第五章數(shù)控裝置的軌跡控制

第五章數(shù)控裝置的軌跡控制第五章數(shù)控裝置的軌跡控制原理第一節(jié)概述軌跡控制過程：加工各種形狀的零件輪廓時(shí)，必須控制刀具相對(duì)工件以給定的速度沿指定的路徑運(yùn)動(dòng)，即控制各坐標(biāo)軸依某一規(guī)律協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的過程。也叫插補(bǔ)過程。插補(bǔ)：在數(shù)控加工中，一般已知運(yùn)動(dòng)軌跡的起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)和曲線方程，如何使切削加工運(yùn)動(dòng)沿著預(yù)定軌跡移動(dòng)呢？數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)這些信息實(shí)時(shí)地計(jì)算出各個(gè)中間點(diǎn)的坐標(biāo)，通常把這個(gè)過程稱為“插補(bǔ)”。插補(bǔ)實(shí)質(zhì)上是根據(jù)有限的信息完成“數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化”。平面曲線的運(yùn)動(dòng)軌跡需要兩個(gè)運(yùn)動(dòng)來協(xié)調(diào)；空間曲線或立體曲面則要求三個(gè)以上的坐標(biāo)產(chǎn)生協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)。第五章數(shù)控裝置的軌跡控制原理插補(bǔ)是CNC裝置的核心。插補(bǔ)的速度和精度直接影響CNC裝置的控制速度和精度。提高插補(bǔ)速度和精度的措施：(1)多微處理器(2)插補(bǔ)算法力求簡(jiǎn)單，高效。(3)軟硬件結(jié)合。第一節(jié)概述普遍應(yīng)用的兩類插補(bǔ)方法：脈沖增量插補(bǔ)和數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)（一）脈沖增量插補(bǔ)/基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)基本原理：這類插補(bǔ)算法是以脈沖形式輸出。每插補(bǔ)運(yùn)算一次產(chǎn)生一個(gè)進(jìn)給脈沖，然后輸出到伺服系統(tǒng)，驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)。每發(fā)出一個(gè)脈沖，工作臺(tái)移動(dòng)一個(gè)基本長(zhǎng)度單位。（即脈沖當(dāng)量δ，脈沖當(dāng)量是脈沖分配的基本單位）

應(yīng)用：控制精度和進(jìn)給速度較低，主要用于以步進(jìn)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的開環(huán)控制系統(tǒng)中。（二）數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)/時(shí)間標(biāo)量插補(bǔ)/數(shù)字增量插補(bǔ)基本原理：這類算法插補(bǔ)結(jié)果輸出的是標(biāo)準(zhǔn)二進(jìn)制數(shù)。一般分為粗、精插補(bǔ)兩步完成。

粗插補(bǔ)：根據(jù)插補(bǔ)周期T和程編進(jìn)給速度F，把輪廓曲線分割為一系列微小直線段ΔL=FT。

精插補(bǔ)：然后將這些微小直線段再做“數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化”，即做直線的脈沖增量插補(bǔ)。應(yīng)用：多用于直線和交流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)的閉環(huán)、半閉環(huán)數(shù)控系統(tǒng)中。第一節(jié)概述脈沖增量插補(bǔ)包括：逐點(diǎn)比較法（代數(shù)運(yùn)算法或醉步法）

原理：數(shù)控裝置在控制刀具移動(dòng)過程中，不斷比較刀具與給定輪廓的誤差，由誤差值決定刀具下一步運(yùn)動(dòng)方向，使刀具向誤差減小的方向移動(dòng)，且只有一個(gè)方向移動(dòng)。

特點(diǎn)：運(yùn)算直觀、插補(bǔ)誤差小于一個(gè)δ，(進(jìn)給脈沖跟隨插補(bǔ)頻率)，輸出脈沖均勻且速度變化小，調(diào)節(jié)方便。

應(yīng)用：適于兩坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)的機(jī)床。數(shù)字積分法（數(shù)字微分分析法DDA）原理：

特點(diǎn)：運(yùn)算速度快，脈沖分配均勻，但(溢出脈沖頻率與被積函數(shù)值大小有關(guān))速度調(diào)節(jié)不便，插補(bǔ)精度需一定措施才能滿足。應(yīng)用：應(yīng)用廣泛，易于實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)。比較積分法第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)一、逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)原理

