2022北京東城高三三模數(shù)學(xué)（教師版）

2022北京東城高三三模

數(shù)學(xué)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.已知集合A={x|x<l},B={x|0<x<2},則()

A.1%|0<x<11B,<%<2}C.{x|x<l}D.1x|x<21

l_3i_

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=——，則I對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在公差不為零的等差數(shù)列也｝中，若3a“「=%+%+a3，則加=（）

A.1B.2C.3D.4

4.下列函數(shù)中最小正周期不是兀的周期函數(shù)為（）

A.y=sin|x|B.^=|sinx|C.y=cos|x|D.y=|tanx|

5.如圖，在正方體ABC?！狝AG2中，E,F分別為CG,UG的中點(diǎn),則下列直線中與直線BE相交的是

A.直線AFB.直線AD}C.直線GAD.直線A4

6.已知直線y=—與圓。：/+,2=4交于AB兩點(diǎn)，且。1LQB,則左=（）

A.V2B.±V2C.1D.±1

7.若某地區(qū)60歲及以上人群的新冠疫苗全程（兩針）接種率為60%,加強(qiáng)免疫接種（第三針）的接種率為36%,

則在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人，此人完成了加強(qiáng)免疫接種的概率為（）

A.0.6B.0.375C.0.36D.0.216

8.已知￡,B是兩個(gè)非零向量，則“存在實(shí)數(shù)義，使得坂=丸￡”是“口+耳=問—W的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和為S“，若q=l,S“e｛l,2,3｝,則｛q｝中的項(xiàng)不可能為（）

A.0B.-1C.-2D.-3

10.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需

要30min.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)，min后距離地面的高度為”m,則在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的

過程中，高度”關(guān)于時(shí)間，的函數(shù)解析式是（）

A.H=55cos(「，-/)+65(0</<30)

-rr-rr

B.”=55sin(—?--)+65(0<Z<30)

jrjr

C.H=-55cos(—Z+y)+65(0<r<30)

jrjr

D.//=-55sin(—Z+-)+65(0<^<30)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在（V—工）5的展開式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

X

2

12.雙曲線=1的離心率為；設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過C的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與C的

3

兩條漸近線分別交于RQ兩點(diǎn)，則^OPQ的面積為.

13.能說明“若sina=cos4，則a+/=h360+90,其中攵eZ”為假命題的一組。，夕的值是—.

14.某超市在“五一”活動(dòng)期間，推出如下線上購物優(yōu)惠方案：一次性購物在99元（含99元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；

一次性購物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；一次性購物在299元（不

含299元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏和小昭在該超市購物，分別挑選了原價(jià)為70元和280元商品，如果

兩人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他們分別支付節(jié)省的錢，按照兩人購買商品原價(jià)的比例分配，

則小敏需要給小昭元.

15.已知函數(shù)/（%）=2兇+/+0.

①對(duì)于任意實(shí)數(shù)“，f（x）為偶函數(shù)；

②對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，/（幻在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+℃）上單調(diào)遞增;

③存在實(shí)數(shù)a,使得了(x)有3個(gè)零點(diǎn)；

④存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式/(%)>2022的解集為(―8,-1]U工+8).

所有正確命題的序號(hào)為.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在△A5C中,sinA:sin8:sinC=2:3:4.

(1)求NC；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上中線的

長.

條件①：a+b=5-,條件②：c=^b；條件③：△A8C的面積為更.

32

注：如果選擇條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.如圖，在正三棱柱ABC-44cl中，AAt=AC=2,D,E分別為CQ,的中點(diǎn).

(1)證明：￡￡>//平面ABC；

(2)求直線CG與平面43。所成角的大??；

(3)線段上是否存在點(diǎn)G,使得AGL3。？若存在，求出點(diǎn)G到平面ABO距離；若不存在，說明理由.

18.為了解某地區(qū)高中生的每天日間戶外活動(dòng)現(xiàn)狀，分別在兩所學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，得到甲校抽取的學(xué)生每

天日間戶外活動(dòng)時(shí)間(單位：h)的統(tǒng)計(jì)表和乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間(單位：h)的頻率分布直方圖

如下.

