2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題原卷

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好

條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

Z

1,若z=T+V§i,則z，一］（）

A.-1+y/3iB.-1—C.1----iD.-------i

3333

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓

他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正

確率如下圖：

95%

90%?............?.............-*..............

糖85%....?.............?...?.......*---?....

售80%.........*..........................*?....*講座前

田75%............*..............?講座后

70%.........................................

65%*..................*........................

....*........水.............................

II1I1111II.

12345678910

居民編號(hào)

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.設(shè)全集U={-2,—1,0,1,2,3},集合N={-1,2},5={X|二一4%+3=0},則名（4集5）=（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為

5.函數(shù)丁=（3'-3-?）cosx在區(qū)間一卦的圖象大致為（）

6.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)

A.-1

7.在長方體N3CZ)-4ACQ中，已知片。與平面/BCO和平面所成的角均為30。，則()

A.AB=2ADB.與平面所成的角為30°

C.AC=CB]D.8Q與平面88。。所成的角為45。

8.沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，

是以。為圓心，0/為半徑的圓弧，C是的中點(diǎn)，。在力8上，CD1AB.“會(huì)圓術(shù)”給出4s的弧

2

長的近似值s的計(jì)算公式：s=NB+*CD.當(dāng)O4=2,NNO8=60°時(shí)，s=()

OA

A11-373R11-473?9-373n9-

A.----------------D.-----------------C.-------------LJ.---------------

2222

9.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為

際c%

幅和七.若《-=2,則/=()

,乙，乙

A.V5B.272C.MD.

10.橢圓。：馬+二=1(。>6>0)的左頂點(diǎn)為4點(diǎn)產(chǎn)，。均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線ZP,/。

ah

的斜率之積為1，則c的離心率為()

11.設(shè)函數(shù)/(x)=sin<yx+g在區(qū)間(0,兀)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

5135191381319

A.B.D.

3,63'67566

3111

12.已知。=一,Z?=cos—,c=4sin—,貝ij()

3244

A.c>h>aB.h>a>cC.a>b>cD.a>c>h

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)向量區(qū)的夾角的余弦值為;，且忖=1,b=3,則+=

14.若雙曲線V-g=i(相＞o)的漸近線與圓/+/一4夕+3=()相切，則加=

15.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

AT

16.己知VZ8C中，點(diǎn)。在邊8C上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)——取得最小值時(shí)，

AB

BD=.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

25

17.記S?為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.已知—+〃=2%+1.

77

⑴證明：血｝是等差數(shù)列;

(2)若4,%，a9成等比數(shù)列，求的最小值.

18.在四棱錐P—N8C。中，PD上底面4BCD,CD〃4B,4D=DC=CB=l,4B=2,DP=m.

(1)證明：BD工PA；

(2)求與平面P/8所成的角的正弦值.

19.甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0

分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.己知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分

別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

20.設(shè)拋物線。：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為居點(diǎn)。(2,0),過尸的直線交C于N兩點(diǎn).當(dāng)直線

垂直于X軸時(shí)，|A/E|=3.

(I)求C的方程；

(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為48,記直線的傾斜角分別為a,￡.當(dāng)a-￡

取得最大值時(shí)，求直線的方程.

X

21.已知函數(shù)/(%)=--lnx+x-a.

(1)若/(x)20,求a的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)和％，貝

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

'2+t

X-

22.在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為J6a為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程為

2+s

x=--------

<6(s為參數(shù)).

)=一&

(1)寫出G的普