重難點02 三角形（五種模型）分析版

重難點02三角形（五種模型）目錄題型一：“8”字模型題型二：飛鏢模型題型三：“A”字模型題型四：“老鷹捉小雞”模型題型五：（雙）角平分線模型技巧方法技巧方法一、“8”字模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°對頂角相等二、飛鏢模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.三、“A”字模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.四、“老鷹捉小雞”模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.五、（雙）角平分線模型1.雙內(nèi)角平分線2.雙外角平分線3.內(nèi)角平分線+外角平分線三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.能力拓展能力拓展題型一：“8”字模型一．填空題（共3小題）1．（2021春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，請?zhí)砑右粋€條件使AB∥CD，這條件可以是∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°．【分析】利用平行線的判定定理找出內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的滿足條件即可．【解答】解：∵內(nèi)錯角相等，兩直線平行，∴當(dāng)∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB時，AB∥CD．∵同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，∴當(dāng)∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°時，AB∥CD．綜上所述，添加一個條件使AB∥CD，這條件可以是：∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°，故答案為：∠BAC＝∠DCA或∠ABD＝∠CDB或∠BAD+∠CDA＝180°或∠ABC+∠DCB＝180°．【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，充分利用平行線的判定法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，則這幾個角是一個四邊形的四個內(nèi)角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案為：360．【點評】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內(nèi)角和，正確掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2019春?崇川區(qū)校級月考）如圖所示，AB、CD相交于點O，若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∠A＝45°，∠BEC＝40°，則∠D的度數(shù)為35°．【分析】先根據(jù)角平分線定義得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得到∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，接著利用①×2﹣②得2∠E＝（∠D+∠A），由此即可解決問題．【解答】解：如圖，∵BE平分∠DBA交DC于F，CE平分∠DCA交AB于G，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，由①×2﹣②得∠D＝2∠E﹣∠A，∵∠A＝45°，∠BEC＝40°，∴∠D＝35°，故答案為35°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．解答的關(guān)鍵是找準(zhǔn)相關(guān)的三角形，然后利用三角形內(nèi)角和定理建立等量關(guān)系．二．解答題（共8小題）4．（2012春?金山區(qū)校級期末）如圖所示，已知AB與CD相交于點F，BE平分∠CBF，DE平分∠ADC，試說明∠A、∠E、∠C三者之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】連接EF并延長，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可以求出∠1+∠2+∠E＝∠BFD，∠A+∠ADF＝∠BFD，∠C+∠CBF＝∠BFD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CBF＝2∠1，∠ADF＝2∠2，整理即可得解．【解答】解：如圖，連接EF并延長，由三角形的外角性質(zhì)，∠1+∠2+∠E＝∠BFD，∠A+∠ADF＝∠BFD，∠C+∠CBF＝∠BFD，∴∠A+∠ADF+∠C+∠CBF＝2（∠1+∠2+∠E）＝2∠1+2∠2+2∠E，∵BE平分∠CBF，DE平分∠ADC，∴∠CBF＝2∠1，∠ADF＝2∠2，∴∠A+∠C＝2∠E．【點評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．5．（2021春?邗江區(qū)月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上結(jié)論解決下列問題：（2）如圖2所示，∠1＝130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為260°．（3）如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，且與CD，AB分別相交于點M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)．②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，試直接寫出∠P與∠B，∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（3）①根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入計算即可；②與①的證明方法一樣得到4∠P＝∠B+3∠C．【解答】解：（1）證明：在圖1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案為：260°．（3）①以M為交點“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N為交點“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M為交點“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N為交點“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義．6．（2017春?郫都區(qū)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖①，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；（2）在圖②中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖③，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【分析】（1）延長BP交CD于點E，根據(jù)AB∥CD得出∠B＝∠BED，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接QP并延長，由三角形外角的性質(zhì)得出∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，由此可得出結(jié)論；（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．