.頻率

0.48h--i-I

22

O,17

O.13

O.

4時(shí)

IHJ/

乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間頻率分布直方圖

組別每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間(單位：h)人數(shù)

1[0,1)120

2[1,2)250

3[2,3)60

4[3,4]70

甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

(1)根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)甲校學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間的25%分位數(shù)在第幾組；

(2)已知每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間不低于2h可以對(duì)保護(hù)視力起到積極作用.現(xiàn)從乙校全體學(xué)生中隨機(jī)選抽取2人，記

其中每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間不低于2h的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否推斷甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間的平均值一定低于乙校抽取的學(xué)生每天日間

戶外活動(dòng)時(shí)間的平均值？說明理由.

19.已知函數(shù)〃X)=e',曲線y=/(x)在點(diǎn)(—1,/(一1))處的切線方程為尸丘+乩

(1)求左,匕的值；

(2)設(shè)函數(shù).，若g(X)=，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%,與(%|<42)，將元2一%表示為/函數(shù)，并求

inx9x21.

工2一%的最小值?

20.已知橢圓C:工+區(qū)=l(a〉b>0)的左焦點(diǎn)為《(一2,0),長軸長為26.過右焦點(diǎn)F2的直線/交橢圓c于

/b2

兩點(diǎn)，直線KA,48分別交直線x=3于點(diǎn)”，N.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)線段A8中點(diǎn)為T，當(dāng)點(diǎn)用，N位于x軸異側(cè)時(shí)，求丁到直線x=3的距離的取值范圍.

21.已知無窮數(shù)列A：4,a2,L滿足：①qeN"(i=l,2,L)；②《+%44%+%+1(z=l,2,L；

/=1,2,L；i+j'23).設(shè)，為@(i=l,2,L)所能取到的最大值，并記數(shù)列A*:%*,a；,L.

(1)若q=l,寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列A的通項(xiàng)公式;

(2)若q=/=1，求a；的值；

(3)若q=l，%=2,求數(shù)列A*的前10。項(xiàng)和.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.已知集合A={x|x<l},B={x|0<x<2},則AD8=()

A.1%|0<%<B.<x<2jC.{x|x<l}D.{x|x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】利用集合交集運(yùn)算處理，注意端點(diǎn)值得取舍.

【詳解】根據(jù)題意：ACB={x|0<%<1}

故選：A.

l-3i_

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=—?jiǎng)tI對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由題知z=—l—2i，z=-l+2i>進(jìn)而根據(jù)幾何意義求解即可.

l-3i_(l-3i)(l-i)_-2-4i

【詳解】解：z7+T-(i+i)(i-i)-T-2i,故I=-i+2i，

所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(—1,2)，位于第二象限.

故選：B

3.在公差不為零的等差數(shù)列{%}中，若3%=%+4+%,則加=()

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

(分析］根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq,可得q+a2+a3=3a2.

【詳解】2al=4+4,則3am=a}+a2+a3=3tz2

m=2

故選：B.

4.下列函數(shù)中最小正周期不是兀的周期函數(shù)為()

A.y=sin|%|B.y=|sinx|C.y=cos|x|D.y=|tanx|

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，y=sin|M為偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，y=sinx,為周期函數(shù)，周期為2〃；當(dāng)x<0時(shí),

y=-sinx,為周期函數(shù)，周期為2%，但在整個(gè)定義域上，函數(shù)不具有周期性，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，丁=卜出力的圖像是將y=sin無圖像在x軸下方的翻到x軸上方，進(jìn)而函數(shù)為周期函數(shù)，周期是兀，

故正確：

對(duì)于C選項(xiàng)，y=cos|x|=cosx,故周期為2%，錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，y=|tanX圖像是=圖像在x軸下方的翻到x軸上方，其周期性不變，故依然為兀，正確;

故選：AC

5.如圖，在正方體ABC?！狝gG2中，E,F分別為CG,0G的中點(diǎn)，則下列直線中與直線BE相交的是

A.直線B,直線A，C.直線CQD.直線

【答案】A

【解析】

【分析】利用正方體的性質(zhì)可得民進(jìn)而可判斷A,根據(jù)經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直

線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線為異面直線可判斷BCD.

