2-d連續(xù)-離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的平衡實現(xiàn)

2-d連續(xù)-離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的平衡實現(xiàn)

1-d連續(xù)-離散系統(tǒng)的平衡實現(xiàn)2-d系統(tǒng)是一個動態(tài)過程，需要基于兩個獨立變量的兩個獨立變量。它廣泛應用于數(shù)字濾波、數(shù)據(jù)處理和非線性控制。2-D連續(xù)-離散系統(tǒng)是2-D系統(tǒng)的一個重要分支,對于這一分支,學者們作了一些工作,但是多集中在能達性、漸近穩(wěn)定性、最小能量控制及離散化問題的研究,其它方面的研究較少。2-D連續(xù)-離散系統(tǒng)屬于多變量控制系統(tǒng),在工程實際中如果用簡化的低階模型進行分析與設計,無疑是很方便的。本文從系統(tǒng)的局部能達性、局部能觀性出發(fā)得到了系統(tǒng)的一種新的實現(xiàn)——平衡實現(xiàn)。這一實現(xiàn)的能達Gramian陣、能觀Gramian陣相等且為對角陣。平衡實現(xiàn)的第i個狀態(tài)分量的重要性可以由這一對角陣的第i個對角元素所度量。因此,去掉平衡實現(xiàn)系統(tǒng)弱能達、弱能觀的部分,而那些能達、能觀程度較強的狀態(tài)子空間就可作為原系統(tǒng)的一個低階近似,從而得到2-D連續(xù)-離散系統(tǒng)平衡模型降階。2t,b,c系統(tǒng)平衡模型考慮如下2-D連續(xù)-離散系統(tǒng)˙x(t,k+1)=A1x(t,k+1)+A2x(t,k)+Bu(t,k),y(t,k)=Cx(t,k)(1)t∈R+,k∈Z+,且Reλ(A1)<0,|λ(A2)|<1。邊界條件:x(t,0)=x0(t),t∈R+,x(0,k)=x0(k),k∈Z+為已知的,其中x(t,k)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài),˙x(t,k)=?x(t,k)?t?y(t,k)∈Rp為系統(tǒng)輸出,u(t,k)∈Rm為系統(tǒng)輸入。A1,A2,B,C分別為各具適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。R+與Z+分別為非負實數(shù)和非負整數(shù)的集合。為分析問題的方便將系統(tǒng)(1)記為(A1,A2,B,C),下面尋求這一系統(tǒng)的平衡模型降階方法。首先給出以下引理及定理設M(t)∈Cm[0,t1],LM,t1:Cm[0,t1]→Rr是由?t10M(t1-τ)u(τ)dτ定義;HM,t1:Rm→Cr[0,t1]是由ηˉ(t)=Μ(t)ωˉ?0≤t≤t1定義,則以下引理成立。引理1設WM,t1為W2Μ,t1=?t10M(t)MT(t)dt的平方根矩陣,則Im(LM,t1)=Im(WM,t1),Ker(HM,t1)=Ker(WMT,t1)。引理2設ρ-η∈Rr為ηˉ=WΜ,t1ρη的最小范數(shù)解,u-η(t)∈Cm[0,t1](最小L2范數(shù))滿足ηˉ=?t10Μ(t1-τ)u-η(τ)dτ,則∥ρ-η∥2=?t10∥u-η(t)∥2dt定理1若存在s∈C使得det[sI-A1]≠0,則系統(tǒng)(1)的狀態(tài)響應為x(t,k)-X(0,k)=M(t,k)*U(t,k)式中:符號“*”——卷積,Μ(t,k)=[eA1tB?eA1tA2*?eA1tA2*eA1tB]U(t,k)=[u(t,k-1)u(t,k-2)?u(t,0)]X(0?k)=eA1tx(0,k-1)+?+eA1tA2*eA1tA2*eA1tA2?eA1tA2*eA1tx(0,0)3復歸t,k2.