2021學(xué)年滬教版八年級上冊數(shù)學(xué)- 第11講：反比例函數(shù)-（教師版）

自學(xué)資料

主題：反比例函數(shù)

自學(xué)五步法

◎興趣起航

什反比例函數(shù)的概念

反比例函數(shù)反比例函數(shù)的圖像

-［反比例函數(shù)的性質(zhì)

0樂學(xué)善思

一、反比例函數(shù)的概念

1、如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，我們就說這兩個變量

成反比例.用數(shù)學(xué)式子表示兩個變量X、y成反比例，就是孫=%,或表示為y=&,其中k是不

X

等于0的常數(shù).

2、解析式形如y=K（%是常數(shù)，k/0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中％叫做比例系數(shù).

X

3、反比例函數(shù)y=4的定義域是不等于零的一切實數(shù).

X

【例1】下列變化過程中的兩個變量成反比例的是（）

A.圓的面積和半徑B.矩形的面積一定，它的長與寬

C.完成一項工程的工效與完成工期的時間D.人的身高及體重

【答案】B

【解析】矩形面積=長乂寬，即5=必，S為定值，可知它的長與寬成反比例，B正確；注意

區(qū)分C選項，工效與工作時間成反比，而非完成工期的時間.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的基本概念，會判斷兩個量是否是反比例關(guān)系，只需看兩個量的乘積

是否為定值即可.

【例2】(1)已知：y與x成反比例，且x=-l時，y=2,則它的函數(shù)解析式是:

(2)已知y與成反比例，且當x=-2時，y=--,則當x=l時，y=.

-'43

【答案】(1)y=--；(2)-9.

X

【解析】(1)設(shè)函數(shù)解析式為曠=&,即有&=2,得：k=-2,則函數(shù)解析式為y=-2；

x-1x

⑵設(shè)函數(shù)解析式為尸)即有自7,得」一函數(shù)解析式為L*則當

T時,

【總結(jié)】考查利用“待定系數(shù)法”求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，也可直接利用成反比例函數(shù)關(guān)系

的積為定值求解.

【例3】下列函數(shù)(其中x是自變量)中，哪些是反比例函數(shù)?哪些不是，為什么？

X1

(1)y==;(2))=2k；(3)y=—(k^O)；

3kx

7

(4)孫=一2;(5)y=—+1.

x

【答案】(2)、(3)、(4)是反比例函數(shù)，(1)、(5)不是反比例函數(shù).

【解析】反比例函數(shù)有三種基本形式y(tǒng))、y=kx-\xy=k,均要求ZwO,(2)(3)(4)

X

符合這幾種形式，是反比例函數(shù)，(1)(5)不是.

【總結(jié)】考查根據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷函數(shù)是否為反比例函數(shù).

【例4】(1)如果y=(k-l)，g是反比例函數(shù)，則G的值是；

(2)已知函數(shù)y=(，"-3)x"j＞是反比例函數(shù)，則加=.

【答案】(1)0；(2)-3.

【解析】(1)由題意可得尸解得：k=0；

(2)由題意可得"T°=T,解得：加=-3.

加一3工0

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)丫=依-?*0)的形式，根據(jù)次數(shù)確定相應(yīng)字母取值一定要注意比例系

數(shù)不為0的前提條件.

【例5】下列說法中正確的有()個.

(1)當心0時，產(chǎn)是反比例函數(shù)；

kx

(2)如果y=5，那么y與丁成反比例；

(3)如果y=――^+療一1是反比例函數(shù)，貝（J〃?=±1；

X

(4)如果x、y成正比例，y與z成反比例,則x與z成反比例

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的意義，可知（1）（2）正確；（3）為反比例函數(shù)，則有

,解得：，〃=一1,（3）錯誤；（4）根據(jù)題意，令x=Ky（K*O）,尸幺伏#0）,則有

m-1=0z

x=也，由可知X與Z成反比例；（1）（2）（4）正確，故選C.

Z

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的概念.

【例6】已知某反比例函數(shù)，且當x=l時，y=-2,當、=-3時y=求加的值.

【答案】］

3

【解析】設(shè)函數(shù)解析式為丫=々％/0），即有?=-2,得：k=-2,則函數(shù)解析式為y=-2,則

X1X

當%=-3時,y=m=-.

3

【總結(jié)】考查利用“待定系數(shù)法”求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，也可直接利用成反比例函數(shù)關(guān)系

的積為定值求解.