再根據(jù)∠A+∠AFG+∠AGF＝180°即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D．延長BP交CD于點E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．連接QP并延長，∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形，利用三角形外角的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022春?新野縣期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補充完整：（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）通過作平行線把三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到同一個頂點，然后利用平角的定義解決問題；（2）利用（1）的結(jié)論即可求解；（3）利用（2）的結(jié)論即可求解．【解答】（1）證明：過A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根據(jù)（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根據(jù)（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明以及定理的變式題目，對于學(xué)生的能力要求比較高．8．（2022春?靖江市校級月考）已知，如圖，線段AD、CB相交于點O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【分析】根據(jù)“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分線的定義可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得結(jié)論．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如圖，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?石家莊期中）如圖1至圖2，在△ABC中，∠BAC＝α°，點D在邊AC所在直線上，作DE垂直于直線BC，垂足為點E；BM為△ABC的角平分線，∠ADE的平分線交直線BC于點G．特例感悟：（1）如圖1，延長AB交DG于點F，若BM∥DG，∠F＝30°．解決問題：①∠ABC＝60°；②求證：AC⊥AB；深入探究；（2）如圖2，當(dāng)α＜90，DG與BM反向延長線交于點H，用含α的代數(shù)式表示∠BHD＝45°﹣；拓展延伸：（3）當(dāng)點D在直線AC上移動時，若射線DG與射線BM相交，設(shè)交點為N，直接寫出∠BND與α的關(guān)系式．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得答案；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DGC＝∠CBM＝30°，再根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義可得結(jié)論；（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG，再整理可得答案；（3）分情況討論，分別畫出對應(yīng)圖形，再整理即可．【解答】解：（1）①∵BM∥DG，∴∠ABM＝∠F＝30°，∵BM為△ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠ABM＝60°，故答案為：60°；②證明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°，∵BM∥DG，∴∠DGC＝∠CBM＝30°，∵DE⊥BC，∴∠EDG＝60°，∵DG平分∠ADE，∴∠ADF＝60°，∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴AC⊥AB；（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG＝∠ADE+90°﹣（180°﹣ABC）＝（∠ADE+∠ABC）﹣90°＝45°﹣．故答案為：45°﹣；（3）①如圖，由八字模型可得，△ABM和△NMD中，∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN＝∠ABC+α﹣（90°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）+α﹣45°＝45°+；②如圖，由四邊形的內(nèi)角和得，∠BND＝360°﹣90°﹣ABC﹣ADE＝270°﹣（270°﹣α）＝135°+；③如圖，由八字模型可得，∠BND+∠ABM＝∠ADG+∠DAB，∴∠BND＝∠ADE+（180°﹣α）﹣∠ABC＝（90°﹣∠ACB）+（180°﹣α）﹣ABC＝135°﹣；綜上，∠BND＝45°+或135°±．【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．10．（2022春?源城區(qū)校級期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）已知AB平行于CD，如a圖，當(dāng)點P在AB、CD外部時，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，為什么？請說明理由．如b圖，將點P移動到AB、CD內(nèi)部，以上結(jié)論是否仍然成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角即可；②利用平行線的特點作出平行線，再利用平行線的性質(zhì)即可；（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到四邊形CDHM中，用四邊形的內(nèi)角和即可．【解答】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠B＝∠COP，∵∠COP＝∠BPD+∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D，即：∠BPD＝∠B﹣∠D，②不成立，結(jié)論：∠BPD＝∠B+∠D，理由：如圖b，過點P作PG∥AB，∴∠B＝∠BPG，∵PG∥AB，CD∥AB，∴PG∥CD，∴∠DPG＝∠D，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，理由：如圖c，連接QP并延長，∵∠BP∠G是△BPQ的外角，∴∠BPG＝∠B+∠BQP，同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；（3）如圖d，∵∠DHM是△BFH的外角，∴∠DHM＝∠B+∠F，同理：∠CMH＝∠A+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．【點評】此題是四邊形的性質(zhì)，主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，是一個比較簡單也比較典型的中考常考題．11．（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識的遷移能力．（1）中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；（2）是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認出“8字形”；（3）（4）直接運用“8字形”中的角的規(guī)律解題．題型二：飛鏢模型一．解答題（共6小題）1．（2010?