人教A版高中數(shù)學(選擇性必修第一冊)同步講義第20講 2.4.1圓的標準方程（含解析）

第07講2.4.1圓的標準方程課程標準學習目標①理解圓的定義及確定圓的幾何要素。②理解與掌握平面直角坐標系中圓的標準方程.。③會根據(jù)相關條件寫出圓的標準方程及圓的圓心，半徑。通過本節(jié)課的學習，了解與掌握確定圓的位置，大小的幾何要素，能根據(jù)相關條件求出圓的標準方程，并能解決與圓有關的問題.知識點01：圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標系中，SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為圓上任意一點，SKIPIF1<0可用集合表示為：SKIPIF1<0知識點02：圓的標準方程我們把方程SKIPIF1<0稱為圓心為SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0的圓的標準方程.【即學即練1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼礢KIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，若圓SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑，則圓SKIPIF1<0的標準方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意可知，圓心SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，縱坐標為SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，因此，圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.故選：A.知識點03：點與圓的位置關系判斷點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0位置關系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設SKIPIF1<0到圓心SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0則點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外②SKIPIF1<0SKIPIF1<0則點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上③SKIPIF1<0SKIPIF1<0則點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)（2）代數(shù)法將點SKIPIF1<0帶入SKIPIF1<0：SKIPIF1<0方程內(nèi)①點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外SKIPIF1<0SKIPIF1<0②點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0SKIPIF1<0③點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫出圓心為SKIPIF1<0,半徑為5的圓的標準方程,并判斷點SKIPIF1<0是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)？【答案】答案見解析【詳解】圓心為SKIPIF1<0,半徑為5的圓的標準方程是SKIPIF1<0．把點SKIPIF1<0的坐標代入方程SKIPIF1<0的左邊,得SKIPIF1<0,左右兩邊相等,點SKIPIF1<0的坐標滿足圓的方程,所以點SKIPIF1<0在這個圓上．把點SKIPIF1<0的坐標代入方程SKIPIF1<0的左邊,得SKIPIF1<0,左右兩邊不相等,點SKIPIF1<0的坐標不滿足圓的方程,所以點SKIPIF1<0不在這個圓上．又因為點SKIPIF1<0到圓心A的距離SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故點SKIPIF1<0在圓內(nèi)．知識點04：圓上的點到定點的最大、最小距離設SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的動點，點SKIPIF1<0為平面內(nèi)一點；記SKIPIF1<0;①若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外，則SKIPIF1<0;SKIPIF1<0②若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0;SKIPIF1<0③若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0;SKIPIF1<0【即學即練3】（2021秋·高二課時練習）已知圓SKIPIF1<0，則圓上的點到點SKIPIF1<0距離的最大值為_____.【答案】6【詳解】因為圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0,又圓心SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以圓上的點到點SKIPIF1<0的距離的最大值為SKIPIF1<0，故答案為：6題型01求圓的標準方程【典例1】（2023·高二課時練習）已知圓C：SKIPIF1<0，O為原點，則以SKIPIF1<0為直徑的圓方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由圓C：SKIPIF1<0可知圓心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0為直徑的圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，故所求圓的方程為：SKIPIF1<0.故選：D【典例2】（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則以PQ為直徑的圓的方程是______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0，即為圓心坐標，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0圓的半徑為SKIPIF1<0則所求圓的方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓心在SKIPIF1<0軸上，半徑為5，且過點SKIPIF1<0，則圓的標準方程為_______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【詳解】由題意，設圓的方程為SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在圓上，可得SKIPIF1<0，解得b＝0或b＝－8，所以所求圓的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式2】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）過三點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圓的圓心坐標為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設圓的方程為：SKIPIF1<0，代入點的坐標有：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圓的方程為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型02由圓的方程求圓心或半徑【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說法錯誤的是（