【詳解】連接則EF//Cn，EF=gcD-

由\DJIBC,A,DX=BC,可得四邊形42CB為平行四邊形,

:.A\B/ICD、,AB=CD],

所以Er//AB,EF=gAB，即四邊形EER4,為梯形，

故直線AF與直線BE相交，

直線A￡)|與直線屬為異面直線，直線GA與直線由:為異面直線，直線A4與直線BE為異面直線.

故選：A.

6已知直線＞=%?！?與圓O:M+y2=4交于A8兩點(diǎn)，且。4_LO3,則％=()

A.y/2B.+V2C.1D.±1

【答案】B

【解析】

【分析】由題知直線y=A:(x-百)過定點(diǎn)且在圓O:/+y2=4內(nèi)，進(jìn)而結(jié)合題意將問題轉(zhuǎn)化為圓心

0(0,0)到直線y=k(x-6)的距離為d=6,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)橹本€y=A:(x—JJ),

所以，直線y=Z(x—百)過定點(diǎn)(、萬,0),且在圓O:/+y2=4內(nèi)，

因?yàn)橹本€y=Z(x—0)與圓O:V+y2=4交于A3兩點(diǎn)，且。4,08,

所以，圓心0(0,0)到直線y=k(x-6)的距離為［=72，

d=V2=|?，即左*=2，即％=±5/2-

所以,

故選：B

7.若某地區(qū)60歲及以上人群的新冠疫苗全程(兩針)接種率為60%,加強(qiáng)免疫接種(第三針)的接種率為36%,

則在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人，此人完成了加強(qiáng)免疫接種的概率為()

A.0.6B.0.375C.0.36D.0.216

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)事件A為抽取的一人完成新冠疫苗全程接種，事件3為抽取的一人完成加強(qiáng)免疫接種，進(jìn)而結(jié)合題意,

根據(jù)條件概率公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)事件A為抽取的一人完成新冠疫苗全程接種，事件5為抽取的一人完成加強(qiáng)免疫接種，

所以P（A）=0.6,P（A6）=0.36,

所以在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人，此人完成了加強(qiáng)免疫接種的概率為

=0.6.

故選：A

8.已知￡,B是兩個(gè)非零向量，則“存在實(shí)數(shù);I,使得石=疝’是平+q=同第的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量模的運(yùn)算充分條件與必要條件的概念求解即可.

【詳解】解：當(dāng)存在實(shí)數(shù)；I,使得3=花，R+4=|（1+4網(wǎng)=|1+川,|,口一w=（i-4）『|，顯然|1+川同與

a-;I）口不一定相等，故充分性不成立；

反之，當(dāng)它+q=問—W時(shí)，27B=—2郵],所以cos,4=-1,即￡,B共線反向，故“存在實(shí)數(shù);I,使得

5=%],故必要性成立.

故“存在實(shí)數(shù)A,使得b=Aa”是"%+4=同第的必要而不充分條件

故選：B

9.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4=1,5?G｛1,2,3｝,則｛4｝中的項(xiàng)不可能為（）

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意s“=l,s2=l+a2,S,=l+a2+a3,再分別討論$2=1,S2=2,S?=3時(shí)對(duì)應(yīng)的情況，進(jìn)

而求解即可.

【詳解】解：因?yàn)椋?1,

所以S"1,S2=]+%>S3=]+4+。3，

所以，當(dāng)$2=1時(shí)，則。2=°，S3=2或3,此時(shí)4=1或2；

當(dāng)S2=2時(shí)，則w=l，邑=1或3,此時(shí)q=T或1：

當(dāng)邑=3時(shí),則4=2,§3=1或2,此時(shí)生=-2或一1；

故｛??｝中的項(xiàng)不可能為-3.

