第12章《全等三角形》（教師版）

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊易錯題真題匯編（提高版）第12章《全等三角形》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?城廂區(qū)校級模擬）點P在∠ABC的平分線上，點P到BA邊的距離等于3，點D是BC邊上的任意一點，則下列選項正確的是（）A．PD＞3 B．PD≥3 C．PD＜3 D．PD≤3解：∵點P在∠ABC的平分線上，點P到BA邊的距離等于3，∴點P到BC邊的距離等于3，∵點D是BC邊上的任意一點，∴PD≥3，故選：B．2．（2分）（2023?花溪區(qū)模擬）如圖，在2×3的正方形方格中，每個小正方形方格的邊長都為1，則∠1和∠2的關(guān)系是（）A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°解：如圖：由題意得：AC＝BD＝2，BC＝DE＝1，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠1+∠BED＝90°，在△ABC和△BED中，，∴△ABC≌△BED（SAS），∴∠2＝∠BED，∴∠1+∠2＝90°，故選：D．3．（2分）（2022秋?長沙期末）如圖，O是△ABC內(nèi)一點，且O到三邊AB、AC、BC的距離OF＝OE＝OD，若∠BAC＝70°，則∠BOC＝（）A．110° B．115° C．120° D．125°解：∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝110°，由題意得：OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，∵OF＝OE＝OD，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣55°＝125°，故選：D．4．（2分）（2023春?雁山區(qū)校級期中）如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，則△ABC≌△DCB的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS解：HL，理由是：∵∠A＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故選：A．5．（2分）（2022秋?克什克騰旗期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，0），B（0，4），若以B，O，C為頂點的三角形與△ABO全等，則點C的坐標(biāo)不能為（）A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）解：如圖所示：∵點A（2，0），B（0，4），∴OB＝4，OA＝2，∵△BOC與△AOB全等，∴OB＝OB＝4，OA＝OC＝2，∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）．綜上可知，點C的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），故選：A．6．（2分）（2022秋?阿瓦提縣期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4，將一個足夠大的直角三角板的直角頂點放于點A處，該三角板的兩條直角邊與CD交于點F，與CB延長線交于點E，四邊形AECF的面積是（）A．16 B．12 C．8 D．4解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABE＝∠D＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，在△AEB和△AFD中，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB＝S△AFD，∴它們都加上四邊形ABCF的面積，可得到四邊形AECF的面積＝正方形的面積＝16．故選：A．7．（2分）（2022秋?泉港區(qū)期中）如圖，AC平分∠BAD，過C點作CE⊥AB于E，并且2AE＝AB+AD，則下列結(jié)論正確的是①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正確的結(jié)論個數(shù)有（）A．0 B．1 C．2 D．3解：如圖，過C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CF＝CE，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF＝AE，∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）＝2AE+BE﹣DF，又∵AB+AD＝2AE，∴BE＝DF，∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE，即AB＝AD+2BE，故①正確；∵BE＝DF，∠CEB＝∠F＝90°，CF＝CE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠CDF，CD＝CB，故③正確；又∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴四邊形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝360°﹣180°＝180°，故②正確；∵AB＝AD+2BE，CE＝CF，∴由等式性質(zhì)可得，AB×CE＝AD×CF+2×BE×CE，即S△ABC＝S△ACD+2S△BCE，故④錯誤；故選：B．8．（2分）（2023春?