）A．圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為5B．圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0C．圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0D．圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】對于A：由圓SKIPIF1<0可得：圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，故選項A錯誤；對于B：由圓SKIPIF1<0可得：圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，故選項B錯誤，對于C：由圓SKIPIF1<0可得：圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，故選項C正確；對于D：由圓SKIPIF1<0可得：圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，故選項D錯誤，故選：ABD.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）對稱，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．4 D．8【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，依題意，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取“=”，所以SKIPIF1<0的最小值為9.故選：B.【變式1】（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學校考三模）已知直線SKIPIF1<0經(jīng)過圓SKIPIF1<0的圓心，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】D【詳解】因為直線SKIPIF1<0經(jīng)過圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立.故選：D【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線SKIPIF1<0過圓SKIPIF1<0的圓心，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【詳解】由題意得圓心為（1,1），因為直線SKIPIF1<0過圓心，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A題型03點與圓的位置關系【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知兩直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點在圓SKIPIF1<0的內(nèi)部，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則兩直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，依題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）點SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關系是（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0在圓內(nèi).故選：B【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）（多選）點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0的內(nèi)部，則SKIPIF1<0的取值不可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】由已知條件可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：AD.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0內(nèi)，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為____________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：由題意得SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0內(nèi)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0題型04與圓有關的最值問題【典例1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【詳解】過圓心C分別作直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形．由圓C：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，即SKIPIF1<0的最大值為1，故選：B.【典例2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）已知圓C過點SKIPIF1<0，當圓SKIPIF1<0到原點SKIPIF1<0的距離最小時，圓SKIPIF1<0的標準方程為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0可得線段SKIPIF1<0中點坐標為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0垂直平分線的方程為SKIPIF1<0，所以圓心C在線段SKIPIF1<0垂直平分線上，當圓C到原點O的距離最小時，則SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，所以圓心SKIPIF1<0,又半徑SKIPIF1<0,故圓的方程為：SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023春·廣西·高一校聯(lián)考階段練習）若復數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．7 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】復數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以復數(shù)SKIPIF1<0對應的點的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，2為半徑的圓，SKIPIF1<0的幾何意義為圓上的點與SKIPIF1<0的距離，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故選：C.【變式2】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在圓外，SKIPIF1<0．故選：D.題型05與圓有關的對稱問題【典例1】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知圓SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0.若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，則圓SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點是SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的圓心是SKIPIF1<0，半徑是SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023春·四川涼山·高二?？茧A段練習）若圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，則直線SKIPIF1<0的方程是___________【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，因為圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知圓SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0.若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，則圓SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，則圓心SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱可得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又兩圓半徑相等，故圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0故選：B【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑為2，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，則圓SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，所以圓SKIPIF1<0的圓心與點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，所以SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的半徑為2，所以圓SKIPIF1<0半徑為2，所以圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故選：C.題型06軌跡方程【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的一動點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0的軌跡方程是_______________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示，

設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①因為Q為AP的中點，所以SKIPIF1<0，②所以由①②得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，所以點Q的軌跡方程為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，則線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的軌跡方程是______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】

