重難點11全等三角形中“手拉手”模型（解析版）

重難點11全等三角形中“手拉手”模型【知識梳理】【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；【考點剖析】例1、如圖，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，點D為AB邊上的一點.若DE=13，BD=12，求線段AB的長.∵△ACE≌△BCD∴AE=BD,∠EAC=∠B=45°∵BD=12∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5∴AB=BD+AD=12+5=17【變式1】某校八年級數(shù)學興趣小組的同學在研究三角形時，把兩個大小不同的等腰直角三角板按圖①所示放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請找出圖②中的全等三角形，并給予說明（說明：結(jié)論中不得含有未標識的字母）；（2）試說明：DC與BE的位置關(guān)系．【解答】解：（1）△BAE≌△CAD，理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD在△BAE和△CAD中，BA=BC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CAD（SAS）；（2）DC⊥BE，理由如下：∵△BAC為等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵△BAE≌△CAD，∴∠CAD＝∠B＝45°，∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°，∴DC⊥BE．【變式2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連結(jié)AE,BD交于點O,AE與DC交于點0，AE與DC交于點M,BD與AC交于點N.解析:∵△ACB和△DCE都是等腰三角形∠ACB=∠DCE=90°∴AC=BC,DC=EC∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD∴∠BCD=∠ACE在△ACE和△BCD中AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD∴△ACE≌△BCD(SAS)∴AE=BD例2.已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與點B,點C重合）.以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE.如圖1，當點D在邊BC上時，求證：△ABD≌△ACE;直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立（不需要證明）；如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.解析：(1)∵△ABC和△ADE是等邊三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∵△ABD≌△ACE∴BD=CE∵BC=BD+CD∴BC=CE+CD（2）∵△ABC和△ADE是等邊三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∵BD=BC+CD∴CE=BC+CD【變式1】如圖，點C在線段AB上，△DAC和△DBE都是等邊三角形，求證：△DAB≌△DCE;DA∥EC.解析：（1）△DAC和△DBE都是等邊三角形.∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°.∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,（重點）即∠ADB=∠CDE在△DAB和△DCE中，DA=DC∠ADB=∠CDEDB=DE∴△DAB≌△DCE.（2）∵△DAB≌△DCE∴∠A=∠DCE=60°∵∠ADC=60°∴∠DCE=∠ADC∴DA∥EC.【變式2】如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求證：AC＝BD．（2）求∠APB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OC∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∵∠OAC+∠BAC＝∠OAB，∠ABO+∠OBD＝∠ABP，∴∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠PAB+∠PBA＝120°，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣120°＝60°．例3、已知，在△ABC中，AB＝AC，點P平面內(nèi)一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP＝∠BAC，連接BQ、CP，⑴若點P在△ABC內(nèi)部，求證BQ＝CP；⑵若點P在△ABC外部，以上結(jié)論還成立嗎？解析：（1）∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋轉(zhuǎn)得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP（2）∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋轉(zhuǎn)得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP【過關(guān)檢測】一．選擇題（共4小題）1．（2023春?安岳縣期末）如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，則∠BAD為（）A．77° B．62° C．57° D．55°【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠D＝∠B＝28°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EAD，進而求出∠BAD．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝28°，∴∠D＝∠B＝28°，∴∠EAD＝180°﹣∠E﹣∠D＝180°﹣95°﹣28°＝57°，∴∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝57°+20°＝77°，故選：A．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?駐馬店期末）如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，點B、D、E在一條直線上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝（）A．55° B．50° C．45° D．60°【分析】求出∠BAD＝∠EAC，證△BAD≌△EAC，推出∠2＝∠ABD＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△BAD≌△EAC．3．（2022春?吉州區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于點F，有下列四個結(jié)論：①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正確的結(jié)論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】先證明△ADC≌△ABE得到DC＝BE，則可對①進行判斷；利用全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC＝∠ABE，由于AB與AE不確定相等，所以∠ABE與∠AEB不確定相等，加上∠BDC＝45°﹣∠ADC，∠BEC＝45°﹣∠AEB，則可對②進行判斷；利用三角形內(nèi)角和證明∠BFD＝∠DAB＝90°，則可對③進行判斷；過A點作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如圖，利用全等三角形對應(yīng)邊上的高相等得到AM＝AN，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可對④進行判斷．【解答】解：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，所以①正確；∴∠ADC＝∠ABE，而AB與AE不確定相等，∴∠ABE與∠AEB不確定相等，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝45°，∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，∴∠BDC與∠BEC不確定相等，所以②錯誤；∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2，∴∠BFD＝∠DAB＝90°，∴DC⊥BE，所以③正確；過A點作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如圖，∵△ADC≌△ABE，∴AM＝AN，∴AF平分∠DFE，所以④正確．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．證明△ADC≌△ABE是解決問題的關(guān)鍵．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．4．（2022春?蘭州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC外一點，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點O，在BD上取一點E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．56° B．60° C．62° D．64°【分析】根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°，故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．二．填空題（共2小題）5．（2022秋?東阿縣校級月考）如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝15°，∠2＝25°，則∠3＝40°．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，再利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠2＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+15°＝40°．故答案為：40°．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE．6．（2022秋?潮安區(qū)期末）如圖，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，則下列結(jié)論正確的是：①②④．