2021江蘇省三校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試題含答案解析

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江蘇省三校聯(lián)考（新高考）數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試題含答案解析

2021屆高三年級(jí)三校聯(lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上

秘

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知（c/i）n8=0,則下面選項(xiàng)中一定成立的是

A.A^\B=AB./n8=BC.D.A［）B=R

【答案】B

2.已知/是虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)-2+i和1-3,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離是

A.>/5B.710C.5D.25

【答案】C

3.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與弩馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，良

馬初日行一百零三里,日增十三里；弩馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎弩

馬，九日二馬相逢，則長(zhǎng)安至齊

A.1120里B.2250里C.3375里D.1125里

【答案】D

4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去巴城老街、干燈古鎮(zhèn)、周莊游玩，每人只能去一個(gè)地方，

周莊一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為

A.60B.65C.70D.75

【答案】B

5.已知4B是圓。：t2+/=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，卜道，OC=3OA-2OB,M為線段

/仍的中點(diǎn)，則1?兩的值為

11c33

A.-B.-C.-D.一

4242

【答案】A

6.雷達(dá)是利用電磁波探測(cè)目標(biāo)的電子設(shè)備.電磁波在大氣中大致沿直線傳播.受地球表面曲率的

影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離

L=^（R+h^-R2++=S跖+月+,2火色+片，其中九為雷達(dá)天線架

設(shè)高度，色為探測(cè)目標(biāo)高度，R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、

折射等因素，R等效取8490%"?，故R遠(yuǎn)大于九，公假設(shè)某探測(cè)

目標(biāo)高度為25m,為保護(hù)航母的安全，須在直視距離390如，外探

測(cè)到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警,則艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為

（參考數(shù)據(jù)：72x8.49=4,12）

A.6400/7?B.7200mC.8100/wD.lOOOOw

【答案】C

7.下列圖象中可以作為函數(shù)/（幻=（金-14OSX部分圖象的是

【答案】B

［解析】/（、）=靂3為奇函數(shù)，排除A，C

當(dāng)x*國時(shí)，f（x）＜0，故選B

8.已知函數(shù)/(x)=*-2孚+1,(&LO);函數(shù)g(x)=xlnx;若歹(x)±2g(x),對(duì)

KX

Dxe(0,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

A.U,+8)B.[e,+8)C.—,+cc^D.—,+oc^j

【答案】D

【解析】Aefa-^^+A>2xln^=>fctefa-21n^+fcr>2x2lnx(*)

x

=>Ax(efa+1)>lnx2(x2+1)=Injc2-(e1"^+1)

令尸(x)=x(e*+l),F(kx)>F(lnx2)

由(*)式知顯然A>0,當(dāng)Inx?40時(shí)，不等式顯然成立

當(dāng)lnW>0時(shí),Sfcr,lnx2>0,尸(x)在(0,+?))上/

Ax>Inx2=2InJC=>A>[2-I=—,故選D.

kx人赳e

二、選擇題：本題共4小時(shí),每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得o分.

9.新高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試(合格考)和選擇性考試(選擇考)，

其中"選擇考"成績(jī)將計(jì)入高考總成績(jī)，即將學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)由高到低進(jìn)行排序，

評(píng)定為48,C,Q,E五個(gè)等級(jí)，再轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)計(jì)入高考總成績(jī).某試點(diǎn)高中2020年參加"選

擇考"總?cè)藬?shù)是2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生"選擇考"

的水平情況，統(tǒng)計(jì)了該校2018年和2020年"選擇考"成績(jī)等級(jí)結(jié)果，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖

年讀住竽業(yè)*甲法與iXttlK統(tǒng)計(jì)