渠縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點，連接AE，2∠BAE＝∠CAD，連接DE，下列結(jié)論中正確的有（）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，則AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當(dāng)∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，∴①是不正確的；設(shè)∠BAE＝x，則∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正確的，故選：B．9．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分線，點E在AC上，過點E作EF⊥BC于點F，延長CB至點G，使BG＝2FC，連接EG交AB于點H，EP平分∠GEC，交AD的延長線于點P，連接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，則下列結(jié)論：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④解：過點P分別作GE，AB，AC的垂線，垂足分別為I，M，N，∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，∴PM＝PN＝PI，∴∠PMH＝∠PIH，∵PH＝PH，∴∠PHM＝∠PHI，∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），∴∠PHM＝∠PHI，設(shè)∠PEH＝α，∠PAB＝β，∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，對于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝α﹣β，對于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，∴∠AHE＝2α﹣2β，∴∠APE＝∠AHE；故①正確；∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，∴∠PHE＝90°﹣α+β，∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正確；在射線AC上截取CK＝EC，延長BC到點L，使得CL＝FC，連接BK，LK，∵∠ECF＝∠LCK，∴△EFC≌△KLC（SAS），∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，∵BG＝2FC，F(xiàn)C＝CL，∴BG＝FL，∴FG＝BL，∴△GEF≌△BKL（SAS），∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，∴∠BAC＝∠BKC，∴AB＝BK，∴GE＝AB，故③正確；∵S△PAB＝?AB?PM，S△PGE＝GE?PI，又∵AB＝GE，PM＝PI，∴S△PAB＝S△PGE．故④正確．故選：D．10．（2分）（2023春?管城區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四邊形ABDE＝2S△ABP；其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正確．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP（AAS），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正確．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝FD，又∵AB＝FB，∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正確．如圖，連接HD，ED．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，∵∠HPD＝90°，∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH＝S△EPD，∵S四邊形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD＝S△ABP+S△APH+S△PBD＝S△ABP+S△FPD+S△PBD＝S△ABP+S△FBP＝2S△ABP，故④正確．故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?天臺縣一模）?如圖，△ADE≌△ABC，點D在邊AC上，延長ED交邊BC于點F，若∠EAC＝35°，則∠BFD＝145°．解：∵△ADE≌△ABC，∴∠E＝∠C．又∠EAC＝180°﹣∠E﹣∠EDA，∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF，且∠EDA＝∠CDF，∴∠EAC＝∠CFD＝35°．∴∠BFD＝180°﹣∠CFD＝145°．故答案為：145°．12．（2分）（2023春?平遙縣月考）如圖，一把直尺壓住射線OB，另一把完全一樣的直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠AOB的平分線．”這樣說的依據(jù)是在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．解：如上圖，一把直尺壓住射線OB，另一把完全一樣的直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠AOB的平分線．”這樣說的依據(jù)是在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，故答案為：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．13．（2分）（2022秋?