32立體幾何中的向量方法(平行垂直、夾角距離)課件

3.2立體幾何中的向量方法----直線的方向向量與平面的法向量一、點(diǎn)、直線、平面的位置的向量表示點(diǎn)●O●P基點(diǎn)空間中任意一點(diǎn)P的位置可用向量表示直線●A●Pl點(diǎn)A和不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出l上的任意一點(diǎn)P。平面O●P點(diǎn)O和、不僅可以確定平面的位置，還可以具體表示出

內(nèi)的任意一點(diǎn)P。平面法向量：若，則叫做平面的法向量?！馎過(guò)點(diǎn)A，以為法向量的平面是完全確定的二、線線、線面、面面間的位置關(guān)系與向量運(yùn)算的關(guān)系探究1：平行關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線平行線面平行面面平行點(diǎn)擊點(diǎn)擊點(diǎn)擊探究2：垂直關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線垂直線面垂直面面垂直點(diǎn)擊點(diǎn)擊點(diǎn)擊探究3：夾角設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線夾角線面夾角面面夾角點(diǎn)擊點(diǎn)擊點(diǎn)擊三、簡(jiǎn)單應(yīng)用練習(xí)1：設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)，m的位置關(guān)系：練習(xí)2：設(shè)平面

，的法向量分別為

，，根據(jù)下列條件判斷，的位置關(guān)系：四、課堂小結(jié)1、點(diǎn)、直線、平面的位置的向量表示2、線線、線面、面面間的位置關(guān)系的向量表示五、思考lmllmllmlmll3.2立體幾何中的向量方法（2）----空間角與距離的計(jì)算舉例一、復(fù)習(xí)二、講授新課1、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”。

（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問(wèn)題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形問(wèn)題）2、例題

例1：如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，設(shè)化為向量問(wèn)題依據(jù)向量的加法法則，進(jìn)行向量運(yùn)算所以回到圖形問(wèn)題這個(gè)晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的倍。思考：（1）本題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？

（2）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于,那么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)。

（3）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？（提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距離回歸圖形點(diǎn)面距離向量的模解：∴所求的距離是練習(xí):

如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長(zhǎng)都是1，點(diǎn)D，E分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，計(jì)算DE的長(zhǎng)。OABCDE圖2

例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長(zhǎng)為,AB的長(zhǎng)為。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問(wèn)題根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行向量運(yùn)算于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫(kù)底與水壩所成的二面角。因此ABCD圖3所以回到圖形問(wèn)題庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為

例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長(zhǎng)為,AB的長(zhǎng)為。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。思考：

（1）本題中如果夾角可以測(cè)出，而AB未知，其他條件不變，可以計(jì)算出AB的長(zhǎng)嗎？ABCD圖3分析：∴可算出AB的長(zhǎng)。

（2）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？

分析：如圖，設(shè)以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為，三條棱長(zhǎng)分別為各棱間夾角為。A1B1C1D1ABCD

（3）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形

解：如圖，在平面AB1

內(nèi)過(guò)A1

作A1E⊥AB于點(diǎn)E，EF在平面AC內(nèi)作CF⊥AB于F?！嗫梢源_定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值。練習(xí)：

（1）如圖4，60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長(zhǎng)。B圖4ACD

（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1圖5

如圖6，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且。（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求二面角的正切值。O’C’B’A’OABCEF圖6思考：小結(jié)：用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”。作業(yè)：課本P121

第2、4題面面距離回歸圖形點(diǎn)面距離向量的模二面角平面角向量的夾角回歸圖形3.2立體幾何中的向量方法（3）xxz----利用向量解決平行與垂直問(wèn)題一、復(fù)習(xí)1、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”

（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問(wèn)題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形問(wèn)題）2、平行與垂直關(guān)系的向量表示（1）平行關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線平行線面平行面面平行點(diǎn)擊點(diǎn)擊點(diǎn)擊

（2）垂直關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線垂直線面垂直面面垂直點(diǎn)擊點(diǎn)擊點(diǎn)擊二、新課

（一）用向量處理平行問(wèn)題（二）用向量處理垂直問(wèn)題（一）用向量處理平行問(wèn)題ADCBEFNMADCBEFNM評(píng)注：向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以證明線面平行問(wèn)題。本題用的就是向量法。XYZXYZ評(píng)注：由于三種平行關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化，所以本題可用邏輯推理來(lái)證明。用向量法將邏輯論證轉(zhuǎn)化為問(wèn)題的算法化，在應(yīng)用向量法時(shí)需要合理建立空間直角坐標(biāo)系，方能減少運(yùn)算量。本題選用了坐標(biāo)法。（二）用向量處理垂直問(wèn)題DACBBCDAFEXYZDACBBCDAFEXYZDACBBCDAFEXYZ評(píng)注：本題若用一般法證明，容易證A’F垂直于BD，而證A’F垂直于DE，或證A’F垂直于EF則較難，用建立空間坐標(biāo)系的方法能使問(wèn)題化難為易。向量法坐標(biāo)法三、小結(jié)利用向量解決平行與垂直問(wèn)題向量法：利用向量的概念技巧運(yùn)算解決問(wèn)題。坐標(biāo)法：利用數(shù)及其運(yùn)算解決問(wèn)題。

兩種方法經(jīng)常結(jié)合起來(lái)使用。ABCDMXYZ四、作業(yè)

1.ABCDMXYZ1.作業(yè)：2.課本p.116第2題。Bye－bye!lmllml3.2立體幾何中的向量方法（4）xxz----坐標(biāo)法中解方程組求向量的有關(guān)問(wèn)題一、復(fù)習(xí)1、單位向量，平面的法向量

（1）單位向量－－模為1的向量。

（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。2、坐標(biāo)法

例1，如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，求證：平面A1BC1的法向量為直線DB1的方向向量.二、講授新課分析：（1）建立空間坐標(biāo)系；（2）用坐標(biāo)表示向量（3）設(shè)平面A1BC1的方向向量為n=(x,y,z)，由下列關(guān)系列方程組求x,y,z.（4）證明向量n//思考：有更簡(jiǎn)單的方法嗎？2分析：二面角的范圍：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍設(shè)平面2F1F2F3ACBO500kgF1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxy三、練習(xí):

1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分別為AB1、PQ