上海模擬）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；（2）在如圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【分析】（1）延長BP交CD于點E，根據(jù)AB∥CD得出∠B＝∠BED，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接QP并延長，由三角形外角的性質(zhì)得出∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，由此可得出結(jié)論；（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．再根據(jù)∠A+∠AFG+∠AGF＝180°即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D．延長BP交CD于點E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．連接QP并延長，∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．（或由（2）的結(jié)論得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形，利用三角形外角的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022春?衡山縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝150°；（2）若點P在線段AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為90°+α；（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．【分析】（1）由平角的定義得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四邊形CDPE的內(nèi)角和是360°即可求得∠1+∠2．（2）同（1）的方法．（3）利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．（4）利用外角的性質(zhì)和對頂角相等即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由平角的定義知，∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，在四邊形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α．當(dāng)α＝60°時，∠1+∠2＝150°．故答案為：150°．（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．故答案為：90°+α．（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：由三角形的外角的性質(zhì)知，∠DMC＝∠2+∠α，∠1＝∠C+∠DMC，∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），即∠1＝90°+∠2+∠α．（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：由三角形的外角的性質(zhì)知，∠2＝∠CFE+∠C，∠1＝∠PFD+∠α，∵∠CFE＝∠PFD，∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，即∠2＝90°+∠1﹣∠α．【點評】本題的考點是三角形內(nèi)角和定理，主要考查了三角形的內(nèi)角和、四邊形的內(nèi)角和、三角形的外角的性質(zhì)、平角的定義，解本題的關(guān)鍵是把∠1，∠2，∠a轉(zhuǎn)化到一個三角形或四邊形中．3．（2022春?樂平市期末）在△ABC中，兩條高BD、CE所在的直線相交于點O．（1）當(dāng)∠BAC為銳角時，如圖1，求證：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）當(dāng)∠BAC為鈍角時，如圖2，請在圖2中畫出相應(yīng)的圖形（用三角尺），并回答（1）中結(jié)論是否成立？不需證明．【分析】（1）利用直角三角形的兩個余角相等、同角的余角相等，得出∠BAC＝∠BOE，把∠BOC+∠BAC轉(zhuǎn)化為平角∠COE．（2）根據(jù)題意，分別作出AB、AC邊上的高，根據(jù)（1）的證明思路得出（1）的結(jié)論在∠BAC為鈍角時依舊成立．【解答】解：（1）證明：∵BD、CE是△ABC的兩條高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°∴∠BAC+∠ABD＝90°，∠BOE+∠ABD＝90°，∴∠BAC＝∠BOE（同角的余角相等），∴∠BOC+∠BAC＝∠BOC+∠BOE（等量代換），∵∠BOC+∠BOE＝180°（平角的定義），∴∠BOC+∠BAC＝180°．（2）成立．理由：∵BD、CE是△ABC的兩條高，∴∠OEB＝∠BDC＝90°∴∠BOC+∠OBE＝90°，∠DAB+∠OBE＝90°∴∠BOC＝∠DAB（同角的余角相等），∴∠BOC+∠BAC＝∠DAB+∠BAC（等量代換），∵∠DAB+∠BAC＝180°（平角的定義），∴∠BOC+∠BAC＝180°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，綜合運用了直角三角形的兩個銳角互余、同角的余角相等、平角的定義．4．（2022春?源城區(qū)校級期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）已知AB平行于CD，如a圖，當(dāng)點P在AB、CD外部時，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，為什么？請說明理由．如b圖，將點P移動到AB、CD內(nèi)部，以上結(jié)論是否仍然成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角即可；②利用平行線的特點作出平行線，再利用平行線的性質(zhì)即可；（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到四邊形CDHM中，用四邊形的內(nèi)角和即可．【解答】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠B＝∠COP，∵∠COP＝∠BPD+∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D，即：∠BPD＝∠B﹣∠D，②不成立，結(jié)論：∠BPD＝∠B+∠D，理由：如圖b，過點P作PG∥AB，∴∠B＝∠BPG，∵PG∥AB，CD∥AB，∴PG∥CD，∴∠DPG＝∠D，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，理由：如圖c，連接QP并延長，∵∠BP∠G是△BPQ的外角，∴∠BPG＝∠B+∠BQP，同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；（3）如圖d，∵∠DHM是△BFH的外角，∴∠DHM＝∠B+∠F，同理：∠CMH＝∠A+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．【點評】此題是四邊形的性質(zhì)，主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，是一個比較簡單也比較典型的中考?？碱}．5．（2021秋?東源縣校級期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝50°，直接寫出∠ABX+∠ACX的結(jié)果；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，由外角定理可知，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，則容易得到∠BDC＝∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．