E等筌器

針對(duì)該?！斑x擇考"情況，2020年與2018年比較，下列說法正確的是

A.獲得/等級(jí)的人數(shù)增加了

B.獲得8等級(jí)的人數(shù)增加了15倍

C.獲得。等級(jí)的人數(shù)減少了一半

D.獲得E等級(jí)的人數(shù)相同

【答案】AB

10.A/1BC中，。為邊4C上的一點(diǎn)，且滿足而=g反,若尸為邊8。上的一點(diǎn)，且滿

足萬=mAB+nAC(m>0,n>0),則下列結(jié)論正確的是

A.m+2n=\B.mn的最大值為—

12

4Ip-1

C.—+-的最小值為6+4V2D./M2+9n:的最小值為-

mn2

【答案】BD

11.已知函數(shù)/(x)=|cosx|Tsin|x||,下列說法正確的是

A.f(x)是偶函數(shù)B./(x)是周期為n的函數(shù)

C.〃x)在區(qū)間(天費(fèi))上單調(diào)遞減D./(x)的最大值為正

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,由/(r)=|cosx|Tsin|M=/(x)知/(x)為偶函數(shù)，A正確；

對(duì)于B,f(x+n)=|cos(x+^)|-|sin|jf+^-||=|cosx|-|sin|JC||=f(x),，B正確；

對(duì)于C,當(dāng)時(shí),/(x)=-cosx+sinx=五sin(x-彳),

.?./。)在(T,?［上單調(diào)遞減，C正確；

對(duì)于D,顯然/(x)的最大值為1,D錯(cuò)誤

故選ABC

12.已知正方體ABCD-43C。的棱長(zhǎng)為4,M為DD,的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上

一動(dòng)點(diǎn)，M為43。4所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，且MV1，平面4BCQ,則下列命題正確的是

兀"1

A.若MN與平面所成的角為-,則點(diǎn)N的軌跡為圓-------------

B.若三棱柱NAD-M4A的表面積為定值，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓f.w

C.若點(diǎn)N到直線與直線QC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線:)

D.若"N與48所成的角為;,則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,在底面ABCD的射影為ZMND，則

ITI。

^MND=-,:.DN=DM=2不-------

??.N在以。為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，A正確；

對(duì)于B,如圖建系，設(shè)N(xj)油題意知,4(0,0),。(0,4)

.,.4jW+V+4jW+(y-47+16+4區(qū)為定值,即

乂4+即+汽石為定值，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由題意知8(4,0),NB=yJ(x-4)2+y2,/.V(^-4)2+/=|y-4|

Qy_y.2

N的軌跡方程為y=——為拋物線，C正確；

o

對(duì)于D,在民?；A(chǔ)上加上以441方向?yàn)槎S,此時(shí)。(0,4,4),N(xj,0)

48=(4,0,0),Q]N=(x,y-4,-4)

=>3x2-3-4)2=16

4次+(3-4)2+16

式-空=LN軌跡為雙曲線’D正確

3

故選ACD

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.在產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)中，已知某產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X~N(100,102)，且110<X<120的

產(chǎn)品數(shù)量為5436件.請(qǐng)估計(jì)該批次檢測(cè)的產(chǎn)品數(shù)量是_________件

參考數(shù)據(jù)：一。<X=0.6826,P(p-la<X<p-v2cr)=0.9545,

尸(〃-3a<X<p+3cr)=0.997

【答案】40000

14.已知函數(shù)/(幻滿足：/(x)=/(2-x)=-/(2+x),則符合題意的一個(gè)/(x)的解析式

可以為__________

0=0,/(x)=sin(5x)籌

【答案】答案不唯一，f(.

15.在四面體/8CZ)中，AB=五，DA=DB=CA=CB=\,則四面體ABCD的外接球

的體積為__________

【答案】當(dāng)