【例7】已知y+2與成反比例，且當工=-1時＞=-3,當x=3時，y的值.

【答案】-1.

【解析】令y+2=—（2。0）,根據(jù)題意，則有-3+2="，得：k=2,

x-1-1-1

則相應(yīng)解析式為y=/—2,當x=3時，則有丁==—2=-1.

x-13-1

【總結(jié)】考查利用“待定系數(shù)法”求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，也可直接利用成反比例函數(shù)關(guān)系

的積為定值求解.

【例8】已知一梯形的面積是30,上底長是下底長的;，設(shè)下底長為x,高為y,求y關(guān)于x

的函數(shù)關(guān)系式并寫出這個函數(shù)的定義域.

【答案】>>=—(x>0).

【解析】根據(jù)梯形面積公式，面積=；(上底+下底)義高，即得：g；x+:|)，=30,

整理可得：y=-,實際問題中，函數(shù)定義域為x>0.

X

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，注意實際問題的定義域.

【例9】已知反比例函數(shù)y=±的圖像上有一點A,它的橫坐標x和縱坐標y是方程

X

--2%-8=0的兩個根,求:

(1)k的值；

(2)點A到y(tǒng)軸的距離.

【答案】(1)-8；(2)2或4.

【解析】(1)根據(jù)一元二次方程韋達定理，可得4=沖=-8

(2)/一2>8=0,解得：x,=-2,&=4,即得卜7,3=4,點4到y(tǒng)軸的距離即

E=4[%=-2

為兇=2或4.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.

【例10】設(shè)y=2和%=與，當x=2時，*+%=1，*-必=3，求勺、內(nèi)的值?

XX

【答案】仁=4,k2=-2.

k

【解析】依題意可得：?

h

,2

【總結(jié)】考查利用“待定系數(shù)法”求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為解方程的問題.

【例11】已知y-2y\-y2,若％與尤成反比例，為與x+3成正比例，且當x=l時y=10,當x=-l

時y=2;

(1)求y與x間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求當y時，x的值.

【答案】(1)y=Z+2(x+3);(2)%="士國.

x8

【解析】(1)令y=2，%=N(x+3),則有y=2yf=3-心(x+3)，

XX

根據(jù)題意則有F尸解得：H=1則2+2(X+3);

v7

[-2仁-2a=2[k2=-2x

(2)令y=L則有Z+2(x+3)=L,整理得4/+11*+4=0,解得：x-*'~.

‘2x'"28

【總結(jié)】考查利用“待定系數(shù)法”求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為解方程的問題.

二、反比例函數(shù)的圖像

1、反比例函數(shù)y=&(左是常數(shù)，化力。)的圖像叫做雙曲線，它有兩支.

X

三、反比例函數(shù)的性質(zhì)

1、當%>0時，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個象限內(nèi)，當自變量X的值

逐漸增大時，y的值隨著逐漸減小.

2、當％<0時，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限；在每個象限內(nèi)，當自變量x的值

逐漸增大時，y的值隨著逐漸增大.

3、圖像的兩支都無限接近于x軸和y軸，但不會與x軸和y軸相交.

【例12](1)已知反比例函數(shù)"巴2圖像在第二、四象限，則。的取值范圍是；

X

(2)已知y=?(k#0)圖像上有一點P(3,2),那么這個反比例函數(shù)的解析式為.

X

【答案】(1)a<2；(2)y=—?

x

【解析】⑴由反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，可得：67-2<0,即得：”2；

(2)依題意可得：-=2,即得：k=6,反比例函數(shù)解析式為：y=~.

3x

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的圖像及圖像上的點與函數(shù)關(guān)系式的關(guān)系.

【例13】已知反比例函數(shù)》=々4#0)的圖像經(jīng)過經(jīng)過點(1,-2),則這個函數(shù)解析式是

X

;當xVO時，y的值隨著x的增大而.

【答案】y=--,增大.

X

【解析】依題意可得V=-2,即得％=-2,反比例函數(shù)解析式為），=-2,k=—2<0,

1X

根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，函數(shù)在每一個象限內(nèi)隨著x的增大而增大，即y值增大.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的增減性，％<0時，在每一個象限內(nèi)y隨著x的增大而增大.

【例14]當機=時函數(shù)y=（M-2）--3”T是反比例函數(shù)，且當x>0時，y值隨x的值增

大而減小.

【答案】3.