②結(jié)合圖形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由（2）的方法，進而可得答案【解答】解：（1）連接AD并延長至點F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；且∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；②由（1）的結(jié)論易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；而∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°∴（140﹣x）+x＝77，14﹣x+x＝77，x＝70∴∠A為70°．【點評】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BDC＝∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．6．（2018春?莘縣期末）一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠D應(yīng)分別是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根據(jù)李叔叔量得的結(jié)果，你能斷定這個零件是否合格？請解釋你的結(jié)論；（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之間有何關(guān)系嗎？請寫出你的結(jié)論．（不需說明理由）．【分析】此題要作輔助線：延長DC交AB于點E，根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和即可求解．【解答】解：（1）不合規(guī)格．理由如下：連接AC并延長到點E，則∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D＝140°，故不合格．（2）根據(jù)第（1）小題的求解過程，不難發(fā)現(xiàn)：∠B+∠D+90°＝∠BCD．【點評】注意構(gòu)造三角形，運用三角形的一個外角等于和它不相鄰的內(nèi)角和即可解決此題．題型三：“A”字模型一．選擇題（共1小題）1．（2019秋?虹口區(qū)校級月考）已知如圖，△ABC為直角三角形，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．315° B．270° C．180° D．135°【分析】利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．二．填空題（共3小題）2．（2022春?南崗區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點，連接AD、BE，交點為F，若S△AEF＝12，BF＝8，則點D到BF的距離為3．【分析】首先利用三角形的中線性質(zhì)可以求出S△ABF和S△CBF，S△BFD，然后利用三角形面積公式即可求出點D到BF的距離．【解答】解：連接CF，∵D、E分別為BC、AC的中點，∴F為△ABC的重心，∴BF＝2EF，∴S△AEF＝S△CEF＝S△AFC＝12，S△ABE＝S△CBE＝S△ABC＝36，∴S△ABF＝S△CBF＝24，∴S△BFD＝12，如圖，過D作DH⊥BF于H，∴S△BFD＝×BF×DH＝12，而BF＝8，∴DH＝3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了三角形的面積公式，同時也利用了三角形的中線的性質(zhì)，有一定的綜合性．3．（2022春?濮陽期中）如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分線交于點A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分線交于點A2022，得∠A2022，則∠A2022＝度．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠A1＝∠A，找出規(guī)律即可求出∠A2022．【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠A2022＝∠A，∵∠A＝m°，∴∠A2022＝°，故答案為：．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)與規(guī)律的綜合，涉及三角形外角性質(zhì)，找出∠A1和∠A之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?平定縣期中）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后得到四邊形BCDE，則∠1+∠2＝260°．【分析】利用∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性質(zhì)，可得∠1＝∠ADE+∠A，∠2＝∠AED+∠A，利用等式性質(zhì)可求∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角，∴∠1＝∠ADE+∠A①，∠2＝∠AED+∠A②，∴∠1+∠2＝∠ADE+∠A+∠AED+∠A，又∵∠ADE+∠A+∠AED＝180°，∴∠1+∠2＝180°+80°＝260°．故答案為：260°．【點評】本題利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)．三角形三個內(nèi)角的和等于180°；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．三．解答題（共6小題）5．（2022春?澗西區(qū)期中）如圖，在△ABC中，E，G分別是AB，AC上的點，F(xiàn)，D是BC上的點，連接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求證：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠B＝35°，求∠2的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠DAE，由∠1+∠2＝180°可得∠DAE+∠2＝180°，即可證明；（2）首先利用已知條件可以去求出∠1＝∠DAG＝35°，然后利用平行線的性質(zhì)求出∠2．【解答】（1）證明：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°．∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD＝∠1．∴AB∥DG；（2）解：∵DG是∠ADC的平分線，且AB∥DG，∴∠1＝∠GDC＝∠B＝35°，∴∠1＝∠DAB＝35°，∵AD∥EF，∴∠2＝180°﹣∠DAB＝180°﹣35°＝145°．【點評】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．6．（2022春?龍馬潭區(qū)月考）推理填空已知：如圖，在△ABC中，點D在BC上，連接AD，點E，F(xiàn)分別在AD，AB上，連接DF，且滿足∠DFE＝∠C，∠1+∠2＝180°．求證：∠CAB＝∠DFB．證明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∵∠DEF+∠2＝180°（平角的定義），∴∠1＝∠DEF（同角的補角相等）．∴FE∥BC（內(nèi)錯角相等兩直線平行）．∴∠DFE＝∠FDB（兩直線平行內(nèi)錯角相等）．又∵∠DFE＝∠C（已知），∴∠C＝∠FDB．（等量代換）∴DF∥AC．∴∠CAB＝∠DFB（兩直線平行同位角相等）．【分析】第一空：利用平角的定義；第二空：利用同角的補角的相等；第三空：利用內(nèi)錯角相等兩直線平行；第四、五空利用兩直線平行內(nèi)錯角相等；第六、七空：利用等式的性質(zhì)，即等量代換；第八空利用兩直線平行同位角相等．