《數(shù)理精藴》之五與六乘方表及其開六及七次方

()《數(shù)理精藴》之五與六乘方表及其開六及七次方上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112何世強(qiáng)HoSaiKeung提要：本文主要介紹《數(shù)理精藴》之諸乘方表。特別為五乘方表及六乘方表之用法。本文並強(qiáng)調(diào)開五乘方及六乘方之筆算法。關(guān)鍵詞：諸乘方表五乘方表六乘方表本文數(shù)學(xué)題取材自《御製數(shù)理精藴?下編?卷三十二?未部二》﹝簡稱為《數(shù)理精藴》﹞分題為借根方比例“諸乘方表”。本文涉及億、兆、京等單位，據(jù)《五經(jīng)算術(shù)?卷上》甄鸞按曰：黃帝為法，數(shù)有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者，謂上、中、下也。其下數(shù)者，十十變之。若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數(shù)者，萬萬變之。若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也。上數(shù)者，數(shù)窮則變。若言萬萬曰億，億億曰兆、兆兆曰京也。以上“十等”乃由小至大。元代《算學(xué)啟蒙》及《數(shù)理精蘊(yùn)》所記載之?dāng)?shù)字單位由小至大依次為：一、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載、極。注意萬以下是十進(jìn)位，萬以後則為萬進(jìn)位，即萬萬為億、萬億為兆、萬兆為京。故《數(shù)理精藴》以萬萬曰億，萬億曰兆，萬兆曰京，萬京曰垓。今舉859068301025390625一數(shù)﹝見第一題﹞以說明之：859068301025390625十京京千兆百兆十兆兆千億百億十億億千萬百萬十萬萬千百十個(gè)寫成“八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五”。其實(shí)數(shù)目太大，難以表達(dá)，億以上之單位少人用亦少人識(shí)?！吹谝活}〉五乘方設(shè)如有五乘方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺，開五乘方，問：每一根之?dāng)?shù)幾何？解：以下為《數(shù)理精藴》原圖：“開五乘方”即求其六次方根﹝依現(xiàn)代說法，即開六次方﹞。其單位應(yīng)為﹝尺6﹞。設(shè)上圖從上至下為第一至第八列。以下為《數(shù)理精藴》之算法步驟：法：列方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五(859068301025390625)尺。自末位起算，每方積六位定方根一位，故隔五位作記(859068∣301025∣390625)。即將859068∣301025∣390625寫於第二列，是為“方積”或原積，即原開六次方之?dāng)?shù)。乃於五尺上定單位，五百萬尺上定十位，八兆尺上定百位。即從右至左第一個(gè)5之上定根之個(gè)位，第二之5之上定十位，8之上定百位，所得之開方數(shù)將寫於第一列。 9 7 5 ﹝第一列﹞859068301025∣390625 ﹝第二列﹞531441 ﹝第三列﹞327627301025 ﹝第四列﹞次商廉隅共積832972004929 ﹝第五列﹞026096296096390625 ﹝第六列﹞三商廉隅共積859068301025∣390625 ﹝第七列﹞ 0 ﹝第八列﹞《數(shù)理精藴》曰：其八十五京九千零六十八兆(859068000000000000)尺為初商積，與九百乘五次之?dāng)?shù)相準(zhǔn)，即定初商為九百尺書於方積八兆尺之上，而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺書於初商積之下，相減餘三十二京七千六百二十七兆尺。即以859068000000000000尺為初商積，見第一列。又以試錯(cuò)法﹝trialanderror﹞求出初商9，因?yàn)?6=531441<859068﹝從右至左第三組數(shù)﹞，見第二及三列。算出859068–531441=327627(301025)，見第四列。爰以方根第二位積三千零一十億二千五百萬(301025000000)尺續(xù)書於後，共三十二京七千六百二十七兆三千零一十億二千五百萬(327627301025000000)尺為次商廉隅之共積，而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百億尺，六因之得三千五百四十二兆九千四百億尺為次商廉法，以除次商積足八十倍，因定次商為八十尺。以上文意即算出9005=590490000000000，再算6×590490000000000=3542940000000000，乘6之理由見下文之展式第二項(xiàng)。再算出327627301025÷3542940000=83，取整數(shù)8，即取次商為8。初商與次商合成980，但9806>原積859068301025390625，所以次商8不合用。《數(shù)理精藴》曰：按法相乘大於原積，乃改商七十尺書於方積五百萬尺之上，合初商共九百七十尺乘五次，得八十三京二千九百七十二兆零四十九億二千九百萬尺，與原積相減餘二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百萬尺。上文意指改次商為70，合初商共970，算出9706=832972004929000000﹝見第五列﹞，此數(shù)小於原積，即可減，即次商為70可用。算出859068301025390625–832972004929000000=26096296096390625﹝見第六列﹞，可視作26096296096000000。