2022年內(nèi)蒙古平煤高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.[“一91的二項展開式中''的系數(shù)是()

A.70B.-70C.28D.-28

onV*

2,關(guān)于函數(shù)f(x)=?-J+cos2元,下列說法正確的是()

1+tairx

A.函數(shù)〃x)的定義域為R

37r7t

B.函數(shù).f(x)一個遞增區(qū)間為一丁,6

OO_

1T

C.函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于直線x=￡對稱

O

D.將函數(shù)y=V2sin2x圖像向左平移g個單位可得函數(shù)y=/(x)的圖像

8

(4Z-2)X,X>2

3.已知函數(shù)〃x)二門丫,滿足對任意的實數(shù)不都有＜0成立，則實數(shù)0的取值范

王一馬

圍為()

八、(131(13、D-(Tw)

A.(1,+℃)B.1-00,—C.11

4.已知集合4={21<X424},B=<x|,1=>,

則。避=()

-yl-x2+6x-5}

A.{x|x>5}B.{x15<x<24)

C.或x25}D.{x|5<x<24)

5.已知。+萬(。］eR)是巴的共貌復(fù)數(shù)，則。+6=()

1-i

11

A.—1B.---C.一D.1

22

6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=l-7i,則z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1"227r

7.已知點F,為雙曲線C:J—L=l（a〉O）的右焦點，直線了=日與雙曲線交于A,B兩點,若NAF,B=——,則

a43

^AF2B的面積為（

A.2V2B.2Gc.4V2D.4百

&若復(fù)數(shù)2=黑在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限'則實數(shù)0的取值范圍是＜）

A.(T,l).S，T）C.D.(0,+8)

9.已知aJ_/?,mua,〃uP，ari/?=/,則“m_Ln”是“mJ_產(chǎn)的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知ae（O,九）,且tana=2,則cos2a+cosa=()

275-3B.在於C亞+32指+3

A.D.

-55,55

設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的前〃項和為s”,則“4<0”是“S2⑼<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.在復(fù)平面內(nèi)，三復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共輯復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

——、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛a,,｝遞增的等比數(shù)列，若%+%=12，%%=27,則為

14.已知拋物線C：V=4x的焦點為f，斜率為2的直線/與C的交點為A8,若|AF|+|B可=5,則直線/的方

程為.

15.根據(jù)如圖的算法，輸出的結(jié)果是.

16.已知△A3C的三個內(nèi)角為A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，則sin2B+2cosB的最小值

為,最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

尤2V2X=2+Z,

17.（12分）已知曲線C：二+2=1,直線/：\a為參數(shù)）.

（I）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線/的普通方程；

（II）過曲線。上任意一點P作與/夾角為30。的直線，交/于點A,儼川的最大值與最小值.

18.（12分）已知。＞0力＞。,函數(shù)〃x）=k+a|+|2%-目的最小值為1.

（1）證明：2a+Z?=2.

（2）若a+2bitab恒成立,求實數(shù)r的最大值.

19.（12分）已知a,〃,c￡R'，a+h+c=l,求證：

（1）6+揚+五＜G；

/、1113

(2)-----1------1-----之一.

3。+13〃+13c+12

x—A/3+1

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為＜a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半

J=

軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos9.

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點加（。,3）,直線,與曲線C交于不同的兩點4、B,求高+意的值?

21.（12分）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，等比數(shù)列也｝的前〃項和為7“，且q=e=1,%=S3,4+”=15.

（1）求數(shù)列｛4｝與也,｝的通項公式;

（2）求數(shù)列［5子:的前〃項和.

22.（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系X。），中，橢圓C的焦點為6卜6,0）,6為橢圓C上任意一點，且

眼娟+|叫=4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/：y=丘+加（左＞0,加＞0）交橢圓。于P,。兩點，且滿足隔Q=k°p-k0G（即°,%）?。2分別為直線

PQ,OP,OQ的斜率），求AOPQ的面積為顯時直線PQ的方程.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

?18-33

試題分析：由題意得，二項展開式的通項為瑪%8-(_)，=(_])，℃2,令8一一，=2=廠=4,所以的

2

系數(shù)是(一1)4以=70,故選A.

考點：二項式定理的應(yīng)用.

2.B

【解析】

化簡到/(x)=0sin[2x+(),根據(jù)定義域排除ACO,計算單調(diào)性知3正確，得到答案.