【解答】證明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∵∠DEF+∠2＝180°（平角的定義），∴∠1＝∠DEF（同角的補角相等）．∴FE∥BC（內(nèi)錯角相等兩直線平行）．∴∠DFE＝∠FDB（兩直線平行內(nèi)錯角相等）．又∵∠DFE＝∠C（已知），∴∠C＝∠FDB．（等量代換）∴DF∥AC．∴∠CAB＝∠DFB（兩直線平行同位角相等）．故答案為：平角的定義；同角的補角的相等；內(nèi)錯角相等兩直線平行；∠FDB，兩直線平行內(nèi)錯角相等；∠FDB，等量代換；兩直線平行同位角相等．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，也考查了平角的定義，做這個題目要有耐心．7．（2021秋?武功縣期末）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DC、DE，在CD上取一點F，連接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．【分析】先利用平行線的判定定理判定AB∥EF，利用平行線的性質(zhì)定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代換得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，兩直線平行判定即可．【解答】證明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE．∴AB∥EF．∴∠3＝∠ADE．∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠ADE．∴DE∥BC．【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確使用平行線的判定與性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?順德區(qū)校級期中）如圖，AB∥DG，∠1＝∠2，EF⊥BC，將求∠ADB的過程填寫完整．解：∵AB∥DG（已知），∴∠1＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代換），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠ADB＝（∠EFB）．∵EF⊥BC（已知），∴∠EFB＝90°（垂直定義）．∴∠ADB＝90°．【分析】利用平行線的判定與性質(zhì)定理，垂直的定義，等量代換進行填空即可．【解答】解：∵AB∥DG（已知），∴∠1＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代換），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠ADB＝（∠EFB）．∵EF⊥BC（已知），∴∠EFB＝90°（垂直定義）．∴∠ADB＝90°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；等量代換；同位角相等，兩直線平行；∠EFB；EF⊥BC；90．【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，垂直的定義，正確使用平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2018春?新沂市期中）如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個外角，我們?nèi)菀鬃C明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，則∠DBC+∠ECB＝∠A+180°（橫線上填＞、＜或＝）初步應(yīng)用：（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2﹣∠C＝45°．（3）解決問題：如圖4，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案∠P＝90°﹣∠A．（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，兩式相加可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，將∠1＝135°代入可得結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的結(jié)論：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；（4）根據(jù)平角的定義得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分線得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．故答案為：＝．（2）∠2﹣∠C＝45°．理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，∴∠2﹣∠C+135°＝180°，∴∠2﹣∠C＝45°．故答案為：45°；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．故答案為：∠P＝90°﹣∠A，（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），∵四邊形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．【點評】本題是四邊形和三角形的綜合問題，考查了三角形和四邊形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，難度適中，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是關(guān)鍵．10．（2019春?橋西區(qū)期末）[嘗試探究]如圖1，在一張三角形紙片上，剪去△ABC，得到四邊形BCHG，∠1與∠2分別為△ABC的兩個外角（1）請你試著說明：∠1+∠2＝180°+∠A（2）如圖2，如果沿著EF再剪一刀，∠3與∠4分別為△AEF的兩個外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的數(shù)量關(guān)系為∠1+∠2＝∠3+∠4（3）如圖3，EP，F(xiàn)P分別平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF與∠A的數(shù)量關(guān)系：[拓展提升]如圖4，在四邊形BCFE中，EP、FP分別平分外分∠FEG、∠EFH，請寫出∠EPF，∠1、∠2這三個角的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠1＝180°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣∠ACB，求得∠1+∠2＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）由（1）得，∠1+∠2＝180°﹣∠A，同理得到∠3+∠4＝180°﹣∠A，于是得到結(jié)論；（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE＝180°﹣∠A，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（4）由（3）得到∠A+2∠P＝180°，由（1）得到∠1+∠2＝180°+∠A，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠1與∠2分別為△ABC的兩個外角，∴∠1＝180°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣∠ACB，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），∵三角形的內(nèi)角和為180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）由（1）得，∠1+∠2＝180°+∠A，同理，∠3+∠4＝180°+∠A，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，故答案為：∠1+∠2＝∠3+∠4；（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE＝180°+∠A，∵EP，F(xiàn)P分別平分外角∠FEG、∠EFH，∴∠PEF＝GEF，∠PFE＝HFE，∴∠PEF+∠PFE＝（∠GEF+∠HFE）＝（180°+∠A），∴∠P＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣A；（4）解：數(shù)量關(guān)系：∠1+∠2+2∠P＝360°，理由：如圖，由（3）可知，∠A+2∠P＝180°，由（1）可知，∠1+∠2＝180°+∠A，∴（∠1+∠2﹣180°）+2∠P＝180°∴∠1+∠2+2∠P＝360°．