【解析】函數(shù)是反比例函數(shù)，可得〃金一3加-1=-1,解得：町=0,網(wǎng)=3；因為當x>0時，

y值隨尤值增大而減小，可知機-2>0,即得：〃2=3.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的定義和反比例函數(shù)的增減性的綜合應(yīng)用.

【例15]已知（3,4）是反比例函數(shù)》=竺*竺11圖像上的一點，則函數(shù)圖像必過

X

點（）.

A.（2,-6）B.（-6,2）C.（3,-4）D.（-3,-4）

【答案】D

【解析】點在反比例函數(shù)上，可知橫縱坐標之積為定值，即為3x4=12,只有D選項滿足

乘積為12,故選D.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，也可求出〃，值代值計算.

【例16]（1）已知函數(shù)丫=巫」是反比例函數(shù)，則％的取值范圍是；

X

（2）已知反比例函數(shù)）=四，點（%,%）、a，必）為其圖像上的兩點，若當

X

不<0<工2時，乂>必，則左的取值范圍是.

【答案】（1）%20且心1;（2）k<-\.

【解析】（1）因為函數(shù)為反比例函數(shù)，則有即得改行,同時根據(jù)二次根式的非

負性，可得AN0,即得我的取值范圍為女N0且％H1;

（2）當為<0</時，,>%，根據(jù)增減性，可得：2+1<0，即得：^<-1.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的概念，注意題目的隱含條件，分清題目在同一象限和不同象限的增

減性，區(qū)分開比例系數(shù)與0的大小關(guān)系.

【例17]下列函數(shù)y=_3x,y=5x,y=Ly=-L中，每個象限內(nèi)y的值隨x的增大而減小的有

XX

（）個

A.0個8.1個C.2個O.3個

【答案】C

【解析】根據(jù)正比例函數(shù)的增減性，々<0時，y隨著x增大而減?。环幢壤瘮?shù)的增減性需

要考慮每個象限，因此可知函數(shù)y=-3x符合題意，故選B.

【總結(jié)】考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性的判斷，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)根據(jù)比例系

數(shù)與0的大小關(guān)系增減性是相反的.

【例18]下列函數(shù)y=±!（q是常數(shù)）的圖像上有三點A（-3,兇）、B（T,%）、

X

C（2,%）,則乂、%、%的大小關(guān)系是（）

A.丫2<%<%B.y3<y2<y,

C-y,<y2<>3D.為<y<%

【答案】D

【解析】由-/-1<0恒成立，可知在每個象限內(nèi)y隨著x的增大而增大，由-3<-1<0,

可知0<乂<%，由2>0,得：y3<0,則有％<%<%，故選D.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的增減性，注意反比例函數(shù)在每一個象限內(nèi)有特定的增減性，不同象

限情況下需獨立判斷，或直接代入也可解題.

【例19]（1）已知尸（1,毋+i）在雙曲線丫=人上，則雙曲線的圖像在第象限內(nèi)，當

X

x<0時，y的值隨x的減小而；

（2）設(shè)反比例函數(shù)y=-5一,當5W1O時，函數(shù)的最大值是.

【答案】（1）一、三，增大；（2）

2

【解析】（1）由點尸（1,病+1）在雙曲線上，可得：/=病+1>0恒成立，由此可知函數(shù)

在一、三象限內(nèi)，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，在每個象限內(nèi)，y隨著x的減小而增大；

（2）因為y=-5/,k=-5<0,根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，在每個象限內(nèi)，y隨著x的

增大而增大，所以當54XV10時，可知x=10時函數(shù)有最大值Nmax=-5x10-=-：.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的增減性，要根據(jù)反比例函數(shù)上的點判斷出相應(yīng)的左值與0的大小關(guān)

系，再利用其增減性解決問題.

【例20](1)平面直角坐標系中，點A(7-2,〃,5-附在第二象限，且加為整數(shù)，求過點A的

反比例函數(shù)解析式；

(2)若反比例函數(shù))==的圖像位于第二、四象限內(nèi)，正比例函數(shù)y=(2k-l)x過一、三

x3

象限，求整數(shù)上的值.

【答案】(1)y=--;(2)2.