故選：D

10.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需

要30min.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)fmin后距離地面的高度為am,則在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的

過程中，高度”關(guān)于時(shí)間f的函數(shù)解析式是（）

A./7=55cos(^r-1)+65(0<r<30)

rrrr

B.H=55sin(j1r-^-)+65(0<r<30)

C.H=-55cos(-j-^Z+—)+65(0W/A30)

D.H=-55sin*r+y)+65(0<r<30)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)H（f）=Asin（a+e）+B（0WfW30）,進(jìn)而結(jié)合題意求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)，”（r）=Asin（d+0）+6（0W，W30）,

因?yàn)槟衬μ燧喿罡唿c(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,

所以，該摩天輪最低點(diǎn)距離地面高度為10m,

A+B=120

所以《,解得A=55,5=65,

—A+B=10

因?yàn)殚_啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要30min，

所以，T=—=30,解得0=土,

co15

因?yàn)椤?0時(shí);"(0)=10,故lO=55sin0+65,即sin0=-l,解得>=一］+2%",女￡Z.

Jrjr

所以，H(t)=55sin(—r--)+65(0<Z<30)

故選：B

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在（一一工）5的展開式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

X

【答案】10

【解析】

【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令X的幕指數(shù)等于4,求出r的值，即可求得展開式中力的系數(shù).

【詳解】?二（9—J-的展開式的通項(xiàng)公式為（+1=q.（—1廣尤6",令10_3/=4,求得r=2，

X

故展開式中X4的系數(shù)為C；=10,

故答案為：10.

2

12.雙曲線C:f-E=l的離心率為；設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過C的右焦點(diǎn)尸且垂直于x軸的直線與C的

3

兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)，則aOPQ的面積為.

【答案】①.2②.4百

【解析】

【分析】由題知a=l*=G,C=2,進(jìn)而根據(jù)題意，依次求解即可.

2

【詳解】解：由題知a=1,/?=J5,c=2,故雙曲線C:f=1的離心率為e=2.

所以，右焦點(diǎn)為*2,0）,漸近線方程為y=±"v,

所以P（2,2G）,Q（2,-26），

所以△OPQ的面積為S=gx2x4百=4百.

故答案為：2；4班

13.能說明“若sina=cos耳，則a+/?=h360+90,其中攵eZ”為假命題的一組。，夕的值是—.

【答案】答案不唯一，如a=ll（）,夕=20

【解析】

【分析】即舉滿足條件sina=cos/7但不滿足a+/3=k-360+90的例子.

【詳解】a=110。，〃=20’時(shí)，滿足sina=cos月，但a+￡=h360+90,不成立

故答案為答案不唯一，如a=110。，￡=20

【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

14.某超市在“五一”活動(dòng)期間，推出如下線上購物優(yōu)惠方案：一次性購物在99元（含99元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；

一次性購物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；一次性購物在299元（不

含299元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏和小昭在該超市購物，分別挑選了原價(jià)為70元和280元的商品，如果

兩人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他們分別支付節(jié)省的錢，按照兩人購買商品原價(jià)的比例分配，

則小敏需要給小昭元.

，一.308

【答案】61.6##——

【解析】

【分析】由題可得由小昭一次性付款實(shí)際付款，進(jìn)而可得合并支付比他們分別支付節(jié)省的錢，然后可得小敏需要給

小昭的錢數(shù).

【詳解】由題可得兩人把商品合并由小昭一次性付款實(shí)際付款為(70+280)x0.8=280元，

他們分別支付應(yīng)付款為70+280x0.9=322元，故節(jié)省322—280=42元，

70

故小敏需要給小昭70-42x——=61.6元.

70+280

故答案為：61.6.

15.已知函數(shù)/(x)=2同+%2+小

①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,/(%)為偶函數(shù)；

②對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,/(x)在(3,0)上單調(diào)遞減，在(0,收)上單調(diào)遞增；

③存在實(shí)數(shù)。，使得Ax)有3個(gè)零點(diǎn)；

④存在實(shí)數(shù)。，使得關(guān)于x的不等式/W>2022的解集為U[1,+?>).

所有正確命題的序號(hào)為.

【答案】①②④

【解析】

【分析】對(duì)于①：利用偶函數(shù)定義判斷；對(duì)于②：根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)以及偶函數(shù)的對(duì)稱性判斷；對(duì)于③：根據(jù)題意

得2兇+%2=_〃，結(jié)合圖像判斷丫=2兇+/與丫=-”交點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)于④：a=2019,通過函數(shù)性質(zhì)解不等式

/(x)>2022.