【點評】本題考查的是角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．題型四：“老鷹捉小雞”模型一．填空題（共3小題）1．（2017春?天心區(qū)校級期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A、∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2＝2∠A．【分析】可連接AA′，分別在△AEA′、△ADA′中，利用三角形的外角性質(zhì)表示出∠1、∠2；兩者相加聯(lián)立折疊的性質(zhì)即可得到所求的結(jié)論．【解答】解：連接AA′．則△A′ED即為折疊前的三角形，由折疊的性質(zhì)知：∠DAE＝∠DA′E．由三角形的外角性質(zhì)知：∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A；則∠1+∠2＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE，即∠1+∠2＝2∠A．故答案是：∠1+∠2＝2∠A．【點評】此題主要考查的是三角形的外角性質(zhì)和圖形的翻折變換，理清圖中角與角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021秋?阜新縣校級期末）紙片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)（如圖），若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為60°．【分析】先根據(jù)∠A＝65°，∠B＝75°，求出∠C的度數(shù)．再由∠1＝20°可求出∠CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∵∠1＝20°，∴∠CED＝＝80°，在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，故答案為60°．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和是180°．3．（2021春?南通期末）如圖所示，把一個三角形紙片ABC的三個頂角向內(nèi)折疊之后（3個頂點不重合），圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【分析】由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內(nèi)角和減去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：由題意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案為：360．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．二．解答題（共4小題）4．（2021春?長安區(qū)期末）如圖1和圖2，在三角形紙片ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，沿DE折疊，點A落在點A'的位置．（1）如圖1，當(dāng)點A′落在CD邊上時，∠DAE與∠1之間的數(shù)量關(guān)系為③（只填序號），并說明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如圖2，當(dāng)點A落在△ABC內(nèi)部時，直接寫出∠DAE與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由題意得：∠DAE＝∠DA′E，可推斷出∠1＝2∠DAE．（2）如圖2，連接AA′．由三角形外角的性質(zhì)，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由題意知：∠EAD＝∠EA′D，進而推斷出∠1+∠2＝2∠EAD．【解答】解：（1）由題意得：∠DAE＝∠DA′E．∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案為：③．（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如圖2，連接AA′．由題意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．【點評】本題主要三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．（2017春?西城區(qū)校級期中）（1）如圖1，設(shè)∠A＝x，則∠1+∠2＝180°+x；（2）把三角形紙片ABC頂角A沿DE折疊，點A落到點A'處，記∠A'DB為∠1，∠A'EC為∠2．①如圖2，∠1，∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2＝2∠A；②如圖3，請你寫出∠1，∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖4，把一個三角形紙片ABC的三個頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個頂點不重合，那么圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）①先根據(jù)折疊得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由兩個平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°與四個折疊角的差，化簡得結(jié)果；②利用兩次外角定理得出結(jié)論；（3）由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內(nèi)角和減去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：（1）∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+x；故答案為：180°+x；（2）①如圖2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折疊得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；故答案為：∠1+∠2＝2∠A；②如圖3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由是：∵∠1＝∠AFD+∠A，∠AFD＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A′+∠A+∠2，∵∠A＝∠A′，∴∠1＝2∠A+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（3）如圖4，由題意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）﹣（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案為：360°．