如圖所示，取OA中點D，連接DQ，則DQ為SKIPIF1<0的一條中位線，SKIPIF1<0，即有DQ∥OP，且SKIPIF1<0，故Q在以D為圓心，DQ長為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系SKIPIF1<0中，線段SKIPIF1<0，且兩個端點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上滑動．求線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的軌跡方程；【答案】SKIPIF1<0【詳解】設SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以點SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0．【變式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學校考階段練習）已知線段SKIPIF1<0的端點SKIPIF1<0的坐標是SKIPIF1<0，端點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，則線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的軌跡方程是__________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由已知可得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）已知圓心為SKIPIF1<0的圓經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且圓心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上.(1)求圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)設SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的一個動點，SKIPIF1<0為坐標原點，求SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的軌跡方程.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）設圓心C的坐標為SKIPIF1<0，半徑為r，∵圓心C在直線SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，∵圓C經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴圓心C的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圓C的標準方程為：SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵M為OP的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵P在圓C上，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴OP的中點M的軌跡方程為SKIPIF1<0.A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023春·上海徐匯·高二上海中學?？计谥校┮阎粋€圓的方程滿足：圓心在點SKIPIF1<0，且過原點，則它的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設圓的半徑為SKIPIF1<0，因為圓心是SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以半圓的方程為SKIPIF1<0，故選：D.2．（2023·北京海淀·?？既＃┤糁本€SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的一條對稱軸，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0是圓的一條對稱軸，所以圓心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A3．（2023春·四川南充·高二校考階段練習）圓SKIPIF1<0的圓心、半徑是（）A．SKIPIF1<0，4 B．SKIPIF1<0，2 C．SKIPIF1<0，4 D．SKIPIF1<0，2【答案】D【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0半徑SKIPIF1<0故選：D4．（2023春·新疆省直轄縣級單位·高二?？奸_學考試）已知點（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}【答案】A【詳解】由于（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內(nèi)部，所以點（1，1）到圓心（a，﹣a）的距離d＜2，即：SKIPIF1<0，整理得：﹣1＜a＜1.故選：A.5．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）圓SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱的圓的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱的點為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，因為關于直線對稱的兩個圓半徑相等，所以所求圓的半徑為2，所以所求圓方程為SKIPIF1<0，故選:C.6．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開學考試）在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結論，甲：該圓的半徑為SKIPIF1<0；乙：該圓經(jīng)過點SKIPIF1<0；丙：該圓的圓心為SKIPIF1<0；?。涸搱A經(jīng)過點SKIPIF1<0．如果只有一位同學的結論是錯誤的，那么這位同學是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【詳解】設SKIPIF1<0.假設甲錯誤，乙丙丁正確，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，矛盾，所以甲正確.假設乙錯誤，甲丙丁正確，由甲、丙正確可知圓的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不滿足上式，矛盾，所以乙正確.假設丙錯誤，甲乙丁正確.由乙丁得SKIPIF1<0，與半徑為SKIPIF1<0矛盾，所以丙正確.假設丁錯誤，甲乙丙正確，則由甲丙可知圓的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足上式，符合題意.綜上所述，結論錯誤的同學是丁.故選：D7．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知圓SKIPIF1<0，則過點SKIPIF1<0的直線l與圓C交于A，B兩點，則SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，所以半徑SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，當直線l與直線CP垂直時，所截得弦長AB最短．此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．8．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）已知復數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【詳解】設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0相當于圓SKIPIF1<0上的點到點SKIPIF1<0距離，所以SKIPIF1<0的最大值為圓心SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0距離與圓的半徑SKIPIF1<0的和，即SKIPIF1<0.故選：C.

二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0且半徑為2的圓的方程可以為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】因為圓過點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，所以圓心在線段AB的垂直平分線上，其中SKIPIF1<0，設圓心所在的直線為l，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0，所以直線l為SKIPIF1<0，設圓心坐標為SKIPIF1<0，因為半徑為2，所以圓的方程為：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，綜上圓的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：BC三、填空題10．（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0平分圓SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0互相平行，則SKIPIF1<0的距離是__________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因為直線SKIPIF1<0平分圓SKIPIF1<0，于是直線SKIPIF1<0過圓心SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0四、解答題11．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知點SKIPIF1<0求：(1)過點A，B且周長最小的圓的方程；(2)過點A，B且圓心在直線SKIPIF1<0上的圓的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵點SKIPIF1<0∴過點A，B且周長最小的圓，即以AB為直徑的圓，∵AB的中點SKIPIF1<0，故要求的圓的方程為SKIPIF1<0.（2）∵圓心在直線SKIPIF1<0上，設圓心為SKIPIF1<0∵圓過點A，B，∴DA＝DB，∴SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0∴圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0故要求的圓的方程為SKIPIF1<0．12．（2023秋·高一單元測試）已知圓SKIPIF1<0的圓心在SKIPIF1<0軸上，并且過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.(1)求圓SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上任意一點，定點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0的軌跡方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意可知，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中垂線方程為SKIPIF1<0，它與SKIPIF1<0軸的交點為圓心SKIPIF1<0，又半徑SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0B能力提升1．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）動直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分圓SKIPIF1<0的周長，則SKIPIF1<0的最小值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意，動直線SKIPIF1<0過圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標系內(nèi)，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．16【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可