【詳解】

f(x)=an+cos2x=sin2x+cos2x=V2sin(2x+—

l2+'ta:n2x14)

71

故函數(shù)的定義域為+,故A錯誤；

2

377TTTT7T7C

當(dāng)xe時，2x+—e,函數(shù)單調(diào)遞增，故3正確；

_88J422_

當(dāng)》=一￡,關(guān)于x=g的對稱的直線為x=g不在定義域內(nèi)，故C錯誤.

482

平移得到的函數(shù)定義域為R,故不可能為y=/(x),。錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

3.B

【解析】

，1、2

由題意可知函數(shù)y=/(x)為R上為減函數(shù)，可知函數(shù))=(。-2)%為減函數(shù)，且2(a—2)<上一1,由此可解得實

數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

?-2<0

13

由題意知函數(shù)y=/(x)是R上的減函數(shù)，于是有/、fl?，解得〃<一,

2(?-2)^12I-18

因此，實數(shù)。的取值范圍是

故選：B.

【點睛】

本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系,

考查運算求解能力，屬于中等題.

4.D

【解析】

首先求出集合3,再根據(jù)補集的定義計算可得；

【詳解】

V-%2+6x-5>0?解得l<x<5

二B={x11<x<5},dAB={x|5<x<24}.

故選：D

【點睛】

本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

1+Z

先利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求出的值，再利用共趣復(fù)數(shù)的定義求出a+歷，從而確定a,8的值，求出a+b.

匚7

【詳解】

1+z(1+Z)22z

T^7-(l+z)(l-z)

工a+bi=~i9

??a=0,b=-19

a+b=-1,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共朝復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

化簡得到z=-3-4i,得到答案.

【詳解】

,、l-7z(l-7z)(l-z)-6-8z

(l+i)z=l—7i,故2=-^7=7；T7：~==—~—--3—4-i,對應(yīng)點在第三象限.

''1+z(l+z)(l-z)2

故選：C.

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計算能力.

7.D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點為匕，連接4片,8耳，由對稱性可知四邊形4片8乙是平行四邊形,

設(shè)|4耳|=、|明卜勺得4c2=42+^—2^COS。，求出色的值，即得解.

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點為片，連接4片,86，

由對稱性可知四邊形AF}BF2是平行四邊形,

77

所以SAA"?=S的送,/耳A8=—.

設(shè)“=石，網(wǎng)=r2,則4c2=甲+旌2稗c嗚=甲+「一我,

又卜一目=2a.故斗弓=4/=16,

所以S.B=g和sing=4百.

故選：D

【點睛】

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平.

8.B

【解析】

復(fù)數(shù)z=g二=9口-絲L,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，可得關(guān)于a的不等式組，解得a的范圍.

1+z22

【詳解】

a-ia-1Q+1.

z=---=--------1

1+i22

由其在復(fù)平面對應(yīng)的點在第二象限,

<7—1<0

得.，則avT.

。+1<0

故選：B.

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

構(gòu)造長方體A5CD-A15C1O1,令平面a為面AODiAi,底面A5CD為0,然后再在這兩個面中根據(jù)題

意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m,n即可進行判斷.

【詳解】

如圖，取長方體A5cD-Ai51Go1,令平面a為面AOOiAi,底面45co為0,直線AO=直線/。

若令A(yù)￡)i=/n,AB=n,則，〃_L〃，但不垂直于/

若桃_L/,由平面ABCO_L平面AOZ)M可知，直線機垂直于平面0,所以加垂直于平面0內(nèi)的任意

一條直線〃

/./n±n是mA.I的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題考點有兩個：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從機_L〃6n_L/?和

加JL/=/"_L〃？兩方面進行判斷；②是空間的垂直關(guān)系，一般利用長方體為載體進行分析.

10.B

【解析】

分析：首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得COSC的值，之后借助于倍角公式，將待求的

式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosa的式子，代入從而求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題中的條件，可得a為銳角，

根據(jù)tana=2,可求得cosa=@,

5

而cos2a+cosa=2cos2a+coscr-1=—d--------1=---------,故選B.

555

點睛：該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要對已知真切求余弦的方法

要明確，可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.

11.C

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式，判斷出正確選項.

【詳解】

]_。20211_?2021

由于數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，所以S2O2i=a「一一，由于一^—>0,所以

1-<7\-q

4<0=S2021<0,故"q<0”是“SW2l<0”的充分必要條件.