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．6．（2017春?銅山區(qū)期中）（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處，請直接寫出∠1+2與∠A的關(guān)系：∠1+∠2＝2∠A．（2）如圖2，把△ABC分別沿DE、FG折疊，使點A落在點A′處，使點B落在點B′處，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，則∠C＝70°（3）如圖3，在銳角△ABC中，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，BM、CN交于點H，把△ABC沿DE折疊使點A和點H重合，則∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系是A．A．∠BHC＝180°﹣（∠1+∠2）B．∠BHC＝∠1+∠2C．∠BHC＝90°+（∠1+∠2）D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2（4）如圖4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折疊，使點A與點H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，進而求出∠A＝（∠1+∠2），即可得出答案；（4）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠HBC+∠HCB＝90°﹣∠A，得出∠BIC的度數(shù)即可；【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；理由如下：由折疊的性質(zhì)得：∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝360°①，又∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴2（∠A+∠ADE+∠AED）＝360°②，由①②得：∠1+∠2＝2∠A；故答案為：∠1+∠2＝2∠A；（2）由（1）可得，∠A＝（∠1+∠2），∠B＝（∠3+∠4），∴∠A+∠B＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝220＝110，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，故答案為：70°；（3）理由：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，∠MHN+∠A＝180°，∴∠BHC＝∠MHN＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A．∴∠A＝（∠1+∠2）．∴∠BHC＝180°﹣（∠1+∠2）．故選A；（4）由（1）得：∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，∴∠A＝50°，∵HB平分∠ABC，HC平分∠ACB，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×50°＝115°．【點評】本此題主要考查了圖形的翻著變換的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，正確的利用翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．7．（2017春?江都區(qū)月考）（1）如圖①，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCED內(nèi)部點A′的位置時，∠A、∠1、∠2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（2）如圖②，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCED外部點A′的位置時，∠A、∠1、∠2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（3）如圖③，把四邊形ABCD沿EF折疊，當(dāng)點A、D分別落在四邊形BCFE內(nèi)部點A′、D′的位置時，你能求出∠A′、∠D′、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出∠3、∠4，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出∠3、∠4，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（3）先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出∠3、∠4，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）如圖，根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），∵∠A+∠3+∠4＝180°，∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝180°，整理得，2∠A＝∠1+∠2；（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180+∠2），∵∠A+∠3+∠4＝180°，∴∠A+（180﹣∠1）+（180+∠2）＝180°，整理得，2∠A＝∠1﹣∠2；（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），∵∠A+∠D+∠3+∠4＝360°，∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝360°，整理得，2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°．【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角與外角，翻折的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．題型五：（雙）角平分線模型一．解答題（共9小題）1．（2012春?金山區(qū)校級期末）如圖：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，試說明∠BOC＝90°+．【分析】先根據(jù)角平分線定義得到∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，然后經(jīng)過變形后即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵∠ABC、∠ACB的平分線OB、OC相交于O．∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∵∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠COB，（∠ABC+∠ACB+∠A）＝90°，∴180°﹣∠COB+∠A＝90°，∴∠BOC＝90°+．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了角平分的定義．2．（2022秋?章貢區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD與AE交于點F，求∠AFB．【分析】首先利用三角形的內(nèi)角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分線的性質(zhì)求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及垂直的定義即可求解．【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，而∠ABC＝82°，∠C＝58°，∴∠CAB＝40°，∵AE平分∠CAB，∴∠DAF＝20°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB＝90°，∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．