【詳解】/(-%)=2H+(-x)2+a=2W+x2+a^f(x),/(x)為偶函數(shù)，①正確；

當(dāng)X?0時(shí)，/。)=2*+/+4在(0,+8)上單調(diào)遞增，再根據(jù)偶函數(shù)可得/(X)在(-00,0)上單調(diào)遞減，②正確；

令f(x)=0,則2兇+/=_。，結(jié)合圖像可知：>=2兇+/與y=-a至多有兩個(gè)交點(diǎn)，則/(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，

③不正確；

當(dāng)a=2019時(shí)，/(x)=2w+<+2019,根據(jù)②可知/⑶在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+℃)上單調(diào)遞增，且

/(-1)=/-(1)=2022

不等式/(幻》2022的解集為(-8,-1]0[1,田)，④正確；

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:-

（1）求NC；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求邊上中線的

長.

條件①：a+b=5；條件②：c=?b；條件③：△ABC的面積為主叵.

32

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

7C

［答案】（1）一

3

（2）77

【解析】

【分析】（1）由正弦定理得a:b:c=2:3:J7,進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解即可；

（2）結(jié)合（1）得選擇條件②時(shí)，三角形不唯一，故再分別討論選擇條件①、條件③時(shí)的情況，并求解即可.

【小問1詳解】

解：在AABC中，因?yàn)閟inA:sinB:sinC=2:3:、4，

由正弦定理三=—二=三，得。/：C=2:3:J7.

sinAsmBsinC

設(shè)。=2m,b=3m,c=幣>0）,

.-+9m2-7m21

則nicosC=--------------=—.

2x2mx3m2

TT

因?yàn)?<C<?,所以NC=一.

3

【小問2詳解】

解：選擇條件①：

由（1）知a:。=2:3,且a+6=5,

所以a=2,8=3,c=A/7.

設(shè)。為的中點(diǎn)，CD=1.

在AACO中，AD2=AC2+CD2-2ACCZ）cosC=9+l-2x3xlx-=7,

2

所以AO=J7,即8c邊上中線的長為近.

選擇條件②：由（1）知a:>：c=2:3:J7,即。=立6,故此時(shí)可用余弦定理計(jì)算得三個(gè)內(nèi)角，但由于三邊未

3

知，故三角形不唯一，不滿足條件.

選擇條件③：

因?yàn)锳ABC的面積為更，

2

所以LaZ?sinC=Labx3=空.

2222

所以而=6.

由(1)知〃：0:c=2:3:J7，

所以Q=2/=3,C=V7.

設(shè)。為3c的中點(diǎn)，8=1.

在AACD中，AZ)2=AC2+CD2-2ACCDcosC=9+l-2x3xlxl=7,

2

所以AO=J7,即BC邊上中線的長為近.

17.如圖，在正三棱柱ABC—中，AAt=AC=2,。，￡分別為CG，白8的中點(diǎn).

(1)證明：互＞//平面A8C；

(2)求直線CG與平面AB。所成角的大??；

(3)線段上是否存在點(diǎn)G,使得若存在，求出點(diǎn)G到平面4B。的距離；若不存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵-

4

(3)存在，距離為注

2

【解析】

【分析】(1)取A8中點(diǎn)F，連接CE,￡F,進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系證明四邊形CDEE是平行四邊形，進(jìn)而證明結(jié)

論;

(2)分別取AC，AG中點(diǎn)0,。一連接。?！?。3,進(jìn)而以。為原點(diǎn)，。叢。。,。01所在的直線分別為彳軸，y

軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可；

(3)假設(shè)存在點(diǎn)G,設(shè)瑟=丸前=(—瓜,％()),()V/IW1,進(jìn)而根據(jù)A。，3。得4=1,再計(jì)算點(diǎn)到面的距離

即可.

【小問1詳解】

證明：取AB中點(diǎn)/，連接CREE

因?yàn)檎庵鵄BC-A4G，

所以CCJ/4V且CG=A4,=2.

因?yàn)镋為線段4B的中點(diǎn)，

所以EF//A4，且七尸=g的.