第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)一般來說，逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)過程可按以下四個(gè)步驟進(jìn)行：偏差判別：判別刀具當(dāng)前位置相對(duì)于給定輪廓的偏離情況。坐標(biāo)進(jìn)給：根據(jù)判別結(jié)果控制刀具向給定輪廓趨進(jìn)。偏差計(jì)算：計(jì)算刀具當(dāng)前位置與給定軌跡之間的新偏差，作為下一步偏差判別的依據(jù)。終點(diǎn)判別：判斷刀具是否到達(dá)終點(diǎn)，若到達(dá)，結(jié)束插補(bǔ)；否則，繼續(xù)以上四個(gè)步驟。

1.直線插補(bǔ)（1）偏差計(jì)算第一象限直線OE，起點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的終點(diǎn)坐標(biāo)E(Xe，Ye)，直線方程為：

P（X，Y）為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，與直線的位置關(guān)系有三種情況：動(dòng)點(diǎn)在直線上方動(dòng)點(diǎn)在直線上動(dòng)點(diǎn)在直線下方第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)P1P(X,Y)P2OXYEXeY－XYe＝0（1）若P1點(diǎn)在直線上方，則

XeY－XYe>0（2）若P點(diǎn)在直線上，則

XeY－XYe＝0（3）若P2點(diǎn)在直線下方，則

XeY－XYe<0因此，可以構(gòu)造偏差函數(shù)為

P1P(X,Y)P2OXYE圖動(dòng)點(diǎn)與直線位置關(guān)系第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)

F＝0時(shí)，表示動(dòng)點(diǎn)在OE上，如點(diǎn)P，可向＋X向進(jìn)給，也可向＋Y向進(jìn)給。

F>0時(shí)，表示動(dòng)點(diǎn)在OE上方，如點(diǎn)P1，應(yīng)向＋X向進(jìn)給。

F<0時(shí)，表示動(dòng)點(diǎn)在OE下方，如點(diǎn)P2，應(yīng)向＋Y向進(jìn)給。

這里規(guī)定動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，可歸入F>0的情況一同考慮。

將F的運(yùn)算采用遞推算法予以簡(jiǎn)化，動(dòng)點(diǎn)Pi(Xi，Yi)的Fi值為第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)P1P(X,Y)P2OXYE若Fi≥0，表明Pi(Xi，Yi)點(diǎn)在OE直線上方或在直線上，應(yīng)沿＋X走一步，新點(diǎn)坐標(biāo)值為Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi,第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)若Fi<0，表明Pi（Xi，Yi）點(diǎn)在OE的下方，應(yīng)向＋Y進(jìn)給一步，新點(diǎn)坐標(biāo)值為Xi+1=Xi,Yi+1＝Y(jié)i＋1，新點(diǎn)的偏差為：新點(diǎn)偏差為：

(2)進(jìn)給

第一象限直線偏差判別函數(shù)與進(jìn)給方向的關(guān)系為：第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)

(3)終點(diǎn)判別

方法1：設(shè)置一個(gè)長(zhǎng)度計(jì)數(shù)器，從直線的起點(diǎn)走到終點(diǎn)，刀具沿X軸應(yīng)走的步數(shù)為Xe，沿Y軸走的步數(shù)為Ye，計(jì)數(shù)器中存入X和Y兩坐標(biāo)進(jìn)給步數(shù)總和∑＝∣Xe∣＋∣Ye∣，當(dāng)X或Y坐標(biāo)進(jìn)給時(shí)，計(jì)數(shù)長(zhǎng)度減一，當(dāng)計(jì)數(shù)長(zhǎng)度減到零時(shí)，即∑＝0時(shí)，停止插補(bǔ)，到達(dá)終點(diǎn)。方法2：每走一步都判斷是否成立，如果成立則插補(bǔ)結(jié)束。

(4)直線插補(bǔ)軟件流程入口初始化:

+x走一步+y走一步F≥0?出口YYNN例5-1：加工第一象限直線OE，起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)為E（4，3）。試用逐點(diǎn)比較法對(duì)該段直線進(jìn)行插補(bǔ)，并畫出插補(bǔ)軌跡。第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)圖直線插補(bǔ)軌跡過程實(shí)例表5-1直線插補(bǔ)運(yùn)算過程第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)2.圓弧插補(bǔ)偏差計(jì)算