爰以方根第三位積三十九萬零六百二十五(390625)尺續(xù)書於後，共二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百三十九萬零六百二十五(26096296096390625)尺為三商廉隅之共積﹝三商積﹞，而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十億二千五百七十萬尺(9705=858734025700000)，六因之得五千一百五十二兆四千零四十一億五千四百二十萬(上數(shù)乘以6得5152404154200000)尺為三商廉法，以除三商積，足五倍，即定三商為五尺，書於方積五尺之上。以上文意指算出三商積÷三商廉法=26096…÷5152…=5.0，是為足五倍，即定三商為5，書於方積最右方5尺之上。或曰5152…之?dāng)?shù)可從五乘方表中查出。合初商、次商共九百七十五尺，乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺，與原積相減恰盡，是開得九百七十五尺為五乘方每一根之?dāng)?shù)也。文意指三商5合初商、次商共975，算出9756=859068301025390625，即第七列，與原積第二列相減恰盡，故原積之開六次方為975?！稊?shù)理精藴》又曰：葢五乘方之本法有六四乘廉，十五三乘廉，二十自乘再乘廉，十五自乘廉，六長廉，一小隅。既得初商，乃以初商乘四次六因之得六四乘廉為法，除餘積得次商，以初商乘三次與次商相乘十五乘之，為十五三乘廉，以初商自乘再乘次商自乘，兩數(shù)相乘二十乘之為二十自乘再乘廉，以初商自乘次商自乘再乘兩數(shù)相乘十五乘之為十五自乘廉，以次商乘三次與初商相乘，六因之為六長廉，以次商乘四次為一小隅，合六四乘廉，十五三乘廉，二十自乘再乘廉，十五自乘廉，六長廉，一小隅，以次商乘之為次商廉隅之共積，今此法得次商之後，合初商乘五次即得應(yīng)減之積也。以上文意即指以下之展開式及各項(xiàng)所帶之係數(shù)：[100a+(10b+c)]6=1006a6+6×1005a5(10b+c)+15×1004a4(10b+c)2+20×1003a3(10b+c)3+15×1002a2(10b+c)4+6×100a(10b+c)5+(10b+c)6。以上展式之第二項(xiàng)是為六四乘廉，第三項(xiàng)是為十五三乘廉，第四項(xiàng)是為二十自乘再乘廉，第五項(xiàng)是為十五自乘廉，第六項(xiàng)是為六長廉，第七項(xiàng)是為一小隅。注意以上各項(xiàng)之係數(shù)。注意“四乘”指五次方，“三乘”指四次方，“自乘再乘”指三次方，“自乘”指二次方?！靶∮纭敝覆粠С跎讨罡叽畏街?xiàng)。若果原積=1006a6+6×1005a5(10b+c)+其餘項(xiàng)，原積–1006a6≒6×1005a5(10b+c)，若初商a已估算出，則：10b+c≒16×1005×a5(原積–1006a《數(shù)理精藴》又曰：又法：用開平方、開立方法開之。初以原積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺開平方，得九億二千六百八十五萬九千三百七十五尺，又以九億二千六百八十五萬九千三百七十五尺開立方，得九百七十五尺，即五乘方每一根之?dāng)?shù)也。以上文意即將原積開平方，又將所得之平方根開立方即得其開六次方。即√859068301025390625=9268593753926859375=975開立方之法可參閱筆者另文。又用表開法：列積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五(859068301025390625)尺，自末位起算隔五位作記，定位同前，乃截方根第二位以前積八五九○六八三○一○二五(859068301025)為初商、次商之積，於表中取比此數(shù)相近略小之?dāng)?shù)為八三二九七二○○四九二九(832972004929)，即初商、次商乘五次之?dāng)?shù)，其所對初商根為九，次商根為七，即將九七書於初商、次商之位，而以八三二九七二○○四九二九書於初商、次商積之下，相減餘二六○九六二九六○九六。注意下表含方格之?dāng)?shù)：以下為原圖：以上文意指從五乘方表中尋出一數(shù)，此數(shù)接近但不大於859068301025，此數(shù)為832972004929，即其初商及次商為97。計(jì)算859068301025–832972004929=2609629096。6×9705=5152404154(200000)乃以八三二九七二○○四九二九，格內(nèi)三商廉法五一五二四○四一五四，除餘積二六○九六二九六○九六，足五倍，即定三商為五，書於三商之位。2609629096÷5152404154=5.0，是為足五倍，即定三商為5，書於方積最右方5尺之上。此步驟與前相同。5152404154之?dāng)?shù)見五乘方表第二列。合初商、次商共九百七十五，乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺，與原積相減恰盡，即定五乘方根為九百七十五尺也。三商5合初商、次商共975，算出9756=859068301025390625，與原積相減恰盡，故原積之開六次方為975。以下為《數(shù)理精藴》之五乘方表：〈第二題〉六乘方設(shè)如有六乘方積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺，開六乘方問：每一根之?dāng)?shù)幾何？解：以下為《數(shù)理精藴》原圖：“開六乘方”即求其七次方根﹝依現(xiàn)代說法，即開七次方﹞。其單位應(yīng)為﹝尺7﹞。上圖從上至下為第一至第八列。以下為《數(shù)理精藴》之算法步驟：法：列方積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八(325894599252395900928)尺，自末位起算，每方積七位定方根一位，故隔六位作記，即