X

7

【解析】(1)由點A(7-2M,5-帆)在第二象限，可知7-2m<0,5-"2>0,得：—<機<5,

2

因為加為整數(shù)，即可得：m=4,A(-l,l).設(shè)過點的反比例函數(shù)解析式為y=4,

X

即有_L=1,得：k=T,即反比例函數(shù)解析式為y=」；

-1X

(2)由反比例函數(shù)y=9圖像在二、四象限，可知4-3<0,即％<3,由正比例函數(shù)

X

y=(g)l-l)x過一、三象限，可知：后-1>0,由此可得：1<%<3,則整數(shù)k的值為2.

【總結(jié)】考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)所在象限判斷出相應(yīng)的比例

系數(shù)與0的大小關(guān)系，解決問題.

m

【例21】函數(shù)y=(加+4切)/可能是正比例函數(shù)或者是反比例函數(shù)嗎?為什么？

【答案】不可能.

【解析】若函數(shù)y=(4+4m)xP是正比例函數(shù)，則應(yīng)有￡+1=1,解得：m=0,此時函

m

數(shù)比例系數(shù)M+4加=0,即不能為正比例函數(shù)；若函數(shù)y=(療+4附”是反比例函數(shù)，

則應(yīng)有‘+1=解得：帆=T,此時函數(shù)比例系數(shù)M+4/M=0,即不能為反比例函

2

數(shù)；綜上所述，此函數(shù)即不可能是正比例也不可能是反比例函數(shù).

【總結(jié)】考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的判斷，注意必須滿足比例系數(shù)不能為0.

【例22】已知反比例函數(shù)y=4(七0),當自變量x的取值范圍為-8J4-4時，相應(yīng)的函數(shù)取

X

值范圍是求這個反比例函數(shù)解析式.

【答案】y=M

X

【解析】當火>0時，在每個象限內(nèi)，反比例函數(shù)的y值隨著x值的增大而減小，可知x=-8

時，y=-；，x=~4時，y=-\,由（_8）x，g）=（T）x（_l）=4,可知此時&=4符合題意；當

%<0時，在每個象限內(nèi)，反比例函數(shù)的y值隨著x值的增大而增大，可知x=-8時，y=-\,

x=-4時，y=-g,由可知此時不符合題意，綜上所述，k=4,即

反比例函數(shù)解析式為y=±.

X

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的增減性的綜合應(yīng)用，注意根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.

【例23】已知反比例函數(shù)圖像上有一點P,過尸作y軸的垂線，垂足為"，如果△P。”的面

積為6,則反比例函數(shù)的解析式為.

【答案】y=±—.

x

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義，可得無^=54=6,解得：2=±12,

即反比例函數(shù)解析式為y=±竺.

x

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的幾何意義，通過反比例函數(shù)上一點向一條坐標軸作垂線，這個點與

垂足和原點所構(gòu)成的三角形面積為;悶，注意加絕對值，有正負兩個答案.

【例24]如圖，x軸上一點C的坐標是（-3,0）.點尸從原點出發(fā)，沿y軸向上運動，過點

P作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y和y=2的圖像交于點A、B,在點尸從下向上

XX

移動過程中，三角形ABC的面積（）

A.逐漸增大B.逐漸減小

C.保持不變D.先增大，到一定程度后減小

【答案】C

【解析】聯(lián)結(jié)PC,由AB//x軸，可知力=%=磯，

則有SMBC=5也B=](/-/)?研=/小%+/聞,%，

即可計算得其面積為LX4+LX2=3,面積保持不變，故選C.

22

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.

【例25]如圖，矩形4BCD的邊C。在無軸上，頂點A在雙曲線廣工上，頂點B在雙曲線

X

y=-上，求矩形ABCQ的面積.V\I

E><2?^

(?|DC'x

【答案】2.

【解析】設(shè)則.3X,￡|,由此可得：S,￡=x_=l,

SBCOE=3x,一=3,則有S-S—S=3—1=2.

XABCDBC0EAIX)E

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用，通過反比例函數(shù)上一點向兩坐標軸作垂線，

與坐標軸圍成的矩形面積為岡.

【例26】過原點作直線交雙曲線丫=幺(&>0)于點A、C,過A、C兩點分別作兩坐標軸的平行

X

線，圍成矩形ABC。，如圖所示.

(1)已知矩形A8CO的面積等于8,求雙曲線的解析式；

(2)若已知矩形ABCO的周長為8,能否由此確定雙曲線的解析式?如果能，請予求出；

如果不能，說明理由.

【答案】（1）y=2；（2）無法確定.