所以EF//CG且防=1?

因?yàn)?。為CG中點(diǎn)，所以CZ)=1.

所以EF//CD且EF=CD.

所以四邊形CDEF是平行四邊形.

所以DE//CF.

又因?yàn)閃平面ABC,CEu平面ABC,

所以O(shè)E//平面ABC

【小問2詳解】

解：分別取AC,4G中點(diǎn)。，?！高B接。q,OB.

因?yàn)锳BC—44G是正三棱柱，

所以。0"/A4,,AA_L平面ABC,OBIAC.

所以。。J■平面ABC.

所以。01j_O5,oq，oc.

以。為原點(diǎn)，08,。。,。01所在的直線分別為X軸，），軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4(0,-1,0)，4(0,-1,2),。(0,1,0),￡(0,1,2),雙6,0,0),。(0,1,1).

所以萃=(G，1,-2),忑=(0,0,2),麗=(-73,1,1).

設(shè)平面A6。的法向量為G=(尤,y,z),

一,A5n=0,1后+y-2z=0,

BD-n=0.[->/3x+y+z=0.

令y=i,解得%=G,z=2,所以〃=(6,1,2).

TT

設(shè)直線CG與平面48。所成角為6?,0<^<y,

nil.aI，rrAlI可臼1^x04-1x0+2x21加

11

|cC1|-|n|2xj3+l+42

所以e=3jr.

4

7T

即直線CG與平面\BD所成角為一.

4

【小問3詳解】

解：假設(shè)存在點(diǎn)G,設(shè)的=4元=（一百

所以

所以豆=（_73/1,2+1,-2）.

由麗=（—6,1,1）知，

若AG,80,則疝?3方=（G—向）x（—6）+（4+1）x1+（—2）x1=0.

解得4=1.即G與C同一個(gè)點(diǎn).

因?yàn)镃D=（0,0,1）,平面A[BD的法向量為n=（石』,2）,

山」\CD-n\|0xV3+0xl+lx2|0

所以點(diǎn)G到平面ABD的距離d=——-——=-----/-----=——.

\n\73+1+42

18.為了解某地區(qū)高中生的每天日間戶外活動(dòng)現(xiàn)狀，分別在兩所學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，得到中校抽取的學(xué)生每

天日間戶外活動(dòng)時(shí)間（單位：h）的統(tǒng)計(jì)表和乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直方圖

如下.

頻率

W.

0.48

22

O.17

O.13

O.

o1234時(shí)間/h

乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間頻率分布直方圖

每天日間戶外活

組別人數(shù)

動(dòng)時(shí)間（單位：h）

1ro,i)120

2[1,2)250

3[2,3)60

4[3,4]70

甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

（1）根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)甲校學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間的25%分位數(shù)在第幾組;

(2)已知每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間不低于2h可以對(duì)保護(hù)視力起到積極作用.現(xiàn)從乙校全體學(xué)生中隨機(jī)選抽取2人，記

其中每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間不低于2h的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否推斷甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間的平均值一定低于乙校抽取的學(xué)生每天日間

戶外活動(dòng)時(shí)間的平均值？說明理由.

【答案】(1)第2組(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：0.6

(3)不能，理由見解析

【解析】

【分析】(1)利用圖表中的數(shù)據(jù)結(jié)合25%分位計(jì)算判斷；

(2)根據(jù)題意可得X?3(3,0.3),根據(jù)二項(xiàng)分布求分布列和期望；

(3)用每組區(qū)間的中點(diǎn)值進(jìn)行估計(jì)求平均數(shù)的估計(jì)值，用每組區(qū)間的左端點(diǎn)值進(jìn)行估計(jì)求平均數(shù)最小值，計(jì)算判

斷.

【小問1詳解】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)甲校學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間25%分位數(shù)在第2組.

【小問2詳解】

由頻率分布直方圖可知，乙校參與調(diào)查的學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間不低于2h的頻率為0.17+0.13=0.3.

由此估計(jì)乙校全體學(xué)生每天日間戶外活動(dòng)時(shí)間不低于2h的概率約為0.3.

