空間向量與立體幾何知識(shí)梳理高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

空間向量與立體幾何知識(shí)梳理一．空間向量1.空間向量的有關(guān)概念：（1）空間向量的定義：。（2）表示方法①幾何表示法：空間向量用表示，若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作；②字母表示法：用字母，，，…表示。（3）長(zhǎng)度或模：空間向量的，記作。（4）零向量：記為，其方向是任意的或方向不確定。（5）單位向量：。（6）相反向量：與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為。（7）共線向量(平行向量)：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相，那么這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．規(guī)定零向量與任何向量平行，與共線的單位向量為.（8）相等向量：，相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合。與平行向量關(guān)系。（9）共面向量：一般地，能平移到的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。2.空間向量的加、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算（與平面向量運(yùn)算一樣）(1)向量加法的三角形法則：首尾相接,首尾連向量加法的平行四邊形法則：共起點(diǎn),對(duì)角線(2)向量減法的三角形法則，共起點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減向量推廣：；。(3)實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作：，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：=1\*GB3①,=2\*GB3②當(dāng)時(shí),的方向與的方向；當(dāng)時(shí),的方向與的方向.(4)運(yùn)算律：=1\*GB3①加法交換律：=2\*GB3②加法結(jié)合律：=3\*GB3③數(shù)乘結(jié)合律：λ(μ＝μ(λ)＝(λμ)．?dāng)?shù)乘分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ3.空間向量的有關(guān)定理（1）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（≠），//的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ。推論：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使。推論：對(duì)空間四點(diǎn)P，M，A，B四點(diǎn)共面的充要條件是=1\*GB3①eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；=2\*GB3②對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；=3\*GB3③對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；=4\*GB3④eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))，或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→))).（3）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。4.空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)O，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，其范圍是，若，則稱與互相垂直，記作：。(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量，則叫做的數(shù)量積，記作記作，即。(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：；②交換律：；③分配律：c.④不滿足乘法結(jié)合率：（4）投影向量：向量向向量投影，得到，向量稱為向量在向量上的投影向量。5.空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O—xyz，x軸、y軸、z軸，都叫做叫做坐標(biāo)軸，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量都叫做坐標(biāo)向量.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面，它們把空間分成八個(gè)部分。在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。對(duì)空間任一向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使=（x,y,z）（3）空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)，.向量表示坐標(biāo)表示兩向量和兩向量差數(shù)乘向量數(shù)量積共線垂直模夾角，注意：①若，，則。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②中點(diǎn)公式：若，，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)其坐標(biāo)為。③，三角形重心P坐標(biāo)為。④ΔABC中①<=>A為銳角；②<=>A為鈍角，鈍角Δ。二．空間向量與立體幾何1.直線的方向向量和平面的法向量⑴直線的方向向量：若A、B是直線l上的任意兩點(diǎn)，則為直線l的一個(gè)方向向量；與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.

⑵平面的法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：=1\*GB3①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．②設(shè)平面的法向量為．③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)．④根據(jù)法向量定義建立方程組.⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.2.用向量方法判定空間中的平行關(guān)系⑴線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。

⑵線面平行（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3.用向量方法判定空間的垂直關(guān)系

⑴線線垂直：設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。

⑵線面垂直：(法一)設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.②(法二)設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直：若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。

4、利用向量求空間角求異面直線所成的角:eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則=.⑵求直線和平面所成的角:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))OABOBlA求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：OABOBlA⑶求二面角:[0，π]二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝．如圖②③，分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角),根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角.5、利用法向量求空間距離⑴點(diǎn)P到直線距離若P為直線外的一點(diǎn),A在直線上,=,直線的方向向量為，則點(diǎn)P到直線距離為