X

【解析】（1）設(shè)因為過原點直線與反比例函數(shù)兩交點

關(guān)于原點中心對稱，可得：

1

由此可得SAB6=2X」=8,得：k=2,

X

即雙曲線解析式為y=2；

X

（2）同（1）可得，QB8=2（2X+'）=8,由于一個方程含有兩個未知數(shù)，因此k的值

無法確定，故反比例函數(shù)解析式也無法確定.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用，通過反比例函數(shù)上一點向兩坐標軸作垂線,

與坐標軸圍成的矩形面積為舊.

【例27】正方形OAPB、A。/法的頂點A、D、8在坐標軸上，點E在AP上，點P、E在函數(shù)

y=A（4>0）的圖像上，已知正方形。APB的面積是16.

X

（1）求左的值和直線OP的函數(shù)解析式;

（2）求正方形AOEE的邊長.

【答案】(1)%=16,lOP：y=x；(2)2A/5-2.

【解析】（1）由之陽=4尸加=16,且四邊形為正方形,

則有即可得叱二肝二人即尸（4,4）,

根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，可得：k=16,

設(shè)直線OP函數(shù)解析式為則有4a=4,解得：a=l,

即可得直線OP的函數(shù)解析式為產(chǎn)x;

(2)設(shè)正方形AOEF邊長為“，則川〃+4,a),因為爪a+4,a)在雙曲線上，

根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，則有a(a+4)=16,解得：。=26-2(負舍)，

即得正方形4?！晔呴L為2石-2.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)幾何意義的應(yīng)用.

【例28]如圖，已知正方形0A8C的面積是9,點。為坐原點，A在x軸上，。在y軸上，B

在函數(shù)y=4(k>0,x>0)的圖像上，點P(m,〃)在y=K(Q0,x>0)的圖像上異于B的任意

XX

一點，過點P分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別是E、F.設(shè)矩形OEPF和正方形OABC

不重合部分的面積是S.

(1)求點8的坐標；

(2)當s=2時，求點P的坐標；

2

(3)寫出S關(guān)于m的函數(shù)解析式.

【答案】(1)(3,3)；(2)(6,3或(1,61

9一36(0<加<3)

(3)S=<?7.

9---(〃2〉3)

、m

【解析】(1)因為%18c=AB-BC=9,且四邊形為正方形，則有鉆=BC,即得：AB=BC=3,

所以點B坐標為(3,3)；

(2)由(1)易得上=3x3=9,則反比例函數(shù)的解析式為：

X

因為矩形?！笆驼叫蜲ABC不重合部分的面積是S,且S=2,設(shè)P(〃,2),

2a

當點尸位于點3下方時，有齷=3-3).；=|,解得：a=6,此時P點坐標為：(6,|'

當點P位于點8上方時，有5事=0.(2-3)=2,解得：。=3,此時P點坐標為：f-,6

a2212

綜上，尸點的坐標為(6,野或信6)；

(3)用割補法求面積，即可得以下分類討論:

當0<帆<3時，S=9-S4i=9-3m;

當，〃>3時，S=9-59=9-3〃，點P(m,ri')在雙曲線上，即可得：n=—,

in

a27

則有S=9—3〃=9—3?一=9---;

mm

9—3w(0<機<3)

綜上所述，S=?27-

9---(77?>3)

,m

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)幾何意義的應(yīng)用，注意求面積時候用割補法進行分類討論.

自：能力實踐

【習(xí)題1】下列函數(shù)(其中X是自變量)中，哪些是反比例函數(shù)?哪些不是?為什么？

(1)y=--x;(2)y=—；

34

(3)y=---;(4)y=?(a為常數(shù)，。/0);

5xX

(5)y=—;(6)y=L

7CXX

【答案】(3)、(4)、(5)是反比例函數(shù)，(1)、(2)、(6)不是反比例函數(shù).

【解析】反比例函數(shù)的基本形式為y=?kHO),則(3)(4)(5)符合，是反比例函數(shù)，

(1)(2)(6)不符合，即不是反比例函數(shù).

【總結(jié)】考查根據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷已知函數(shù)是否為反比例函數(shù).

【習(xí)題2】已知y-1與x成反比例，當戶1時，y=3；當x=8時，y=.

【答案】

4

【解析】令y-l=K,根據(jù)題意，則有3-1=攵，得：k=2,則相應(yīng)解析式為y=2+l,

XX

當x=8時，則有y=2+l=9.

84

【總結(jié)】考查利用“待定系數(shù)法”求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，也可直接利用成反比例函數(shù)關(guān)系

的積為定值求解.

