2021-2022學(xué)年高二人教A版數(shù)學(xué)選修1-1練習(xí)：九 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

九橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)全面練（20分鐘35分）

1如果橢圓荒+圣=1上一點(diǎn)M到此橢圓一個(gè)焦點(diǎn)R的距離為2,

o1ZD

N是MFi的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段ON的長(zhǎng)為（）

3

A.2B.4C.8D.~

選C.設(shè)橢圓蓋+條=1的另一個(gè)焦點(diǎn)為F2,

o1

因?yàn)閍2=81,所以a=9,

因?yàn)閨MF1|=2,

所以IMF2I=2a-|MFi|=18-2=16,

所以|ON|二；IMF2I=8.

2.已知橢圓的焦點(diǎn)為（-1,0）和（1,0）,點(diǎn)P（2,0）在橢圓上，則橢

圓的方程為（）

X2x2

A.4+3=1B.a+y2=1

x2丫2

C-4+T=1D.:+x2=1

選A.由已知c=1,a=2,所以b2=a2-c2=3.

所以橢圓的方程為?=1.

3.已知一BC的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(-4,0),B(4,0),△ABC的周

長(zhǎng)為18,則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()

X?y2y2yr2

A-25+9=1B-25+~9=1(丫和)

X2*5V2X2V2

C.諱+9=l(y^0)0.而+9=l(y#0)

選D.頂點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離和為18-8=10>8,由橢圓的定

義可得軌跡方程.

4.已知橢圓的方程為+*=1,焦點(diǎn)在x軸上，m的取值范圍是

由橢圓的方程為+4=1,焦點(diǎn)在x軸上，可得0<m2<16,所以

-4<m<0或0<m<4.

答案：(-4,0)U(0,4)

5.已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與x軸的一個(gè)交

點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

fa+c=3,fa=2,

由題意可得彳所以彳

[a-c=1.[c=1.

故62=22二2=3,所以橢圓方程為\=1.

答案：弓+?=1

6.設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為

4

PD上一點(diǎn)，且|MD|二m|PD|.

當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y）,P的坐標(biāo)是（XP,yP）,

4

因?yàn)辄c(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn),且|MD|二弓|PD|,

所以xP=x,HyP=1y.

因?yàn)镻在圓x2+y2=25±,

所以x2+閔2=25,整理得||+%=1,即點(diǎn)M的軌跡C的方

程是會(huì)+條=】?

綜合突破練（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.已知橢圓亨+手=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,則這個(gè)橢圓的方程

d乙

是（）

AX2￡,x2y2

A.+2=1B.y+2=1

V2X2V2

2

C.x+*277=1D.6+20=1

選D.橢圓等+?=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,

d乙

則橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，且C=2,

因?yàn)閎2=2,所以a2=b2+c2=2+4=6,

所以橢圓的方程是看=1.

2設(shè)，野方程x?sina+y2cosa=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

則a的取值范圍是()

A.(0mB.(0,￡

C-{4,V。?吊方

選C.由題意可知看〈羨，

所以sina>cosa>0,

又因?yàn)閍￡(0,(|，解得*常.

3.已知Fi(-1,0),F2(l,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),過F2且垂直于x

軸的直線交橢圓C于AB兩點(diǎn)目|AB|=3，則橢圓C的方程為()

x2x2v2

A.y+y2=1B.y+=1

C.f+9=1D,f+?=1

22

選C.設(shè)橢圓的方程為x矣+言v=l(a>b>0),

令x=c,則y=,由|AB|=3,得平=3,①，

又a?-b?=c?=1,②

聯(lián)立①②得a2=4,b2=3.

所以橢圓的方程為?+f=1.

4.(2021.貴陽(yáng)高二檢測(cè))是“方程----+=2表示橢

m-15-m

圓”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

選B.若方程表示橢圓，

m-1>0,

則有<5-m>0,因此l<m<5且m#3,

、m-1^5-m,

故是“方程上+一匕=2表示橢圓”的必要不充分條件.

m-15-m

x2

5.已知橢圓C：￡+y2=l的焦點(diǎn)F(1,0),直線l：x=2,點(diǎn)A日,

線段AF交C于點(diǎn)B,若FA=3Ffi，則舒|=()

選C設(shè)A(2,yo),B(Xl,yi),

FA=(1,yo),FB=(X|-1,yi),

由蟲=3FB,BP(1,yo)=3(xi-1,yi),

f4

Xl=3,

所以<,又點(diǎn)B在橢圓C上，

lvy,-_y3o，

(4)22

所以A-+管)2=1,解得yo=±l,

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,±1),

所以I麗=\l(2-1)2+(±1-0)2地.

二、填空題(每小題5分，共15分)

—X2V2

6.已知R,F2是橢圓C：記+g=l(a>b〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓

C上的一點(diǎn)，且PF1±PF2,若VF1F2的面積為9,則b=.

因?yàn)镻F1±PF2,

所以PF1±PF2,

因止匕|PF1F+|PF2|2二|RF2|2.

即(|PFI|+|PF2|)2-2|PF]HPF2|

=IF1F2I2,

所以(2a)2-2|PBHPF2|=(2c)2,

因止匕|PFiHPF2|=2b2.

2

fiS△PFiF2=1|PFi|.|PF2|=b=9,所以b=3.

