（學生）2015年安徽中考數(shù)學專題復(fù)習第七講 一元二次方程及其應(yīng)用

PAGE2015年安徽中考數(shù)學專題復(fù)習第七講一元二次方程及其應(yīng)用新課標解讀一、新增內(nèi)容：1、會用一元二次方程根的判別式判斷方程是否有實數(shù)根和兩個實數(shù)根是否相等；2、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；二、調(diào)整內(nèi)容：2011版新課標2001課標（實驗版）能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；知識要點一、一元二次方程的定義1、一元二次方程：只含有個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是的整式方程。2、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)其中二次項是，一次項是，是常數(shù)項，a、b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)?！久麕熖嵝眩?、在一元二次方程的一般形式要特別注意強調(diào)a≠0這一條件；2、將一元二次方程化為一般形式時要按二次項、一次項、常數(shù)項排列，并一般首項為正。3、一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2?！慷?、一元二次方程的常用解法1、直接開平方法：（形如（n≥0）的方程）如果ax2=b，則x2=，x1=；x2=；2、配方法：（可化為（n≥0）形式的方程）解法步驟：（1）化二次項系數(shù)為，即方程兩邊都除以二次項系數(shù)；（2）移項：使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；（3）配方：即方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，化原方程為的形式；（4）解方程：如果方程右邊是非負數(shù)，即n≥0，就可以用直接開平方求出方程的解.如果n＜0，則原方程無解。3、公式法：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足b2-4ac≥0，則方程的求根公式為：4、因式分解法：一般步驟：（可化為形式的方程）①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解?！久麕熖嵝眩?、判斷一個方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進行整理，化成一般形式后再進行判斷，注意一元二次方程一般形式中a≠0；2、用公式法和因式分解的方法解方程時要先化成一般形式；3、用配方法時二次項系數(shù)要化1；4、用直接開平方的方法時要記得取正、負?！咳⒁辉畏匠谈呐袆e式及根與系數(shù)的關(guān)系關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況由___________決定，我們把它叫做一元二次方程根的判別式，一般用符號△表示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式b2-4acb2-4ac0時，方程有兩個不相等實數(shù)根；b2-4ac0時，方程有兩個相等實數(shù)根；b2-4ac0時，方程無實數(shù)根；根與系數(shù)的關(guān)系若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2韋達定理韋達定理_________【名師提醒：在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數(shù)中含有字母一定要保證二次項系數(shù)不為0?！克摹⒁辉畏匠痰膽?yīng)用1、解法步驟同一元一次方程一樣，仍按照審、設(shè)、列、解、驗、答六步進行。2、常見題型（經(jīng)濟類和利率問題）（1）增長率等量關(guān)系：①；②設(shè)a為原來量，當m為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量時，則有；當m為平均下降率，n為下降次數(shù)，b為下降后的量時，則有：；（2）利潤等量關(guān)系：①利潤=售價-成本；②；（3）幾何圖形的面積、體積問題：按面積、體積的計算公式列方程?！久麕熖嵝眩阂驗橥ǔＧ闆r下一元二次方程有兩個根，所以解一元二次方程的應(yīng)用題一定要驗根，檢驗結(jié)果是否符合實際問題或是否滿足題目中隱含的條件】重要考點考點一：一元二次方程的解例1（2013?牡丹江）若關(guān)于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，則2013-a-b的值是（）A．2018B．2008C．2014D．2012思路分析：將x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代數(shù)式的值即可．解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一個根，

∴a?12+b?1+5=0，∴a+b=-5，

∴2013-a-b=2013-（a+b）=2013-（-5）=2018．故選A．點評：此題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是把已知方程的根直接代入方程得到待定系數(shù)的方程即可求得代數(shù)式a+b的值．對應(yīng)訓練1．（2013?黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是．考點二：一元二次方程的解法例2（2013?寧夏）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）A．-1B．2C．1和2D．-1和2思路分析：先移項得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，解方程即可．解：x（x-2）+（x-2）=0，∴（x-2）（x+1）=0，

∴x-2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=-1．故選D．點評：本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右邊變形為0，再把方程左邊分解為兩個一次式的乘積，這樣原方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．例3（2013?佛山）用配方法解方程x2-2x-2=0．思路分析：首先把常數(shù)-2移到等號右邊，再兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方公式，再開方，解方程即可．解：x2-2x-2=0，移項得：x2-2x=2，配方得：x2-2x+1=2+1，