3

【解析】取43中點(diǎn)E,貝\EA=EB=EC=ED=—,/\；\....-V

B41&后“乙二5^\/

二四面體外接球的半徑為］丁，體積為三江?索?刀一二一—

Z3ZZJ3c

x2y

16.已知雙曲線C：一—=!=l(b>0)，若在直線/:x+y+2=0上滿足：端P能

4b

向雙曲線。引兩條互相垂直的切線,，則雙曲線C的離心率取值范圍是__________

【答案】“用

B/

【解析】設(shè)過尸點(diǎn)且與雙曲線相切的直線方程為

y=k(x-xa)+ya,ya=-x0-2

I；**：；!；；n6丫-4丁，-2X/+x；)+y；+2A0y0(x-x0)]=4/

(b2-4k2*+(8A\-8?o)x-4k?x；-4y：+8h訊-4/=0

222

A=64(A\-koyo)+4(〃-4A)(4Ax^+44-Skxoyo+4^)=0

2222

4(kxu-ky0)+(b-4A2)(/*+頁-2kx0y、+b)=0

222224

4(%與：-2k\y0+ky-)+bx1k+by^-2kbxoyo+b-4Ax—A/

322

+SxQyok-4kb=0

22224

(b飛-4b)k-2bxoyok+by^+b=0

(x；-4)公-2x0y0k+*+/=0,兩根設(shè)為kt,k2

二"+從

=-1n(x0+2)2+/=4-^0

x；-4

x；+4x°+4+〃=4-x；,2x；+4xo+b2=O看成關(guān)于看的方程

A=16-8f?2>0=>0</>2<2

，雙曲線C離心率e=坪=何4用

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17(10分應(yīng)①(a+b)(a-b)=(a-c)c，②2a-c=26cosC,(§)>/3(a-bcosC)=csinB

三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題

在A4BC中，內(nèi)角48c的對(duì)邊分別是。也c,且滿足6=2百

(I)若a+c=4,求AJBC的面積；

(2)求。+。的取值范圍

【解析】

22?21

若選①，由題意(a+b)(a-b)=(a-c)c,化簡(jiǎn)得一二-

2ac2

即cosB,0<B<不，得B=%

23

(I)由余弦定理6=(a+c):-2ac-2accosB，得12=4?-lac-lac?—,

的/曰41?1?乃G

解彳導(dǎo)ac=—,S=—crcsinn=-xsin—=——.

32233

(2)由正弦定理'一=上=上一=半=4,又因?yàn)?lt;+。=生,

sinJsinesin8，33

~T

所以a+c=4(sin力+sinC)=4sin力+sin

=4^3—cosJ+—sinJ=4>^sinfj+—1,

22I6J6

因?yàn)?<<<且，—<J+—<—,sinf^+—^^—,1,Q+CW(20,46]

3666I6J12

若選②，由2a-c=26cosC,

彳導(dǎo)2sin力一sinC=2sinBcosC,2sin(B+C)-sinC=2sinBcosC,

化簡(jiǎn)得2cos8sinC=sinC，彳導(dǎo)cosB=',0<8<乃，得B=三

23

以下與選①同

若選③，由行(。一6cosc)=csin8，得力(sin4一sinBcosC)=sinCsinB,

即由[sin(3+C)—sin8cosC]=sinCsin3，化簡(jiǎn)得tanB=g,0<8〈萬，

得8=3以下與選①同

18.（12分）設(shè)｛4｝是等比數(shù)列,公比大于0,他｝是等差數(shù)列，已知%=1,%=%+2,

a4=b3+b5,%="+2b6

（1）求應(yīng)｝和低｝的通項(xiàng)公式;

fi3*<M<3A+,

（2般數(shù)列｛%｝滿足9=,2=1￡=［；“_3+其中*N?求數(shù)列｛%0-1）｝

的前〃項(xiàng)和

【解析】

(1)a,=1,Oj=%+2ng2_g_2=0

解得q=2或q=7(舍)

4+4=824+6d=84=1

所以4:2”一34+134=160

bA+2b6-16J=1

所以〃二，

(2)%=3〃，Cy=%=2J,.?.％=2R

B

br<cy-1)=3"(2"-'-1)=3x6"-'-3

設(shè)S"=(3x6°-3i)+(3x6i-32)+(3x62-33)+“?+(3x6"T-3")

=(3X6°+3X6'+3X62+-+3X6"-,)-(3I+32+-+3")