故答案為：110°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和等于180°求解，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識別圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?古縣期末）如圖，△ABC中，AB＜AC，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC．請說明∠B﹣∠C＝2∠DAE．【分析】結(jié)合題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，整理即可得出答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC．∴∠BAE＝∠EAC，∴∠BAE＝∠BAC，∵三角形內(nèi)角和為180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD⊥BC于點D，∴∠BAD＝180°﹣90°﹣∠B＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），∴∠B﹣∠C＝2∠DAE．【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，熟練掌握了三角形內(nèi)角和為180°是解題關(guān)鍵．4．（2022春?鯉城區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根據(jù)角平分線定義可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度數(shù)；然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性質(zhì)，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角性質(zhì)．關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)解出∠EAF、∠CBF，再運用三角形外角性質(zhì)求出∠AFB．5．（2022春?海陵區(qū)校級期末）△ABC中，三個內(nèi)角的平分線交于點O，過點O作∠ODC＝∠AOC，交邊BC于點D．（1）如圖1，求∠BOD的度數(shù)；（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點F．①求證：BF∥OD；②若∠F＝50°，求∠BAC的度數(shù)；③若∠F＝∠ABC＝50°，將△BOD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在直線與FC平行，請直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度α的值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得到答案．（2）①根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得到答案．②結(jié)合角平分線的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．③求出∠ODB的度數(shù)即可解決【解答】解：（1）∵三個內(nèi)角的平分線交于點O，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC），∵∠OBC＝∠ABC，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC，∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC，∴∠BOD＝90°；（2）①∵三個內(nèi)角的平分線交于點O，∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，∴∠FBE＝∠ODB，∴BF∥OD；②∵三個內(nèi)角的平分線交于點O，∴∠EBF＝∠ABE＝（∠BAC+∠ABC），∴∠FCB＝∠ACB，∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC，∵∠F＝50°，∴∠BAC＝2∠F＝100°；③∵∠F＝∠ABC＝50°，∴由②可知，∠BAC＝100°，∴∠ACB＝30°，∵OC平分∠ACB，∴∠OCD＝15°，∠COD＝50°，∴∠BDO＝∠COD+∠OCD＝65°，∠DOF＝130°，∵將△BOD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，∴∠B'D'O＝∠BDO＝65°，∵B'D'∥FC，∴∠COD'＝∠B'DO＝65°，∴∠DOD'＝∠COD'﹣∠COD＝15°，即此時旋轉(zhuǎn)角度為α＝15°，∵BD'∥FC，∴∠FOD'＝∠B'OD＝65°，∴α＝∠DOF+∠FOD'＝130°+65°＝195°，∴△BOD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)15°或195°后得△B'O′D′，B′D′所在直線與FC平行．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和三角形的外角性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化等知識，熟練掌握三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2012春?金山區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC、∠ACB的平分線OB、OC相交于O．求∠BOC的度數(shù)．【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，經(jīng)過變形后得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝70°代入計算即可．【解答】解：如圖，∵∠ABC、∠ACB的平分線OB、OC相交于O．∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∵∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠COB，（∠ABC+∠ACB+∠A）＝90°，∴180°﹣∠COB+∠A＝90°，∴∠BOC＝90°+∠A，而∠A＝70°，∴∠BOC＝90°+×70°＝125°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了角平分線的定義．7．（2022春?丹徒區(qū)月考）在△ABC中，∠A＝40°：（1）如圖（1）BO、CO是△ABC的內(nèi)角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；（2）如圖（2）BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；（3）如圖（3）BO、CO分別是△ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；（4）根據(jù)上述三問的結(jié)果，當(dāng)∠A＝n時，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需寫出結(jié)論）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，則2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，則2∠BOC＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BOC＝90°+∠A．（