（x-1）2=3，兩邊直接開平方得：x-1=±，

則x1=+1，x2=-+1．點評：此題主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．例4（2013?蘭州）解方程：x2-3x-1=0．思路分析：利于求根公式x=來解方程．解：關(guān)于x的方程x2-3x-1=0的二次項系數(shù)a=1，一次項系數(shù)b=-3，常數(shù)項c=-1，則

x═=，

解得，x1=，x2=．點評：本題考查了解一元二次方程--公式法．利于公式x=來解方程時，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含義．對應(yīng)訓練2．（2013?陜西）一元二次方程x2-3x=0的根是．3．（2013?白銀）現(xiàn)定義運算“★”，對于任意實數(shù)a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，則實數(shù)x的值是．4．（2013?山西）解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．考點三：根的判別式的運用例5（2013?樂山）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．

（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．思路分析：（1）先計算出△=1，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；

（2）先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．解答：（1）證明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解為x=，即x1=k，x2=k+1，

當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；

當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，

所以k的值為5或4．點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．對應(yīng)訓練5．（2013?泰州）下列一元二次方程中，有兩個不相等實數(shù)根的方程是（）A．x2-3x+1=0B．x2+1=0C．x2-2x+1=0D．x2+2x+3=06．（2013?烏魯木齊）若關(guān)于x的方程式x2-x+a=0有實根，則a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.257．（2013?六盤水）已知關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜-2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠18．（2013?北京）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有兩個不相等的實數(shù)根．

（1）求k的取值范圍；

（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值．考點四：一元二次方程的應(yīng)用例6（2013?連云港）小林準備進行如下操作實驗；把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形．

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？

（2）小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2．”他的說法對嗎？請說明理由．思路分析：（1）設(shè)剪成的較短的這段為xcm，較長的這段就為（40-x）cm．就可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方程求出其解即可；

（2）設(shè)剪成的較短的這段為mcm，較長的這段就為（40-m）cm．就可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就說明小峰的說法錯誤，否則正確．解：（1）設(shè)剪成的較短的這段為xcm，較長的這段就為（40-x）cm，由題意，得

（）2+（）2=58，解得：x1=12，x2=28，

當x=12時，較長的為40-12=28cm，

當x=28時，較長的為40-28=12＜28（舍去）

∴較短的這段為12cm，較長的這段就為28cm；

（2）設(shè)剪成的較短的這段為mcm，較長的這段就為（40-m）cm，由題意，得

（）2+（）2=48，變形為：m2-40m+416=0，

∵△=（-40）2-4×416=-64＜0，∴原方程無解，

∴小峰的說法正確，這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2．點評：本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用，解答本題時找到等量關(guān)系建立方程和運用根的判別式是關(guān)鍵．對應(yīng)訓練9．（2013?重慶）隨著鐵路客運量的不斷增長，重慶火車北站越來越擁擠，為了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，該火車站去年開始啟動了擴建工程，其中某項工程，甲隊單獨完成所需時間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍．