答案：3

7.已知橢圓方程會(huì)+f=1中，B,F2分別為它的兩個(gè)焦點(diǎn)，則下

列說法正確的為.(填序號(hào))

①焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)為(±4,0);

②若橢圓上的一點(diǎn)P到R的距離為6,則P到F2的距離為4；

③a=5,b=3,c=4.

由橢圓方程：福+三=1,

則a=5,b=3,c=4,故③正確；

由標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上，知其坐標(biāo)為(±4,0),①正確；由橢圓的

定義可得|PB|+|PF2|=2a=10,②正確.

答案：①②③

8.設(shè)P是橢圓5+三=1上一點(diǎn),Fi,F2是其左、右兩焦點(diǎn)，若

|PFI|-|PF2|=8，貝!J|OP|=.

由已知，|PFI|+|PF2|=6,

2

兩邊平方得|PF1|2+2|PF1|-|PF2|+|PF2|=36.

因?yàn)閨PF】HPF2|=8,

所以|PBF+|PF2|2=20以PF1,PF2為令B邊作平行四邊形，

則IOPI正好是該平行四邊形對(duì)角線長(zhǎng)的一半.由平行四邊形的性質(zhì)

知，平行四邊形對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于四邊長(zhǎng)的平方和，

即(2|OP|)2+(2c)2=2(|PF1|2+IPF2I2).

所以4|OP|2+(2x2)2=2x20,所以|OP|=#.

答案：加

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F,(-4,0)和F2(4,0),且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(5,

0)；

方法一(定義法)：由已知，c=4,

2a=|PFi|+|PF2|

=4(5+4)2+0+-\j(5-4)2+0=10,即a=5,

所以b2=a2-c2=25-16=9.

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

方法二(待定系數(shù)法)：由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，

所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為\+(=l(a>b>0).

由題意得a=5,c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為祭+曾“

ZJy

(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；

由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為*=l(a>b>0).

所以a=2,b=1.

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+x2=l.

(3)經(jīng)過點(diǎn)A(4,-2)和點(diǎn)2-2小,1).

方法一：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為|+'=l(a

'(S)2(-2-

a2+b2-1，|a2=15,

>b>0),則1廠解得4

(-2小產(chǎn)i[b2=5.

I——+京

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

丫2X2

%=l(a>b>0),則

「(-21(小產(chǎn)

+b2=1，

1(-2^3)2

^二1，

a2=5,

解得

b2=15,

因?yàn)閍>b>0,所以無解.

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為fl=1.

方法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=l(m>0,n>0,m,n),則

J3m+4n=1,

[12m+n=1,

f1

m=15，

解得i

?=5,

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+?二L

10.已知點(diǎn)P(6,8)是橢圓點(diǎn)+$=l(a>b>0)上一點(diǎn),Fi,F?為橢圓

的兩焦點(diǎn)，若PF「PF2=0.試求

(1)橢圓的方程.

因?yàn)镻FrPF2=0,

所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,

所以Fi(-10,0),F2(10,0),

所以2a=|PFi|+|PF2|

(6+10)2+82+'(6-10)2+82=12小，

所以a=6巾,b2=80.

所以橢圓方程為喘+總=1.

(2)sinNPF1F2的值?

如圖所示,

過點(diǎn)P作PMJ_x軸，垂足為M,

則|PM|=8,|FiM|=10+6=16,

所以|PB|=A/|PM|2+|F,M|2

=,8?+16?=8小，

而'J?/ppp『Ml8下

所以smNPFRw;彈=5-

創(chuàng)新遷移練

1?古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率

等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，

焦點(diǎn)Fi,F2均在x軸上，C的面積為2^3兀,過點(diǎn)Fi的直線交C于

點(diǎn)A,B,且△ABF2的周長(zhǎng)為8.則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2

A.j+y=1B.j+4=1

x2x24^2.

C-4+3=1D-16+3=1

選C.因?yàn)锳ABF2的周長(zhǎng)為8,

所以AB+AF2+BF2—8nAFi+BFi+AF2+BF2—8n(AFi+AF2)+

(BFi+BF2)=8,

由橢圓的定義可知：AFi+AF2=2a,BF.+BF2=2a,

所以2a+2a=8na=2,

由題意可得：ab兀=25n,解得b二4,

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為'+￡=L

2.設(shè)R,F2分別是橢圓亍+y2=l的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓上的點(diǎn)

且坐標(biāo)為(0,-1).

⑴若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求IPBHPF2的最大值.

2

因?yàn)闄E圓的方程為x點(diǎn)+y2=l,

所以a=2,b=1,c=小，即|FF2|二2小,

又因?yàn)閨PFi|+|PF2|=2a=4,

|PF||+|PF|

所以IPF1HPF252

2

當(dāng)且僅當(dāng)|PB|二|PF2|=2時(shí)取"二”，

所以PFMPF2的最大值為4.

⑵若C為橢圓上異于B的一點(diǎn)，且B耳二九CE,求X的值.

設(shè)C(xo,yo),B(O,-1),R(-小,0),

.—.—?/口)3(1-人)1

由BF；=入C￡得xo=,yo=-.

1-^3(1-X)12

又答+yo=1，所以\+(-32=1,

化簡(jiǎn)得X2+6X-7=0,

解得X=-7或入=1,

因?yàn)辄c(diǎn)C異于點(diǎn)B,所以X=-7.

⑶設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)