設(shè)圓弧圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓弧起點(diǎn)A（Xs，Ys），終點(diǎn)B（Xe，Ye）。設(shè)圓上任意一點(diǎn)為（x，y），則下式成立：第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)取偏差函數(shù)F為：若F>0，則動(dòng)點(diǎn)位于圓弧外側(cè)。若F=0，則動(dòng)點(diǎn)在圓弧上。若F<0,則動(dòng)點(diǎn)在圓弧內(nèi)側(cè)。設(shè)第一象限動(dòng)點(diǎn)的F值為，則若動(dòng)點(diǎn)沿-x方向走一步后，則：

若動(dòng)點(diǎn)沿+y方向走一步后，則：動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)值第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)（3）終點(diǎn)判別

圓弧插補(bǔ)終點(diǎn)判別與直線插補(bǔ)終點(diǎn)判別方法同。（2）進(jìn)給

第一象限逆圓偏差判別函數(shù)F與進(jìn)給方向的關(guān)系如下：，沿-x方向走一步：F<0，沿+y方向走一步：第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)（4）圓弧插補(bǔ)軟件流程圖例3-2現(xiàn)欲加工第一象限逆圓弧AB，如圖所示，起點(diǎn)A（5，0），終點(diǎn)B（0，5），試用逐點(diǎn)比較法進(jìn)行插補(bǔ)。

圓弧插補(bǔ)過程：3.象限處理與坐標(biāo)變換（1）直線插補(bǔ)的象限處理對(duì)于第二象限的直線，x的進(jìn)給方向與第一象限不同，在偏差計(jì)算中只要將xe、ye取絕對(duì)值，代入第一象限的插補(bǔ)公式即可插補(bǔ)運(yùn)算。第三、第四象限也是一樣。所以不同象限的直線插補(bǔ)共用一套公式，所不同的是進(jìn)給方向不同。四個(gè)象限各軸插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)方向如下圖所示：圖5-8四象限直線偏差符號(hào)和進(jìn)給方向第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)圖5-9四個(gè)象限圓弧進(jìn)給方向（2）圓弧插補(bǔ)的象限處理

YYNR2NR1SR2SR1

XX

NR3NR4SR3SR4

a)逆圓弧b)順圓弧第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)圓弧插補(bǔ)計(jì)算過程：參：表5-3xy平面內(nèi)圓弧和直線插補(bǔ)的進(jìn)給與偏差計(jì)算第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)（3）圓弧自動(dòng)過象限

圓弧過象限，即圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)不在同一象限內(nèi)。若坐標(biāo)采用絕對(duì)值進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，應(yīng)先進(jìn)行過象限判斷，當(dāng)X＝0或Y＝0時(shí)過象限。需將圓弧分成兩段圓弧，到X＝0時(shí)，進(jìn)行處理，對(duì)應(yīng)調(diào)用插補(bǔ)程序。（4）坐標(biāo)變換第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)

6.逐點(diǎn)比較法合成進(jìn)給速度v逐點(diǎn)比較法的特點(diǎn)：脈沖源每發(fā)出一個(gè)脈沖，就進(jìn)給一步，不是發(fā)向X軸，就是發(fā)向Y軸。

fMF為脈沖源頻率(Hz)(1/s)，fx，fy分別為X軸和Y軸進(jìn)給頻率(Hz)

X軸和Y軸的進(jìn)給速度(mm/min)：

合成進(jìn)給速度：

式中，若fx=0或fy=0時(shí)，也就是刀具沿平行于坐標(biāo)軸的方向切削，這時(shí)對(duì)應(yīng)切削速度最大，相應(yīng)的速度稱為脈沖源速度vMF（脈沖源速度與程編進(jìn)給速度相同）。合成進(jìn)給速度與脈沖源速度之比為：

由式可見：實(shí)際并非總是v=vMF：v與fMF、插補(bǔ)算法、零件輪廓的線型和α角有關(guān)。根據(jù)上式可作出v/vMF隨α變化的曲線。如圖3-14所示，v/vMF=0.707～1，vmax/vmin=1.414，一般機(jī)床來講可以滿足要求，認(rèn)為逐點(diǎn)比較法的進(jìn)給速度是比較平穩(wěn)的。

v/vMF

1

0.707

O450900α

圖3-14逐點(diǎn)比較法進(jìn)給速度DDA合成進(jìn)給速度二、數(shù)字積分法DDA基本原理：如圖所示，設(shè)有一函數(shù)Y＝f(t)，求此函數(shù)在t0~tn區(qū)間的積分，就是求出此函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)t在區(qū)間（t0，tn）所圍成的面積。如果將橫坐標(biāo)區(qū)間段劃分為間隔為t的很多小區(qū)間，當(dāng)t取足夠小時(shí)，此面積可近似地視為曲線下許多小矩形面積之和。