X的所有可能取值為0,1,2.

P(X=0)=(1-0.3)2=0.49,

P(X=1)=Cjx0.3x(1-0.3)=0.42,

P(X=2)=0.32=0.09,

【小問3詳解】

不能.

若甲校參與調(diào)查的學(xué)生每組中的數(shù)據(jù)恰好都取區(qū)間中點(diǎn)值，則甲校參與調(diào)查的學(xué)生每天的日間戶外活動(dòng)時(shí)間的平均

值

=(0.5x120+1.5x250+2.5x60+3.5x70)-500=1.66h.

若乙校參與調(diào)查的學(xué)生每組中的數(shù)據(jù)恰好都取相應(yīng)區(qū)間的左端點(diǎn)值，則乙校參與調(diào)查的學(xué)生每天的II間戶外活動(dòng)時(shí)

間的平均值

t2=0x0.22+lx0.48+2x0.17+3x0.13=1.21h.

此時(shí)，t]>t2.

19.已知函數(shù)〃x)=e',曲線y=/(x)在點(diǎn)(T,/(一1))處的切線方程為y="+乩

(1)求％,b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=\';若g(x)=r有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為衣2(%<當(dāng))，將々一玉表示為，的函數(shù)，并求

[Inx,x>l.

々一X的最小值.

12

【答案】(1)k」力=3

ee

3

(2)%2—%=e'—ef+2,0Kf<—,最小值為2

e

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)由題知g(xj=g(x2)=f,fe0,1j,進(jìn)而得用=仃-2,々=e',再構(gòu)造函數(shù)伊(r)=々一玉=e?—ef+2,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值即可.

【小問1詳解】

解：(1)因?yàn)椤▁)=ev,所以尸(x)=e'，r(—1)=L

e

又因?yàn)?'(-1)=,，

e

1112

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(-1,/'(-1))處的切線方程為丁一一=—。+1),即丁=—x+—.

eeee

19

所以女=一，b=—

ee

【小問2詳解】

12

/、-X4----,X<11,

解：g(x)=Jee

Inx,x>1.

由g(x)=f有兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為王,天，所以g(x])二屋々)=，，/￡?！?1

l

由%v巧有斗=er-2,x2=e

令-X=e'-e，+2,則(pr(t)=e'一e.

當(dāng)，￡(0,1)時(shí)，“⑺v。,所以夕⑺在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí)，<p'(t)>Q,所以0⑺在區(qū)間(1,5)上單調(diào)遞增.

0,3〕有夕。）2。（1）=2.

對(duì)任意re

即當(dāng)％=e-2,%2=e時(shí)，，x2-x,的最小值為夕⑴=2.

22

20.已知橢圓C：0+斗=13〉）＞0）的左焦點(diǎn)為片（―2,0）,長軸長為2瓜.過右焦點(diǎn)工的直線/交橢圓c于

AB兩點(diǎn)，直線4A,FtB分別交直線％=3于點(diǎn)〃，N.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)線段AB中點(diǎn)為T，當(dāng)點(diǎn)用，N位于x軸異側(cè)時(shí)，求T到直線x=3的距離的取值范圍.

22

【答案】（1）工+匕=1

62

【解析】

c=2,

【分析】（1）由題可知（2a=2限,求解即可；（2）利用韋達(dá)定理求斜率的范圍以及線段AB中點(diǎn)7的橫坐標(biāo)

c2^a2-b2,

6k2

為/=—注意討論直線斜率是否存在.

3爐+1

【小問1詳解】

c=2,

由題可知｛2a=2瓜解得/=6涉2=2.

c2=a2-b2,

22

故橢圓C的方程為土+匕=1.

62

【小問2詳解】

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，T到直線x=3的距離為1.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=-X-2）.

y=k（x-2）,

聯(lián)立《爐2消y,得（3女2+1卜2_]2尸X+12%2-6=0.

I62

由△=（一⑵2『一4（3女2+1）（12公一6）〉0及題意，可得讓0.

設(shè)4（4％）,8（入2，%）,則匹+九2=.心2,1，*1*2=0/2,1

DK十1DK十1

直線￡A的方程為y=之)，

令