3：JX(1-6")3x(l-3")3x6"3"、9

-x-r+w

19.(12分)如圖，三棱錐S-48C的底面48C和側(cè)面SBC都是等邊三角形，且平面SBC1

平面4BC

(I)若尸點(diǎn)是線段”的中點(diǎn)，求證："±平面P8C;

(2)點(diǎn)0在線段”上且滿足月,求80與平面S/C所成角的正弦值§

【解析】/'\

(1)因?yàn)锳/J3C和A58c都為等邊三角形，且有公共邊3C,QJy^J.c\

PHVAAB=SB=BC=AC=SC

因?yàn)槭瑸镾4的中點(diǎn)，所以S413P,S4_LCP,|z

又因?yàn)锽PRCP=P，所以S41平面P8C

(2)取8(7的中點(diǎn)。，連接。40S,由條件可得O45C0S兩兩垂直/：l\

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方，而，方的方向分別為X,%二軸的正方向\

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

B

X

設(shè)力8=2,則/O=OS=G,

則點(diǎn)/(C,0,0),8(0,1,0),C(0,-l,0),5(0,0,5/3),Q當(dāng),0堂

所以思=(6,1,0),&4=(V3,0,->/3),麗=(乎-1,用

設(shè)平面S4C的一個(gè)法向量為〃=(x,y,二)，

則，上一,+:°',令x=l,可得3=(1,-遙,1)

n-SA=->J3x-V3z=0,

設(shè)5。與平面S/C所成角為。,

0+乎

3710

sin。=|cos^BO,卜

10

xx/1+3+1

20.(12分)在新的高考改革形式下，江蘇、遼寧、廣東、河北、湖南、湖北、福建、重慶八

個(gè)省市在2021年首次實(shí)施"3+1+2”模式新高考為了適應(yīng)新高考模式,在2021年I月23

日至1月25日進(jìn)行了“八省聯(lián)考"，考完后，網(wǎng)上流傳很多種對(duì)各地考生考試成績(jī)的評(píng)價(jià)，對(duì)

12種組合的選擇也產(chǎn)生不同的質(zhì)疑為此，某校隨機(jī)抽一名考生小明(語文、數(shù)學(xué)、英語、物

理、政治、生物的組合)在高一選科前某兩次六科對(duì)應(yīng)成績(jī)進(jìn)行分析，借此成績(jī)進(jìn)行相應(yīng)的推

斷下表1是小明同學(xué)高一選科前兩次測(cè)試成績(jī)(滿分100分)：

語文數(shù)學(xué)英語物理政治生物

第一次879291928593

第二次829495889487

(I)從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取I科，求該科成績(jī)大于90分的概率；；

(2)從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成

績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)(滿分100分)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如下表2所示：

語文數(shù)學(xué)英語物理政治生物6科成績(jī)均值6科成績(jī)方差

第一次

q。2%%演

第二次bbx

a2b、b、f42D2

將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為。，有一種觀點(diǎn)認(rèn)

為：若*=<D2,能推出D,<D}<D2則有理由認(rèn)為"八省聯(lián)考"考生成績(jī)與選科有

關(guān)，否則沒有理由否定12種選科模式的不合理性，即新高考模式12種選科模式是可取的假

設(shè)這種觀點(diǎn)是正確的，通過表2內(nèi)容，你認(rèn)為新高考模式12種組合選科模式是否可取？

【解析】

(I)共有6科成績(jī)，其中成績(jī)大于90分的有數(shù)學(xué)、英語、物理和生物共4科，

所以從張明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取I科，該科成績(jī)大于90分的概率為24=:2

(2)X的所有可能取值為：0,1,2,

P(X=0)=第弓，尸(X=l)=尸(『)=也」

叱2，(

所以X的分布列為:

X012

1

P

623

1117

數(shù)學(xué)期望￡(X)=0x—+lx—+2x-=—

(3)設(shè)玉=/，則4+/+…+&=4+4+…+4=6x,

則6。[=(q-x)2+(%-4+…+(4-"

=。；+a；+…+%—2(<7]+生+…+4)x+6x~=a；+a：+…+Q；—12x~+6k

=a；+用+…+a；—6x.i

同理可得63=b-…-6/,

62=（等J+（叫+.??+（哨-6/.