YY=f(t)

Yi

△t

t0t1ti+1tnt在數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，取t為基本單位“1”，則上式可簡(jiǎn)化為：

YY=f(t)

Yi

△t

t0t1ti+1tnt二、數(shù)字積分法1.DDA直線插補(bǔ)(1)插補(bǔ)原理設(shè)有一直線OE，起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為。分別表示動(dòng)點(diǎn)在x、y軸方向的速度，根據(jù)積分原理，在x、y軸方向的微小位移增量為：

v對(duì)于直線函數(shù)來說，滿足下式：其中：二、數(shù)字積分法動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)走向終點(diǎn)的過程，可以看作是各坐標(biāo)軸每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間間隔，分別以增量同時(shí)累加的過程。v因此坐標(biāo)軸的位移增量為：返回第40頁1.DDA直線插補(bǔ)X被積函數(shù)寄存器kxeX積分累加器y積分累加器y被積函數(shù)寄存器kye++X軸溢出脈沖y軸溢出脈沖xy平面直線插補(bǔ)原理圖如下：返回第42頁1.DDA直線插補(bǔ)假設(shè)取=1，經(jīng)過n次累加后x和y分別或同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，則下式成立：n是累加次數(shù)，取整數(shù)，k取小數(shù)。即先將直線終點(diǎn)坐標(biāo)Xe，Ye縮小到kXe，kYe，然后再經(jīng)n次累加到達(dá)終點(diǎn)。另外還要保證沿坐標(biāo)軸每次進(jìn)給脈沖不超過一個(gè)，保證插補(bǔ)精度，應(yīng)使下式成立其中：1.DDA直線插補(bǔ)如果存放Xe，Ye寄存器的位數(shù)是N，對(duì)應(yīng)最大允許數(shù)字量為故有：為使上式成立，不妨取代入得

所以：因此，累加次數(shù)為：(2)終點(diǎn)判別：總累加次數(shù)n=2N，每累加一次減1直至為0，每次累加均進(jìn)行終點(diǎn)判別。1.DDA直線插補(bǔ)

DDA直線插補(bǔ)軟件流程初始化:+x走一步+y走一步溢出？入口YYNN溢出？出口T5-16DDA直線插補(bǔ)軟件流程（P128）例5-3：設(shè)有一直線OA，起點(diǎn)在坐標(biāo)系原點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，6），試用DDA法直線插補(bǔ)此直線。YA(4,6)XYA(4,6)X解：Jx=4、Jy=6選擇寄存器位數(shù)N=3，則累加次數(shù)vv2.數(shù)字積分法圓弧插補(bǔ)(1)插補(bǔ)原理第一象限圓弧AE，半徑為R，起點(diǎn)為A（xs，ys），終點(diǎn)為E（xe，ye）。N（xi，yi）為圓弧上任意動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的速度為v，則在兩個(gè)坐標(biāo)方向的分速度為vx，vy。如下圖所示，圓弧的方程為：動(dòng)點(diǎn)N的分速度為：

當(dāng)V恒定時(shí)，則有：?jiǎn)挝粫r(shí)間，x、y位移增量為：取累加器容量為，則各坐標(biāo)的位移量為：比較（2）終點(diǎn)判別：兩軸達(dá)到終點(diǎn)的時(shí)間不同，分別判斷，每進(jìn)給一次減1。X軸所需進(jìn)給次數(shù)：Y軸所需進(jìn)給次數(shù)：xy平面圓弧插補(bǔ)原理框圖：X積分累加器Y積分累加器時(shí)鐘脈沖X向溢出脈沖Y向溢出脈沖插補(bǔ)運(yùn)算開始，累加器清零，X寄存器存放Y坐標(biāo)。Y寄存器存放X坐標(biāo)。X方向有溢出時(shí)，要在寄存器中減1，Y方向有溢出時(shí)，要在寄存器中加1。比較N

DDA圓弧插補(bǔ)軟件流程：初始化:-x走一步+y走一步溢出？進(jìn)給了△x?入口YYNN溢出？出口

NY

進(jìn)給了△y?