【習(xí)題3】(1)反比例函數(shù)丫=5-2)--2的圖像在第二、四象限，則〃尸；

(3)若反比例函數(shù)曠=3±3,當x<0時，y隨x的增大而增大，則左的取值范圍是

x

【答案】(1)±1;(2)k>-.

2

【解析】(1)因為函數(shù)為反比例函數(shù)，則有蘇-2=-1,又函數(shù)圖像在二、四象限，

則有％=加一2<0,解得：m=±];

(2)根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，比例系數(shù)小于0時，在每個象限y內(nèi)隨著工的增大而增

大，依題意則有-2左+3<0,即得：k>~.

2

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖像所在象限或增減性判斷出比例系數(shù)與0的大小關(guān)

系，解決問題.

【習(xí)題4】在函數(shù)y=A(Z>0)圖像上有三點4(%,%),B(X2,y2),C(x,,y3),如果王<9<0<天，

x

試比較%，y2>為大小關(guān)系.

【答案】當<%<%?

【解析】當2>0時，反比例函數(shù)圖像在每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，由大<七<0,可

知y2Vx<0，由工>0，得：%>0，則有％

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的增減性，注意反比例函數(shù)在每一個象限內(nèi)有特定的增減性，不同象

限情況下需獨立判斷，或直接代入也可解題.

k+-

【習(xí)題5】反比例函數(shù)y=—2?+公-1的圖像經(jīng)過第二、四象限，求這個函數(shù)的解析式.

X

【答案】y=-，

2x

【解析】因為函數(shù)為反比例函數(shù)，則有公-1=0,又函數(shù)圖像在二、四象限，則有4+10,

2

即可得：k=-\,則相應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-‘.

2x

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的定義求解相應(yīng)字母，注意比例系數(shù)不能為0.

【習(xí)題6】作出反比例函數(shù)丫=乜的圖像，并根據(jù)圖像解答下列問題：

X

(1)當x=4時，求y的值；

(2)當》=-2時，求x的值；

(3)當y>2時，求x的范圍.

【答案】（1）3；（2）-6；（3）0<x<6.

【解析】（1）當x=4時，y---3;（2）當y=-2時，—--2,即得：x=-6;

4x

（3）當y>2時，函數(shù)圖像在第一象限，且函數(shù)值y隨著x值的減小而增大,

當y=2時，易得：x=6,由此即得相應(yīng)的x取值范圍為0<x<6.

【總結(jié)】考查根據(jù)函數(shù)圖像確定相應(yīng)點坐標以及相應(yīng)的點的取值范圍.

【習(xí)題7】點P在反比例函數(shù)y=」（x>0）的圖像上，且橫坐標為2.若將點P先向右平移兩個單

X

位，再向上平移一個單位后得到點P.求在第一象限內(nèi)，經(jīng)過點P.的反比例函數(shù)圖像的解析

式.

【答案】y=-.

X

【解析】令x=2,則有y=即得：根據(jù)平面直角坐標系中點的平移，即可得

Pfd],設(shè)相應(yīng)函數(shù)解析式為y=￡則有人=4x3=6,即函數(shù)解析式為y=2

V2Jx2x

【總結(jié)】考查平面直角坐標系中點的平移和反比例函數(shù)解析式確定的綜合應(yīng)用.

【習(xí)題8】已知函數(shù)》=乂+必，片與x成反比例，%與（x-2）成正比例，當x=l時，y=-\;當

x=3時，y=5,求當x=6時，y的值.

【答案】—.

2

【解析】令乂=勺（2產(chǎn)0）,%=幺（*-2）（匕w（））,則有y=y+%=勺+匕（工-2）,

xx

根據(jù)題意則有"z,解得：。二，代入則有丁=上+4（工-2）,

+k?=5[欠2=4x

由此可得當x=6時，y=3+4x（6—2）=段.

【總結(jié)】考查利用“待定系數(shù)法”求正、反比例函數(shù)的比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為解方程組即可

【習(xí)題9](1)若P是反比例函數(shù)尸過圖像上的一點，軸，垂足為點Q,若％?！?2,求

X

%的值；

k

(2)已知反比例函數(shù)y=*的圖像上有一點A,過A點向x軸，y軸分別做垂線，垂足分別

X

為點B,C,且四邊形的面積為15,求這個反比例函數(shù)解析式.

【答案】⑴4；⑵15.