臥龍區(qū)期末）如圖，已知長方形ABCD的邊長AB＝20cm，BC＝16cm，點E在邊AB上，AE＝6cm，如果點P從點B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點C向運動，同時，點Q在線段CD上從點C到點D運動．則當(dāng)△BPE與△CQP全等時，時間t為1或4s．解：∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，當(dāng)△BPE≌△CQP時，則有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，當(dāng)△BPE≌△CPQ時，則有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案為：1或4．14．（2分）（2022秋?鹿邑縣月考）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD＝AC，E是AD延長線上一點，且AE＝AB，過點E作EF⊥AB于點F．有以下結(jié)論：①BD＝EC；②∠ACE+∠BDE＝180°；③AC∥EF；④∠BEF＝∠AEC，其中正確的有①②．（填序號）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS），∴∠ADB＝∠ACE，BD＝EC，①正確；∵∠ADB+∠BDE＝180°，∴∠ACE+∠BDE＝180°，②正確；若AC∥EF，則∠BAC＝∠AFE＝90°，而根據(jù)已知條件無法得知∠BAC＝90°，故③錯誤；設(shè)EF交BC于H，如圖所示：∵△ABD≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABD，如果∠BEF＝∠AEC，則∠ABD＝∠BEF，∵∠BFE＝∠HFB，∴∠FHB＝∠ABE，∵AD＝AC，AE＝AB，∴∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB，∵∠BAD＝∠DAC，∴∠ADC＝∠ACD＝∠ABE＝∠AEB，∴∠FHB＝∠ACD，∴AC∥EF，∵AC∥EF錯誤，∴∠BEF＝∠AEC錯誤，故④錯誤；故答案為：①②．15．（2分）（2020秋?雁江區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，點E為AB的中點．如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．當(dāng)點Q的運動速度為3厘米/秒或厘米/秒時，能夠使△BPE與△CQP全等．解：設(shè)點P運動的時間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①當(dāng)BE＝CP＝5，BP＝CQ時，△BPE與△CQP全等，此時，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此時，點Q的運動速度為3÷1＝3厘米/秒；②當(dāng)BE＝CQ＝5，BP＝CP時，△BPE與△CQP全等，此時，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴點Q的運動速度為5÷＝厘米/秒；故答案為：3厘米/秒或厘米/秒．16．（2分）（2020秋?西寧期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝3，AB＝10，則△ABD的面積是15．解：如圖，作DE⊥AB于E，由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面積＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案為：15．17．（2分）（2022?長春二模）如圖，在銳角三角形ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD為三角形ABC的角平分線．BE，CD交于點F，F(xiàn)G平分∠BFC，有下列四個結(jié)論：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中結(jié)論正確的序號有①②④．解：∵∠A＝60°，BE、CD為三角形ABC的角平分線，∴∠EBC+∠DCB＝ABC+ACB＝（180°﹣∠A）＝60°，∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°，故①正確；由①得，∠DFB＝60°，∠BFC＝120°，∵FG平分∠BFC，∴∠BFG＝BFC＝60°，在△BDF和△BGF中，，∴△BDF≌△BGF（ASA），∴BD＝BG，故②正確；在△BDF和△CEF中，∠BFD＝∠CFE＝60°，但沒有相等的邊，∴△BDF和△CEF不一定全等，故③錯誤；由②可得BD＝BG，同理可得△CEF≌△CGF（ASA），∴CE＝CG，∴BC＝BG+CG＝BD+CE，故④正確．綜上所述：結(jié)論正確的序號有①②④．故答案為：①②④．18．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE與AD交于點F，G為△ABC外一點，∠ACD＝∠FCG，∠CBG＝∠CAF，連接DG．下列結(jié)論：①△ACF≌△BCG；②∠BGC＝117°；③S△ACE＝S△CFD+S△BCG；④AD＝DG+BG．其中結(jié)論正確的是①②④（只需要填寫序號）．解：①∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵∠ACD＝∠FCG，∴∠ACF+∠FCD＝∠FCD+∠BCG．∴∠ACF＝∠BCG，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG（ASA），故①正確；②∵∠ACB＝180°﹣2×54°＝72°，∠BCG＝∠ACF＝°＝36°，∠CBG＝∠CAF＝54°＝27°，∴∠BGC＝180°﹣36°﹣27°＝117，故②正確；③∵S△ACD＝S△CFD+S△ACF，∴S△ACD＝S△CFD+S△BCG，∵根據(jù)題意S△ACD≠S△ACE，∴S△ACE≠S△CFD+S△BCG；故③錯誤；④如圖，連接BF，可知點F為三角形角平分線交點，即BF平分∠ABC∴∠CBF＝ABC＝BAC＝∠CAF，∴∠CBF＝∠CBG，在△BCF和△BCG中，，∴△BCF≌△BCG（ASA），∴BF＝BG＝AF，F(xiàn)D＝DG．