YYNN（1）圓弧插補(bǔ)中被積函數(shù)寄存器存放的坐標(biāo)值與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸積分器的關(guān)系恰好相反,即（2）圓弧插補(bǔ)中被積函數(shù)是變量，直線插補(bǔ)的被積函數(shù)是常數(shù)。（3）圓弧插補(bǔ)終點(diǎn)判別需采用兩個(gè)終點(diǎn)計(jì)數(shù)器。對(duì)于直線插補(bǔ)，如果寄存器位數(shù)為n，無論直線長(zhǎng)短都需迭代2n次到達(dá)終點(diǎn)。DDA圓弧插補(bǔ)與直線插補(bǔ)的主要區(qū)別為：2B(0,5)例：設(shè)有第一象限逆圓弧AB，起點(diǎn)為A（5，0），終點(diǎn)為B（0，5），設(shè)寄存器位數(shù)為3。試用DDA法插補(bǔ)此圓弧。表5-5DDA圓弧插補(bǔ)運(yùn)算過程（P132）圖DDA圓弧插補(bǔ)實(shí)例24返回第6頁3.數(shù)字積分法插補(bǔ)的象限處理圓弧插補(bǔ)時(shí)被積函數(shù)是動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，在插補(bǔ)過程中要進(jìn)行修正，坐標(biāo)值的修改要看動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是使該坐標(biāo)絕對(duì)值是增加還是減少，來確定是加1還是減1。

四個(gè)象限直線和圓弧插補(bǔ)的坐標(biāo)修改及進(jìn)給方向如下表所示表5-6不同象限的脈沖分配及坐標(biāo)修正（P132）4.DDA插補(bǔ)的合成進(jìn)給速度及穩(wěn)速控制（1）合成進(jìn)給速度

數(shù)字積分法的特點(diǎn)：脈沖源每產(chǎn)生一個(gè)脈沖，x、y軸均作一次累加計(jì)算，超過寄存器容量時(shí)，溢出則進(jìn)給。例如插補(bǔ)直線：

各坐標(biāo)的進(jìn)給速度(mm/min)：式中：fMF—脈沖源頻率

Hz(1/s)fx，fy—X，Y方向的平均

進(jìn)給頻率上式可見：

若脈沖源頻率fMF不變，則v與有關(guān)。即L越大，v越大，脈沖溢出越快，走刀塊，否則相反。若L=(1～2N),則v的變化范圍為(0～1)vMF,這是實(shí)際加工決不允許的。

合成進(jìn)給速度為:式中：L—被插補(bǔ)直線長(zhǎng)度；若插補(bǔ)圓弧，L為圓弧半徑R。4.DDA插補(bǔ)的合成進(jìn)給速度及穩(wěn)速控制1)按進(jìn)給速度率數(shù)FRN代碼編程（2）穩(wěn)速控制令FRN=v0/L，由得故可按FRN來調(diào)整fMF，使v=v0，達(dá)到勻速的目的。使v=v0

4.DDA插補(bǔ)的合成進(jìn)給速度及穩(wěn)速控制規(guī)格化數(shù)：直線插補(bǔ)時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)寄存器JVx、JVy中所存放的數(shù)值xe、ye的最高位為1時(shí)，稱為規(guī)格化數(shù)，反之，若最高位為零，稱為非規(guī)格化數(shù)?！白笠埔?guī)格化”：將被積函數(shù)寄存器JVx、JVy中存放的數(shù)值各位循環(huán)左移，直至最高位為1，右邊各位填補(bǔ)0的過程。直線插補(bǔ)左移規(guī)格化數(shù)的處理方法：將X軸與Y軸被積函數(shù)寄存器里的數(shù)值同時(shí)左移（最低位移入零），直到其中之一最高位為1時(shí)為止。2)左移規(guī)格化4.DDA插補(bǔ)的合成進(jìn)給速度及穩(wěn)速控制若被積函數(shù)左移n位成為規(guī)格化數(shù)，其函數(shù)值擴(kuò)大2n倍，為了保持溢出的總脈沖數(shù)不變，就要減少累加次數(shù)。（終點(diǎn)判別計(jì)數(shù)器右移，使終點(diǎn)計(jì)數(shù)器JE使用長(zhǎng)度減少n位，實(shí)現(xiàn)累加次數(shù)減少的目的）。

如果直線終點(diǎn)坐標(biāo)為（10，6），寄存器與累加器位數(shù)是8，其規(guī)格化前后情況如下所示：

規(guī)格化前規(guī)格化后

Xe=00001010Xe=10100000

Ye=00000101Ye=01010000

JE=00001111