±3^=±7

【解析】⑴根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義，可得。號吁2,解得：?令

(2)根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義，可得％彩“心=困=15,解得：八±15,

即反比例函數(shù)解析式為y=士”.

X

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的幾何意義，通過反比例函數(shù)上一點向一條坐標軸作垂線，這個點與

垂足和原點所構(gòu)成的三角形面積為;悶，與兩條坐標軸圍成矩形面積為岡，注意加絕對值時，

有正負兩個答案.

【習(xí)題10]如圖，點A、B在反比例函數(shù)y=K(k>0)的圖像上，且A、B橫坐標分別是a、2a

X

(a>0).ACJ_x軸，垂足為C,三角形AOC的面積為2.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(-a,y)、(-2“,％)也在反比例函數(shù)的圖像上，試比較y,%的大小.

4y

【答案】(1)y=-;(2)yi<y-

x2

【解析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，可得\

悶=2，由左>0，即得：k=4,F\AG

則反比例函數(shù)解析式為廣+/J

(2)當4>0時，反比例函數(shù)圖像在每個象限內(nèi)^0\―CD；

y隨x的減小而增大，由a＞0,即得：-為＜-。＜0,由此即得：乂＜必?

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的幾何意義，與函數(shù)圖像上點的坐標無關(guān)

【習(xí)題11］如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)y=W與反比例函數(shù)圖像交于第一象限內(nèi)

的點A,ABLx軸于點8,AB=6.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在直線AB上是否存在點P,使點尸到正比例函數(shù)直線QA的距離等于點尸到點B

的距離?若存在，求點尸坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=（2）［（2百,2）,鳥（2省,-6）

【解析】（1）由45=6,即以=6,令y=Qr=6,解得：x=2上,則A（2百,6）,設(shè)反比例函

k

數(shù)解析式為y=—

X

則有余=6,解得…5

即反比例函數(shù)解析式為＞■=地

X

（2）設(shè)P（2百，y）,設(shè)點P到0A距離為d,由AB=6,BO=2上,可得NOA3=30。，則有

J=d=BP,則有即有|6-y|=2|y|,解得：y=-6,y2=2,即得

勺（2百,2）,鳥（26,-6）.

【總結(jié)】考查平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，注意距離要加絕對值.

【習(xí)題12］已知反比例函數(shù)y=3與正比例函數(shù)相交與點A,點A的坐標是（1,加）.

X

（1）求此正比例函數(shù)解析式；

（2）若正比例函數(shù)y=與反比例函數(shù)＞的圖像在第一象限內(nèi)相交與點以過點A和點B

4x

分別做x軸的垂線，分別交x軸與點。和點。，AC和。8相交與點尸，求梯形PCDB的面

積；

（3）聯(lián)結(jié)A3,求AAO6面積.

【答案】（1）y=4x;（2）-；（3）

82

【解析】（1）令X=l,即得：，w=y=4,即A（l,4）,設(shè)正比例函數(shù)解析式為丫=履，

由于函數(shù)過點A（l,4）,則有％=4,即正比例函數(shù)解析式為y=4x;

（2）令解得:x=±4,因為圖像在第一象限,即得8（4,1）,則有C（1,O）,0（4,0）,

4x

則有小，小，由此可得PC/*；,BD=yB=\,CD=XD-XC=3,

即可得：Sm?=g（PC+BO）.CO=；x（；+l卜3=g;

（3）5.8=5?叱+5皿8-54加，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可得%0c=5.曲，則

5?08=5皿8=；（4。+即）（。=；（%+%）（年-%）=3（1+4）、（4-1）=￡.

【總結(jié)】考查平面直角坐標系中的幾何圖形的面積，把點坐標轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的線段

長度，結(jié)合割補法和反比例函數(shù)的幾何意義求幾何圖形的面積

【習(xí)題13］如圖，在反比例函數(shù)y=2*>0）的圖像上，有點6,P,,P,,P4,他們的橫坐標為1,

X

2,3,4.分別過這些點往x軸和y軸上作垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左向右依

次是S1,邑，邑,求5+邑+S,的值.

【答案】？

【解析】因為點耳，P,，P’,巴在反比例函數(shù)y=2圖像上,

X

且橫坐標分別為1,2,3,4,

即可得［（1,2）,g（2,l）,

鳥（3,|）,匕（4,；I）,由于矩形長均為1,

2

c121c211

即可得：Sj=%-為=2-1=1,5=見-以=—=屋$3ff

Ii3

故SI+S,+53=1+-+-=—.