故選:C

【點睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前〃項和公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得z=l+2i,彳=1-2/，即可得到對應(yīng)的點為。,-2)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

3+z(3+/)(l+z)?

z==對應(yīng)的點位于第四象限.

故選：￡).

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查共物復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的對應(yīng)，難度容易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3'"

【解析】

=27,建立的，%方程組，且42<。3，求出生，。3，進而求出｛《,｝的公比，即可求出結(jié)論.

【詳解】

數(shù)列｛%｝遞增的等比數(shù)列，：.4>4，

氏+&=12f%=3

一cr，解得一c，

aa

4%=i3=27[a3=9

所以｛4｝的公比為3,a—"1

故答案為：3"，

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.2x-y-2-0

【解析】

設(shè)直線/的方程為y=2x+t,4（石,3）,3（馬,必），聯(lián)立直線/與拋物線C的方程，得到A,3點橫坐標(biāo)的關(guān)系式,

代入到|A月+忸可=4中，解出f的值，即可求得直線/的方程?

【詳解】

設(shè)直線/：y=2x+r,A（x，x）,B（x2，y2）?

由題設(shè)得尸（1,0）,故|AF|+忸尸|=>+/+2,

由題設(shè)可得為+々=3.

由"I2：+''可得+4,_l）x+/=0,

貝U玉+工2=1-f，

從而l—f=3,得/=—2,

所以，的方程為y=2x-2,

故答案為：2x-y-2=0

【點睛】

本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

15.55

【解析】

根據(jù)該For語句的功能，可得S=l+2+3+...+l(),可得結(jié)果

【詳解】

根據(jù)該For語句的功能，可得S=l+2+3+...+10

(1+10)x10

則nIs=-----L——=55

2

故答案為：55

【點睛】

本題考查For語句的功能，屬基礎(chǔ)題.

百36

10.---hl---

22

【解析】

〃22_*

根據(jù)正弦定理可得2)=。+C,利用余弦定理cos8=以及均值不等式,可得角8的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)

2ac

/(B)=sin2B+2cosB,利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)果.

【詳解】

由sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列

所以2sinB=sinA+sinC

/74-f

所以2b=a+c=>b=----

laclac

相_3a2+3c2-2ac、6ac-lac1

化簡可得cosB=---------->---------=-

當(dāng)且僅當(dāng)。時，取等號

又8c（（u）,所以BE］。,?

令/'（3）=sin25+2cos5,Be1°彳

則f（B）=2cos2B-2sinB=2-4sin2B-2sinB

f（B）=-21nB-T（sinB+l）

當(dāng)sin6〉g,即殷仁與時，/（3）＜（）

當(dāng)sin6＜〈，即時，/（B）＞0

則/（8）=疝23+2855在（0總遞增，在仁朗遞減

所以九x（B）=/（2）=sinq+2cos'=￥

\075o2

由/（0）=sin0+2cos0=2,

.2TT715/3

f—=sin——+2cos—=----Fl

UJ332

所以狐（8）=/閨=與+1

所以5山23+2以九3的最小值為立+1

2

最大值為更

2

故答案為：蟲+1,巫

22

【點睛】

本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點在于根據(jù)余弦定理以及不等式求

出Be］。,?，考驗分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

,x=2cos。，72^/5o./s

17.(I)｛。.c2x+y-6=0；(II)最大值為翌二，最小值為2.

y=3sind,55

【解析】

rVx=2cos。，

試題分析：(I)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)±=COS6,2=sin6,得橢圓的參數(shù)方程為｛)，消去參數(shù)/即得直線的

22y=3sin0,

普通方程為2x+y-6=0；(II)關(guān)鍵是處理好1PAi與角3()。的關(guān)系.過點P作與/垂直的直線，垂足為H,則在APH4

中，尸”=d=,故將1PAi的最大值與最小值問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點P(2cos0,3sin6)到定直線2x+y-6=0

的最大值與最小值問題處理.

x=2cosa

試題解析：(D曲線C的參數(shù)方程為｛,.(6為參數(shù)).直線/的普通方程為2光+y-6=0.

y=3sin，，

(II)曲線C上任意一點P(2cose,3sin。)至1"的距離為”=t|4cos6+3sine-6|.貝(I

|PA|=—^=2叵|5sin(e+a)-6].其中a為銳角，且tana=g.