因?yàn)椤＃肌?，所以+…+《＜月+片+…+4，

所以6?！?0,=（怨j++…+_（］+a；+…+蛇）

=—4）（"+3aJ+（^2—"?），壇+、日2）+?..+-4X也+306）的符號(hào)不確定,

444

所以4與與無法比較大小，

6。廣62=（粵］+（空］+…+（乎）〔而+后+…+幻

〈立尤+公出+…+婦生:+M+…+3

222'1267

=a；+a；+…+a：（6；+*+…+硝

所以，

綜上所述由$=x?,￡）,＜￡）,,推不出。V。34a

故新高考模式12種組合選科模式是可取的

21（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)點(diǎn)Q在橢圓上，且FQLFP

（I）若橢圓的離心率為;,短軸長(zhǎng)為2』

①求橢圓的方程；

②若直線。。/0的斜率分別為3片,求&我的值；

（2）若在x軸上方存在P,。兩點(diǎn)，使。,￡尸,。四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍

【解析】解析一：

（1）①設(shè)橢圓的焦距為2c,

—C——1

a2'

a=2,

由題意，得2b=2瓜所以

b=y/3.

a2=b2+c2,

所以橢圓的方程為±+!=1

43

②由①得，焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線為x=4,

解析1：

/v21

設(shè)P(4j),0(%,%),則乎+勺=1,所以火=3-9.

434

所以苑=(3T%),而=(3,，),

因?yàn)镕PLFQ，所以國?而=3(x0-l)+%=0,

所以-%=3(X()-1).

解析2:

設(shè)。際%),則今+4=1,所以尤=3-白,

當(dāng)XH1時(shí)，直線F。存在斜率，貝必做=工4，

又FPLFQ，所以直線程的方程為、=-上二■(x-1),

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為f4,—3(獷1)]

I%J

3(x0-1)3

所以4.k2=---%—=乂；：3(%-1)=3歐+3*01)=-3；

X。x0-4x0-4x0x0-4x04

當(dāng)x=l時(shí)，點(diǎn)2的坐標(biāo)為,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,0），也滿足4.&=-：，

所以4.質(zhì)的值為

（2）解析一:

，。（工0，%），因?yàn)槭?

則AO0的外接圓即為以PQ為直徑的圓(jr-xo)+(y-/)(y-jo)=O

(c-Xo)+伙=0,

由題意，焦點(diǎn)/，原點(diǎn)。均在該圓上，所以

2

a八

—x0+%=0

c

消去仍得C---（C-X。）-----xo=0，所以Xo=C----

因?yàn)辄c(diǎn)尸,。均在X軸上方，所以一"C-區(qū)'<c,即C?+雙一。2>0,

所以/+-1>0，又因?yàn)?<e<l,

所以^^<e<

1

2

解析二：

因?yàn)镺,F,P,。四點(diǎn)共圓且尸,所以P0為圓的直徑，

所以圓心必為尸。中點(diǎn)A/,

又圓心礴。尸的中垂線x=］上，

所以圓心M的橫坐標(biāo)為x“=1,

22

所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為XQ=2X?--=C--（以下同方法I）.

解析三：

⑴哈”=

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為片+片=1

43

②橢圓右準(zhǔn)線方程為工=4,F(1,O)

設(shè)小明四⑴%％1若?昌=!亨+力

則占生=紜維”j：：3x0-3

-%x0-4x?-4x0x：-4xo

K+3X「33%-2二3

x：-4xox：-4xo4

(2)-.-O,F,P,Q四點(diǎn)共圓且尸P1FQ

.?.P。為圓的直徑

.?.圓心必過P。中點(diǎn)”(x。,%),又?.?圓心也在線段。尸的中垂線x=］上，

ccT

???%=7,/.X=C-----

2Qc

?.,尸,0均在x軸上方，「.一。<。----<c,

c

=>c2+ac-cr2>0=>e2+e-l>0=>