3258945∣9925239∣5900928。即將3258945∣9925239∣5900928寫於第二列，是為“方積”或原積，即原開七次方之?dāng)?shù)。乃於八尺上定單位，九千萬尺上定十位，五百兆尺上定百位。即從右至左第一個(gè)8之上定根之個(gè)位，第八位之9之上定十位，第十五位之五定百位，寫於第一列，見下圖。 8 5 2 ﹝第一列﹞325894599252395900928 ﹝第二列﹞2097152 ﹝第三列﹞11617939925239 ﹝第四列﹞次商廉隅共積32057708828125 ﹝第五列﹞005317510971145900928 ﹝第六列﹞三商廉隅共積325894599252395900928 ﹝第七列﹞ 0 ﹝第八列﹞《數(shù)理精藴》曰：其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺(3258945)為初商積，與八百乘六次之?dāng)?shù)相準(zhǔn)，即定初商為八百尺，書於方積五百兆尺之上，而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺，書於初商積之下，相減餘一垓一千六百一十七京九千三百兆尺。即以試錯(cuò)法﹝trialanderror﹞求出初商之?dāng)?shù)8，因?yàn)?7=2097152<3258945第三組數(shù)，見第二及三列。將8寫於5之上。先算出3258945–2097152=1161793(9925239)，見第四列?！稊?shù)理精藴》曰：爰以方根第二位積九十九兆二千五百二十三億九千萬尺(99252390000000)續(xù)書於後，共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三億九千萬(116179399252390000000)尺為次商廉隅之共積，而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺為次商廉法，以除次商積足六十倍因定次商為六十尺。即8006×7=262144000000000000×7=1835008000000000000為次商廉法。再算出：次商廉隅共積÷次商廉法=1161793÷18350=63.3，取整數(shù)6，即取次商為6。初商與次商合成860，但8607>原積，所以次商6不合。按法相乘大於原積，乃改商五十尺，書於方積九千萬尺之上，合初商共八百五十尺，乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二億五千萬(320577088281250000000)尺，與原積相減餘五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四千萬尺(5317510971140000000)。以上文意指改次商為50，合初商共850，算出8507=320577088281250000000﹝見第五列﹞，此數(shù)小於原積，可減，即次商為50可用。算出325894599252395900928–320577088281250000000=5317510971140000000﹝見第六列﹞。爰以方根第三位積五百九十萬零九百二十八(5900928)﹝第六列﹞尺續(xù)書於後，共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四千五百九十萬零九百二十八(5317510971145900928)尺為三商廉隅之共積，而以初商、次商之八百五十尺乘五次，得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六億二千五百萬尺，七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三億七千五百萬尺為三商廉法，以除三商積，足二倍，即定三商為二尺，書於方積八尺之上。又先算出7×8506=7×377149515625000000=2640046609375000000，5317÷2640=2.1﹝取適當(dāng)位數(shù)﹞，足2倍，即定三商為2，書於方積8之上。以7乘之理由見下文。合初商、次商共八百五十二尺，乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺，與原積相減恰盡，是開得八百五十二尺，為六乘方每一根之?dāng)?shù)也。以上文意指三商2合初商、次商共852，算出8527=325894599252395900928，與原積相減恰盡，故原積之開七次方為852?！稊?shù)理精藴》又曰：葢六乘方之本法有七五乘廉，二十一四乘廉，三十五三乘廉，三十五自乘再乘廉，二十一自乘廉，七長廉，一小隅。既得初商，即以初商乘五次七因之，得七五乘廉為法，除餘積，得次商。以初商乘四次與次商相乘二十一乘之為二十一四乘廉，以初商乘三次次商自乘，兩數(shù)相乘三十五乘之為三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘兩數(shù)相乘三十五乘之為三十五自乘再乘廉，以初商自乘次商乘三次，兩數(shù)相乘二十一乘之為二十一自乘廉，以次商乘四次與初商相乘七因之，為七長廉以次商乘五次為一小隅，合七五乘廉，二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉，二十一自乘廉七長廉一小隅，以次商乘之為次商廉隅之共積，今得次商之後合初商乘六次即，得應(yīng)減之積也。以上文意即指以下之展開式：[100a+(10b+c)]7=1007a7+7×1006a6(10b+c)+21×1005a5(10b+c)2+35×1004a4(10b+c)3+35×1003a3(10b+c)4+21×1002a2(10b+c)5+7×100a(10b+c)6+

(10b+c)7。以上展式之第二項(xiàng)是為七五乘廉，第三項(xiàng)是為二十一四乘廉，第四項(xiàng)是為三十五三乘廉，第五項(xiàng)為三十五自乘再乘廉，第六項(xiàng)為二十一自乘廉，第七項(xiàng)為七長廉，第八項(xiàng)為一小隅。注意以上各項(xiàng)之係數(shù)?！稊?shù)