11sin30°5113

當(dāng)sin(6+a)=-l時，|尸山取到最大值，最大值為岑I.

當(dāng)sin(6+a)=l時，|PA|取到最小值，最小值為乎.

【考點定位】1、橢圓和直線的參數(shù)方程；2、點到直線的距離公式；3、解直角三角形.

9

18.(1)2；(2)-

2

【解析】

分析：(1)將/(x)=|x+a|+|2x-4轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值

(2)分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可.

詳解：(I)證明：a<2

2

-3x-a-\-b,x<-a

b,顯然/(x)在，8,上單調(diào)遞減，在e,+司上單調(diào)遞增,

"(x)=<-x^a+b,-a<x<—

2

..h

3x+a-b,x>—

2

所以/(X)的最小值為/(S=a+g=l,即2a+方=2.

.1

(H)因為。+力2sb恒成立，所以^——之，恒成立,

ah

67+2/?J+2

abba

7+")|-)o

當(dāng)且僅當(dāng)時，n幺f取得最小值;，

3ab2

99

所以f4《，即實數(shù)，的最大值為

22

點睛：本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問恒成立問題分離參數(shù)，利用基本不等式求解

很關(guān)鍵，屬于中檔題.

19.(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

(1)結(jié)合基本不等式而《生心,癡而W*可證明;

222

4~44

(2)利用基本不等式得——+(3。+1)22］I」一(3。+1)=4,即----->3-3?,同理得其他兩個式子，三式相

3a+lV3a+13。+1

加可證結(jié)論.

【詳解】

A(yja+y/h+y/c)2=。+b+c+2\fab+2\[hc4-2>Jca

W(a+Z?+c)+(a+/?)+3+c)+(c+a)=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號成立,

??+\[h+\[c<y/3;

(2)由基本不等式」一+(3a+l)N2

——?(3a+l)=4,

3a+l3a+l

444

23—3ci，同理----->3-3b,23—3c,

3a+13b+\3c+l

...4(」一+—L+—!—)29-3(a+b+c)=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號成立

3Q+13b+13c+1

3

++->-

+-3力++2

-3C

【點睛】

本題考查不等式的證明，考查用基本不等式證明不等式成立.解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式，方法是綜合法.

2

20.(1)gx+y-3=O,(x-2)2+/=4(2)+373

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)/即可得到直線/的

直角坐標(biāo)方程；

(2)由于例(0,3)在直線/上，寫出直線/的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程，代入曲線C的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出

1111|<+/2|,

-----1------=]~r+1-i=~j廠求解即可.

\MA\\MB\!?,|回M

【詳解】

(1)直線/的普通方程為y=-百x+3,即&+y-3=0,

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，x^pcosff,p2=x2+y2,

而/?=4cosd,則"=4pcose,

即(X-2)2+/=4,

故直線1的普通方程為Gx+y-3=0,

曲線C的直角坐標(biāo)方程(X—2>+V=4

(2)點M(0,3)在直線/上，且直線/的傾斜角為120°,

1

x=——t

2

可設(shè)直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù)),

尸3+彳，

代入到曲線C的方程得

產(chǎn)+(2+3鬲+9=0,4+，2=-(2+3我，科=9,

由參數(shù)的幾何意義知焉總=5+1=牛)=2今后.

\MA\\MB\|r,||r2|『訪|9

【點睛】

熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線/的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，難度一般.

,,_|

21.(1)??=2/7-1；bn=2(2)(“-1)x2--〃(；+1)+2

【解析】

3x2

⑴設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為4由%=53可得,q+4d=3q+《一d,由4=4=1即可解得d=2,故=2〃-1,由

%+4=15，即可解得夕=2,進而求得“=2"-'.

(2)由(1)得，鼠"=￡￡二1=〃.2"_”,利用分組求和及錯位相減法即可求得結(jié)果.

nn

【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列也｝的公比為g,

3x2

由%=S3可得，a1+Ad-3a,+d,

整理得24=d,即d=2,

故a“=2/1-1,

由%+”=15可得4=8,則刖3=8,即q=2,

故"=2"工

(2)由(1)得，S“=〃2,1=2"-1,

故\----L=n-2”—n，

nn

所以，數(shù)列1號的前”項和為(1X2、2X22+…+〃x2")—(1+2+…+〃),

設(shè)修=lx2l+2x22+…+(〃-l)x2"T+〃x2"①,

則2月=lx22+2*23+…+(〃-l