∵AD＝AF+FD．AD＝BG+DG，故④正確故答案為：①②④．19．（2分）（2022秋?南昌期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，點E為BC上一點，連接AE，∠BAE＝∠CAD，連接DE．下列結(jié)論中正確的是②③④．（填序號）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，則AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當(dāng)∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，∴①是不正確的；設(shè)∠BAE＝x，則∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正確的，故答案為：②③④．20．（2分）（2022秋?黃島區(qū)校級期末）如圖，∠ABC＝∠ACB，△ABC的內(nèi)角∠ABC的角平分線BD與∠ACB的外角平分線交于點D，△ABC的外角∠MBC的角平分線與CD的反向延長線交于點E，以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正確的結(jié)論有①②③⑤．（填序號）解：如圖，過點D作DG⊥BF于G，DH⊥AB交BA的延長線于點H，DP⊥AC于P，過點A作AQ⊥BC于Q，∵BD是∠ABC的平分線，∴DH＝DG，∵CD是∠ACF的平分線，∴DG＝DP，∴DH＝DP，∴AD是∠CAH的平分線，即∠CAD＝∠HAD＝∠CAH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠CAD+∠HAD+∠BAC＝180°，∴∠CAD＝∠ACB，∴AD∥BC，因此①正確；∵BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，∠CBM+∠ABC＝180°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBM＝×180°＝90°，即BD⊥BE，因此②正確；∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC，∵CD是∠ACF的平分線，∴∠ACD＝∠FCD，∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC，∴∠BDC＝∠BAC，∵AQ⊥BC，AB＝AC，∴∠BAQ＝∠CAQ＝∠BAC，∵∠BAQ+∠ABC＝90°，∴∠BDC+∠ABC＝90°，因此③正確；∵∠ADB＝∠ABC＝×（）＝45，而∠BAC∴∠ADB與∠BDC不一定相等，因此④不正確；∵BE⊥BD，∴∠E+∠BDC＝90°，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠E+∠BAC＝90°，∴2∠E+∠ABC＝180°，因此⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤，故答案為：①②③⑤．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?大安市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為D，其中CE＝4.5，AB＝10，（1）求DE的長度．（2）求△ABE的面積．解：（1）∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，∴DE＝EC＝4.5，∴DE的長度為4.5；（2）∵DE⊥AB，AB＝10，∴△ABE的面積＝AB?DE＝×10×4.5＝22.5，∴△ABE的面積為22.5．22．（6分）（2022秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別是D、E，AD、CE交于點H，AE＝CE，（1）求證：△BEC≌△HEA；（2）若BE＝8，CH＝3，求線段AB的長．（1）證明：∵CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠CEB＝∠AEH＝∠ADC＝90°，∵∠AHE＝∠CHD，∴∠ECB＝∠EAH，在△BEC和△HEA中，，∴△BEC≌△HEA（ASA）；（2）解：∵△BEC≌△HEA，BE＝8，∴HE＝BE＝8，∵CH＝3，∴CE＝HE+CH＝8+3＝11，∵AE＝CE，∴AB＝AE+BE＝CE+BE＝11+8＝19．23．（8分）（2021秋?右玉縣校級期末）閱讀并理解下面內(nèi)容，解答問題．三角形的內(nèi)心：定義：三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心．如圖1，已知AM，BN，CP是△ABC的三條內(nèi)角平分線．求證：AM，BN，CP相交于一點．證明：如圖2，設(shè)AM，BN相交于點O，過點O分別作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為D，E，F(xiàn)．∵點O是∠BAC的平分線AM上的一點，∴OE＝OF（依據(jù)1），同理，OD＝OF，∴OD＝OE（依據(jù)2）．∵CP是∠ACB的平分線，∴點O在CP上，（依據(jù)3）．∴AM，BN，CP相交于一點．請解答以下問題：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”“依據(jù)3”分別是指什么？（2）如果BC＝a，AC＝b，AB＝c，OD＝r，請用a，b，c，r表示△ABC的面積．