（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需幾個月？

（2）若甲隊每月的施工費為100萬元，乙隊每月的施工費比甲隊多50萬元．在保證工程質(zhì)量的前提下，為了縮短工期，擬安排甲、乙兩隊分工合作完成這項工程，在完成這項工程中，甲隊施工時間是乙隊施工時間的2倍，那么，甲隊最多施工幾個月才能使工程款不超過1500萬元？（甲、乙兩隊的施工時間按月取整數(shù)）聚焦安徽1.（2003?4分）黨的十六大提出全面建設(shè)小康社會，加快推進社會主義現(xiàn)代化，力爭國民生產(chǎn)總值到2020年比2000年翻兩番。在本世紀的頭二十年（2001年～2020年），要實現(xiàn)這一目標，以十年為單位計算，設(shè)每個十年的國民生產(chǎn)總值的增長率都是x，那么x滿足的方程為（）A．(1+x)2=2B．(1+x)2=4C．1+2x=2D．(1+x)+2(1+x)=42.（2004?4分）方程x2—3x+1=0根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．只有一個實數(shù)根3.（2005?4分）方程的解是（）A.B.C.D.4.（2009?4分）某市2008年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長了12%，由于受到國際金融危機的影響，預(yù)計今年比2008年增長7%，若這兩年GDP年平均增長率為x%，則x%滿足的關(guān)系是（）A．B．C．D．5.（2011?4分）一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是（）A．－1B．2C．1和2D．－1和26.（2013?4分）目前我國已建立了比較完善的經(jīng)濟困難學生資助體系，某校去年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生389元，今年上半年發(fā)放了438元。設(shè)每半年發(fā)放的資助金額的平均增長率為x，則下面列出的方程中正確的是（）A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）=438D．438（1+2x）=3897.（2014?4分）某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=.8.（2012?8分）解方程：9.（2007?8分）據(jù)報道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增長率。（取≈1.41）10.（2010?10分）在國家政策的宏觀調(diào)控下，某市的商品房成交價由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2。（1）問4、5兩月平均每月降價的百分率是多少？（參考數(shù)據(jù)：≈0.95）（2）如果房價繼續(xù)回落，按此降價的百分率，你預(yù)測到7月份該市的商品房成交均價是否會跌破10000元/m2？請說明理由。點擊中考一、選擇題1．（2013?新疆）方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5 B．x=5C．x1=0，x2=5 D．x=02．（2013?安順）已知關(guān)于x的方程x2-kx-6=0的一個根為x=3，則實數(shù)k的值為（）A．1B．-1C．2D．-23．（2013?十堰）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是（）A．4B．-4C．1D．-14．（2013?珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列說法正確的是（）A．①②都有實數(shù)解B．①無實數(shù)解，②有實數(shù)解C．①有實數(shù)解，②無實數(shù)解D．①②都無實數(shù)解5．（2013?濱州）對于任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根D．無法確定6．（2013?濰坊）已知關(guān)于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，下列說法正確的是（）A．當k=0時，方程無解B．當k=1時，方程有一個實數(shù)解C．當k=-1時，方程有兩個相等的實數(shù)解D．當k≠0時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解．7．（2013?鞍山）已知b＜0，關(guān)于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．有兩個實數(shù)根8．（2013?威海）已知關(guān)于x的一元二次方程（x+1）2-m=0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥-B．m≥0C．m≥1D．m≥29．（2013?大連）若關(guān)于x的方程x2-4x+m=0沒有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜-4B．m＞-4C．m＜4D．m＞410．（2013?咸寧）關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）A．2B．1C．0D．-111．（2013?日照）已知一元二次方程x2-x-3=0的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是（）A．-2＜x1＜-1 B．-3＜x1＜-2 C．2＜x1＜3 D．-1＜x1＜012．（2013?麗水）一元二次方程（x+6）2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x+6=4，則另一個一元一次方程是（）A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-413．（2013?蘭州）用配方法解方程x2-2x-1=0時，配方后得的方程為（）A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2二、填空題14．（2013?黑龍江）若x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，則6m+2n=．15．（2013?常州）已知x=-1是關(guān)于x的方程2x2+ax-a2=0的一個根，則a=．16．（2013?天津）一元二次方程x（x-6）=0的兩個實數(shù)根中較大的根是．17．（2013?溫州）方程x2-2x-1=0的解是。18．（2013?張家界）若關(guān)于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有實根，則k的非負整數(shù)值是．19．（2013?沈陽）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4ax+a=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是．20．（2013?巴中）方程x2-9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為．21．（2013?哈爾濱）某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來的125元降到80元，則平均每次降價的百分率為．三、解答題22．（2013?無錫）解方程：x2+3x-2=0．23．（2013?淄博）關(guān)于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0有實根．

（1）求a的最大整數(shù)值；

（2）當a取最大整數(shù)值時，①求出該方程的根；②求2x2-的值．24．（2013?南充）關(guān)于x的一元二次方程為（m-1）x2-2mx+m+1=0．

（1）求出方程的根；

（2）m為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)？25．（2013?泰安）某商店購進600個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出50個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利1250元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？能力拔高★1．（2013?綿陽）已知整數(shù)k＜5，若△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2-3x+8=0，則△ABC的周長．2．（2013?臨沂）對于