定義1在矩形域[T,K]=∶{(t,k)∈R+×Z+∶0≤t≤T,0<k≤K}內(nèi)稱2-D系統(tǒng)(1)為局部能達的系指對任意的邊界條件及任意的目標狀態(tài)xf∈Rn都存在輸入序列u(t,k),t∈[0,T],k∈[0,k-1],使得x(T,K)=xf。定理2若系統(tǒng)(1)在矩形域[T,K]=∶{(t,k)∈R+×Z+∶0≤t≤T,0<k≤K}內(nèi)局部能達,則①存在正交變換U使得ˉW2d(Τ,Κ)=UW2d(Τ,Κ)?UΤ=diag(σ2d1)(Τ,Κ),??σ2dn(Τ,Κ));②?Τ0∥u2∥2dt?Τ0∥u1∥2dt≥σ2di(Τ,Κ)σ2di+1(Τ,Κ)∥xd2(Τ,Κ)∥2∥xd1(Τ,Κ)∥2式中:σ2di(T,K)≥σ2di+1(T,K)>0,i=1,2,…n-1;xd(T,K)=Ux(T,K)∈Rn,xdi(T,K)∈Rni(i=1,2;n1+n2=n;W2d(T,K)=?Τ0Md(t,K)MTd(t,K)dt,u1,u2∈RKm分別滿足[xd1(Τ,Κ)0]-Xd(0,Κ)=?Τ0ˉΜd(t-τ,Κ)?U(τ,Κ)dτ和[0xd2(Τ,Κ)]-Xd(0,Κ)=?Τ0ˉΜd(t-τ,Κ)?U(τ,Κ)dτ且u1,u2的L2范數(shù)最小,ˉΜd(t,Κ)=UΜd(t,Κ)。證明系統(tǒng)(1)局部能達,則由文獻知Md(t,K)行滿秩,所以①成立。不失一般性,設Xd(0,K)=0,則由定理1知[xd1(Τ,Κ)xd2(Τ,Κ)]=?Τ0ˉΜd(t-τ,Κ)U(τ,Κ)dτ。設ρi=[ρi1ρi2]?ρi1∈Rn1,ρi2∈Rn2,i=1,2分別為[xd1(Τ,Κ)0]=ˉWd(Τ,Κ)ρ和[0xd2(Τ,Κ)]=ˉWd(Τ,Κ)ρ的最小范數(shù)解。由于系統(tǒng)(1)局部能達,所以ρ12=ρ21=0。由引理2知‖ρi‖2=?Τ0‖ui‖2dt,i=1,2。所以‖xd1(T,K)‖2≥σ2di(T,K)‖ρ11‖2=σ2di(T,K)‖ρ1‖2=σ2di(T,K)?Τ0‖u1‖2dt‖xd2(T,K)‖2≤σ2di+1(T,K)‖ρ22‖2=σ2di+1(T,K)‖ρ2‖2=σ2di+1(T,K)?Τ0‖u2‖2dt定理2中②成立。4局部能觀u0t0t0t0k定義22-D系統(tǒng)(1)稱為局部能觀系指在x(T+t,K)=0,x(T,K+k)=0,t∈R+,k∈Z+的假設下,系統(tǒng)的任意局部狀態(tài)x(T,K)均可由未來的輸入輸出{u(t,k)y(t,k),t≥Tk≥K}唯一確定。定理3若系統(tǒng)(1)在矩形域[T,K]=∶{(t,k)∈R+×Z+∶0≤t≤T0<k≤K}局部能觀,則①存在正交變換U,滿足ˉW2o(Τ,Κ)=UW2o(Τ,Κ)UΤ=diag(σ2o1(Τ,Κ),??σ2on(Τ,Κ));②取(T,K)=(0,0),有?Τ0∥y1∥2dt?Τ0∥y2∥2dt≥σ2oi(Τ,Κ)σ2oi+1(Τ,Κ)∥xo1(0,0)∥2∥xo2(0,0)∥2式中:σ2oi(Τ,Κ)≥σ2oi+1(Τ,Κ)>0,i=1,2,??n,W2o(Τ,Κ)=?Τ0ΜΤo(t,Κ)Μo(t,Κ)dt?Μo(t,Κ)=[CeA1t??t0eA1(t-τ1)A2??τΚ-20eA1(τΚ-2-τΚ-1)A2dτ1?dτΚ-1]?xo(Τ,Κ)=Ux(Τ,Κ)∈Rn?xoi(Τ,Κ)∈Rni?i=1,2且n1+n2=n,y1、y2為零輸入時,初始狀態(tài)xo(0,0)分別取[xo1(0,0)0]和[0xo2(0,0)]時的輸出響應,xo1(0,0)∈Ri,xo2(0,0)∈Rn-i的列向量。