（填序號）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【分析】根據(jù)已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，想到構(gòu)造一個等腰三角形，所以延長CD，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交CD的延長線于點F，則BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再證明△FAB≌△CEB，就可以判斷出BC平分∠DCE，再由角平分線的性質(zhì)想到過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，從而證明△ABD≌△EBG，即可判斷．【解答】解：延長CD，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交CD的延長線于點F，則BF＝BC，過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，∵∠DBC＝∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CEB（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正確；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正確；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③錯誤；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正確；故答案為：①②④．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，必須根據(jù)已知結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）7．（2022秋?張店區(qū)校級期末）如圖，將△ABC繞點A順時旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點B的對應(yīng)點D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度數(shù)．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，進而推出∠ADE＝∠ADB，再根據(jù)AD＝CD得∠DAC＝∠C，由三角形外角性質(zhì)得∠ADB＝∠DAC+∠C，最后根據(jù)∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）即可求解．【解答】解：將△ABC繞點A順時旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠E＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，∴∠ADE＝52°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2022秋?海口期末）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D，∠MDN＝90°，將∠MDN繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AB、AC于點E、F.（1）求證：△BDE≌△ADF；（2）如圖2，若DM＝DN，連接BM、NA，求證：BM＝AN．【分析】（1）由題意可得△ABC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD＝AD，∠B＝∠DAF＝45°，再由同角的余角相等得∠BDE＝∠ADF，以此可通過ASA證明△BDE≌△ADF；（2）由（1）可知BD＝AD，∠BDM＝∠ADN，則可通過SAS證明△MBD≌△NAD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證BM＝AN．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵AD⊥BC，∴∠DAF＝45°，BD＝CD＝AD＝，∴∠B＝∠DAF＝45°，∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，∠ADE+∠ADF＝∠MDN＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）；（2）由（1）知，BD＝AD，∠BDM＝∠ADN，在△MBD和△NAD中，，∴△MBD≌△NAD（SAS），∴BM＝AN．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定三角形全等的方法是解題關(guān)鍵．9．（2023?定西模擬）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為60°；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為AD＝BE．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）易證∠ACD＝∠BCE，即可求證△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可求得AD＝BE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可求得∠AEB的大?。唬?）易證△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，進而可以求得∠AEB＝90°，即可求得DM＝ME＝CM，即可解題．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝60°；（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由：如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵點A、D、E在同一直線上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?臨淄區(qū)期末）閱讀與理解：如圖1，等邊△BDE按如圖所示方式設(shè)置．操作與證明：（1）操作：固定等邊△ABC，將△BDE繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，連接AD，CE，如圖2；在圖2中，請直接寫出線段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系．（2）操作：若將圖1中的△BDE，繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個角度α（60°＜α＜180°），連接AD，CE，AD與CE相交于點M，連BM，如圖3；在圖3中線段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？∠EMD的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．猜想與發(fā)現(xiàn)：（3）根據(jù)上面的操作過程，請你猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，∠DMB的度數(shù)大小是否會隨著變化而變化？請證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用SAS證明△EBC≌△DBA即可；（2）利用SAS證明△EBC≌△DBA，得EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案；（3）過點B作BH⊥AD于點H，BF⊥EC于點F，由（2）中全等知BH＝BF，則MB平分∠DMC，得∠DMB＝．【解答】解：（1）EC＝AD；∵將△BDE繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，∴∠ABD＝∠CBE，在△EBC和△DBA中，，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD；（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下：設(shè)AD與BE交于點O，∵將△BDE繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度，∴∠EBC＝∠DBA＝α，∵△ABC與△BDE是等邊三角形，∴BC＝AB，BD＝BE，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，∵∠EOM＝∠DOB，∴∠EMD＝∠EBD＝60°，（3）不變，理由如下：過點B作BH⊥AD于點H，BF⊥EC于點F，∵△EBC≌△DBA，∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC，∴BH＝BF，∴MB平分∠DMC，∴∠DMB＝，∴∠DMB的度數(shù)大小不變．【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定等知識，證明△EBC≌△DBA是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?重慶期末）△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如圖1，當D，B，C在同一直線時，CE的延長線與AD交于點F．求證：∠CFA＝90°；（2）當△ABC與△BDE的位置如圖2時，CE的延長線與AD交于點F，猜想∠CFA的大小并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當A，E，D在同一直線時（A，D在點E的異側(cè)），CE與AB交于點G，∠BAD＝∠ACE，求證：BG+AB＝AC．【分析】（1）證明△ABD≌△CBE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠BCE，由對頂角的性質(zhì)可得出答結(jié)論；（2）同理可證△ABD≌△CBE（SAS），得出∠BAD＝∠BCE，則可得出結(jié)論；（3）過點G作GH⊥AC于點H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，證出BG＝GH，證明Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出BC＝CH，則得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，又∵∠FEA＝∠BEC，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CFA＝90°．理由如下：同理可證△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（3）過點G作GH⊥AC于點H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠BCE，∵AB⊥BC，GH⊥AC，∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠AGH＝45°，∴GH＝AH，∴AH＝BG，在Rt△BCG和Rt△HCG中，，∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），∴BC＝CH，∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．【點評】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．12．（2022秋?長安區(qū)校級期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點B、D、