解：（l）由題意得：依據(jù)1：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，依據(jù)2：等量代換，依據(jù)3：在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上；（2）∵OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BC＝a，AC＝b，AB＝c，OD＝OE＝OF＝r，∴△ABC的面積＝△AOB的面積+△AOC的面積+△BOC的面積＝AB?OF+AC?OE+BC?OD＝cr+br+ar，∴△ABC的面積為cr+br+ar．24．（8分）（2022秋?瓊海期中）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，P為線段AD上一個動點，PE⊥AD于點P，交BD的延長線于點E．（1）若∠B＝36°，∠ACB＝84°，則∠BAD＝30°，∠ADC＝66°；（2）若∠ACB＝90°，∠ABC＝∠E，求∠B的度數(shù)；（3）若∠B＝α，∠ACB＝β，α＜β，求∠DEP．（用含α，β的式子表示）解：（1）∵∠B＝36°，∠ACB＝84°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝66°，故答案為：30°，66°；（2）∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵PE⊥AD，∴∠EDP＝90°，∴∠ADC+∠E＝90°，∵∠ABC＝∠E，∴∠ADC＝∠BAC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∴∠ADC＝2∠DAC，∵∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠ADC＝60°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝30°，∴∠B＝∠E＝30°，∴∠B的度數(shù)為30°；（3）∵∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝90°﹣α﹣β，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣α﹣β＝90°+α﹣β，∵PE⊥AD，∴∠EDP＝90°，∴∠DEP＝90°﹣∠ADC＝90°﹣（90°+α﹣β）＝β﹣α，∴∠DEP的度數(shù)為β﹣α．25．（8分）（2022秋?墊江縣校級月考）已知：在△ABC中，點E在直線AC上，點B，D，E在同一條直線上，且BA＝BD，∠BAE＝∠D．（1）如圖1，若BE平分∠ABC，求證：∠AEB+∠BCE＝180°．（2）如圖2，若BE平分△ABC的外角∠ABF，交CA的延長線于點E，問：∠AEB和∠BCE的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變了嗎？若改變，請寫出正確的結(jié)論，并證明；若不改變，請說明理由．解：（1）證明∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（ASA），∴BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠AEB+∠BCE＝180°；（2）∠AEB和∠BCE的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變，變?yōu)椤螧EC＝∠BCE．理由如下：∵BE平分∠ABF，∴∠ABE＝∠EBF＝∠CBD，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（ASA），∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE．26．（8分）（2021秋?長沙期末）如圖，已知四邊形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四邊形ABCD的對角線，O是BD的中點，BF是∠ABE的角平分線交AD于點F，DE是∠ADC的角平分線交BC于點E，連接FO并延長交DE于點G．（1）求∠ABC+∠ADC的度數(shù)；（2）求證：FO＝OG；（3）當(dāng)BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°時，求證：DM＝2AB．（1）解：在四邊形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°．（2）證明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，∵BF、DE分別是∠ABE、∠ADC的角平分線，∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE，∴2∠ABF+2∠ADE＝180°，∴∠ABF+∠ADE＝90°，又∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE＝∠AFB∴BF∥ED，∴∠BFG＝∠AFB，在△BFO和△DOG中，，∴△BFO≌△DOG（ASA），∴OF＝OG；（3）證明：證法一：過D點作CD的垂線，延長BA相交于點N，過B點作BK垂直DN，則△BCD≌△BKD（AAS），∴BK＝CD，在△BAD和△NAD中，，∴△BAD≌△NAD（ASA），∴NB＝2AB，∵∠ABF＝∠CBF＝∠ADE＝22.5°在△BKN和△MCD中，，∴△BKN≌△MCD（ASA），∴MD＝BN＝2AB；證法二：如圖，延長DM，延長DC，過B點作MD的垂線，垂足為N，交DC的延長線于點L，在△BAD和△BND中，，∴△BAD≌△BND（ASA），∴AB＝NB，在△LND和△BND中，，∴△LND≌△BND（ASA），∴NB＝NL，∴BL＝2AB，∵∠LBC+∠BMN＝∠CMD+∠MDC＝90°，∠BMN＝∠DMC，∴∠LBC＝∠MDC，在△LCB和△MCD中，，∴△LCB≌△MCD（ASA），∴BL＝MD＝2AB