5sbt1vtd,vd1/2定理4任給系統(tǒng)(1),則存在可逆變換P使得P-1W2d(P-1)T=PTW20P=diag(σ21,…,σ2n,),σ2i≥σ2i+1≥0,i=1,2,…,n-1,且稱實現(xiàn)(?A1,?A2,?B,?C)為系統(tǒng)(1)的平衡實現(xiàn),其中W2d=limΤ→∞Κ→∞W2d(Τ,Κ),W2o=limΤ→∞Κ→∞W2o(Τ,Κ),?A1=Ρ-1A1Ρ,?A2=Ρ-1A2Ρ,?B=ΡB,?C=CΡ。證明因為W2d≥0,W2o≥0,所以?酉矩陣Vd,Vo有W2d=VdΣ2dVTd,W2o=VoΣ2oVTo,Σ2d與Σ2o為對角形矩陣。取L=VdΣd,設UTLTW2oLU=Λ2,Λ=diag(σ21,σ22,…,σ2n)。則當P=LUΛ-1/2=VdΣdUΛ-1/2時,P-1W2d(P-1)T=Λ1/2UTΣ-1dVTd(VdΣ2dVTd)VdΣ-1dUΛ1/2=ΛPTW2oP=Λ-1/2Λ2Λ-1/2=Λ定理4成立。在定理4中,當σi>>σi+1,且σi+1很小時,將系統(tǒng)的平衡實現(xiàn)(?A1,?A2,?B,?C)分塊寫為˙?x(t,k+1)=[?A111?A112?A121?A122]?x(t,k+1)+[?A2111?A2112?A221?A222]?x(t,k)+[?B1?B2]?u(t,k)y(t,k)=??C1?C2??x(t,k)從而得到降階模型˙?x1(t,k+1)=?A111?x1(t,k+1)+?A211?x1(t,k)+?B1u(t,k)y1(t,k)=?C1?x1(t,k)式中:?x1(t,k)∈Ri,˙?x(t,k)=??x(t,k)?t,y1(t,k)∈Rp。6原系統(tǒng)的平衡實現(xiàn)和降階已知2-D連續(xù)-離散系統(tǒng)˙x(t,k+1)=[-1-100-1-40000-2-1000-3]x(t,k+1)+[-0.40.1000.2-0.60000-0.20.100-0.1-0.3]x(t,k)+u(t,k)y(t,k)=x(t,k)對其進行平衡模型降階。求得變換Ρ=[1.137740.00565291-0.283627-0.115897-0.2169230.861343-0.771147-0.4139540.09092630.3820740.514093-0.2749390.09541250.3668760.4598730.520692]得到系統(tǒng)的平衡實現(xiàn)為˙?x(t,k+1)=[-0.810614-0.593620.0414597-0.0202317-0.533775-3.614190.7434310.0699563-0.008608830.598123-3.50164-1.10059-0.01748920.0132735-0.0883666-2.07355]·?x(t,k+1)+[-0.44490550.108053-0.0580106-0.03033020.193679-0.4719220.1146730.0970416-0.1012310.182905-0.2835910.0165108-0.0372071-0.133583-0.183393-0.295432]·?x(t,k)+[3.479771.94397-0.1096760.0100391]u(t,k)y(t,k)=[3.478041.99413-0.1881880.00480058]?x(t,k)平衡實現(xiàn)的能達、能觀陣為?W2d=?W2o=diag(9.61064,0.586985,0.00543648,0.00188657)刪除較小的對角線元素所對應的狀態(tài)分量,從而得到降階模型x^˙(t,k+1)=[-0.810614-0.59362-0.533775-3.61419]·x^(t,k+1)+[-0.44490550.1080530.193679-0.471922]·x^(t,k)+[3.479771.94397]u(t,k)y(t,k)=[3.478041.99413]x^(t,k)原系統(tǒng)的階躍響應和降階后的階躍響應分別如圖1、圖2所