一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且DE＝DF.求證：AP平分∠BAC.證明：∵點(diǎn)D是射線AP上的一點(diǎn)，且DE＝DF（已知），∴AP平分∠BAC（在一個角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上）.回答：錯誤.因?yàn)辄c(diǎn)到線的距離是由垂線段的長度表示的，所以必須由垂直這個條件才能夠使用角的平分線性質(zhì)定理及其逆定理.1.已知:如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,AC=AE，AD平分∠CAB,交BC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DE，求證:DE是AB的垂直平分線課本練習(xí)【解析】證明：∵AD平分∠CAB，∴∠DAE=∠CAD∵AC=AE，AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS）∴∠AED=∠C=90°∴DE⊥AB，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°-∠B=60°，2.如圖,在△ABC中，∠B-115°,AC的垂直平分線與AB交于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)CD.如果∠BCD與∠DCA的度數(shù)比為3:5,那么∠ACB的度數(shù)是多少?【解析】設(shè)∠BCD、∠DCA的度數(shù)分別為3x，5x∵AC的垂直平分線與AB交于點(diǎn)D，∴DA=DC∴∠A=∠DCA=5x，∵∠B=115°，∴∠A+∠ACB=180°-115°=65°∴5x+5x+3x=65°，解得：x=5°∴∠ACB=3x+5x=8x=40°3.判斷下面的證明過程是否正確,并說明理由.已知:如圖，點(diǎn)D是射線AP上的一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，DE=DF求證:AP平分∠BAC.證明:∵點(diǎn)D是射線AP上一點(diǎn),且DE=DF(已知),AP平分∠BAC(在一個角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上【解析】錯誤。因?yàn)橐阎腥鄙贄l件：DE⊥AB，DF⊥AC1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°－70°＝110°.隨堂檢測2.如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P.小區(qū)CPAOBMN3.已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

MENABCPOD4.如圖，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和；溫馨提示：不存在垂線段———構(gòu)造應(yīng)用12解：連接OC.MENABCPOD4.如圖，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的面積為32，求△ABC的周長.5.如圖，在△ABC中，PE∥AB交BC于點(diǎn)E，PF∥AC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4.∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

6.已知：如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點(diǎn)C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求證：CM＝CN.證明：∵OD平分線∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.在△AOD與△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD.∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和體會？1.角的平分線的性質(zhì)定理：在角的平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等．符號語言：∵OP平分∠AOBPD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE

（在角的平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等）．課堂小結(jié)2.角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在一個角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上.符號語言：∴OP平分∠AOB∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.

（在一個角的內(nèi)部（包