362

【總結(jié)】考查關(guān)于反比例函數(shù)上的點與坐標軸圍成的矩形的面積計算.

二反思好學(xué)

【習(xí)題14】判斷下列問題中兩個變量是不是反比例函數(shù)關(guān)系?為什么？

(1)三角形的面積S一定時，它的一條邊長。和這條邊長上的高人；

(2)存煤量。一定時，平均每天的用煤量，〃與可用天數(shù)/；

(3)貨物的總價A一定時，貨物的單價。與貨物的數(shù)量x；

(4)車輛所行使的路程S一定時，車輪的直徑d和車輪的旋轉(zhuǎn)周數(shù)〃.

【答案】(1)(2)(3)(4)都是反比例函數(shù)關(guān)系

【解析】(1)根據(jù)三角形面積公式，S=-ah,即得功=2S,是反比例函數(shù)關(guān)系；

2

(2)mt=Q,乘積為定值，是反比例函數(shù)關(guān)系；

(3)總價=單價X數(shù)量，可得以=A,乘積為定值，是反比例函數(shù)關(guān)系；

(4)行程=圓周長X旋轉(zhuǎn)周數(shù)，即S=%而，得出=?是定值，是反比例函數(shù)關(guān)系.

71

【總結(jié)】考查判定兩個量是否為反比例函數(shù)關(guān)系，只需要看兩個變量的乘積是否為定值.

【習(xí)題15]已知反比例函數(shù)〉=幺(女<0),當x<0時，它的圖像在第象限.

X

【答案】二

【解析】4<0時，反比例函數(shù)圖像在二、四象限，x<0時，在第二象限.

【總結(jié)】考查根據(jù)比例系數(shù)確定反比例函數(shù)圖像所在象限.

【習(xí)題16](1)已知函數(shù)卜=竺口，如果在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，那么攵的取值范

X

圍是;

(4)如果雙曲線y=S位于第一，三象限，那么加的取值范圍是.

X

【答案】(1)k>~；(2)m>-2.

2

【解析】(1)反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)y隨著x增大而減小，可得：6k-3>0,

即得人的取值范圍是

2

(2)反比例函數(shù)圖像在一、三象限，即可得：a=祖+2>0,得">-2.

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，增減性和函數(shù)所在象限確定比例系數(shù)與0的大小關(guān)系.

【習(xí)題17］已知點(入，yj,(x2,%)在反比例函數(shù)y=^―^圖像上，當占>*2>。時，X<%，求&

x

的取值范圍.

【答案】k>2.

【解析】當王>迎>0時，即在每個象限內(nèi)y隨著x增大而減小，由此可得％-2>0,

即得攵的取值范圍是&>2.

【總結(jié)】考查通過函數(shù)增減性判斷函數(shù)比例系數(shù)與0的大小關(guān)系進行解題.

【習(xí)題18］作出反比例函數(shù))，=-±的圖像，結(jié)合圖像回答：

(1)當x=2時，y的值；

(2)當l<x44時，y的取值范圍；

(3)當14y<4時，y的取值范圍.

【答案】(1)-2;(2)-4<y<-1;(3)-4<x<-l.

【解析】(1)令x=2,即得：y=~=~2；

(2)令x=l,即得：y=——=—4,令x=4,即得y=-3=-1,Zc=—4<0?可知反比例函數(shù)在

14

每個象限內(nèi)隨著的增大而增大，由此可得：-4<y<-l;

(3)令y=l,即得：x=T,令y=4,即得x=-1,k=^<Q,可知反比例函數(shù)在每個象限

內(nèi)隨著的增大而增大，由此可得：-4<x<-l.

【總結(jié)】考查根據(jù)反比例函數(shù)圖像確定反比例函數(shù)上一段圖像的對應(yīng)變量取值范圍，根據(jù)反比

例函數(shù)比例系數(shù)與0的大小關(guān)系即可確定相應(yīng)增減性進行解題.

【習(xí)題19］已知反比例函數(shù)y=?的圖像上有一點A,過A點向x軸做垂線，垂足分別為點8,且

X

A4O3的面積為15,求這個反比例函數(shù)解析式.

【答案】y=±4

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義，可得%。小荻1=15,解得：g±30,

即反比例函數(shù)解析式為y=±型.

X

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的幾何意義，通過反比例函數(shù)上一點向一條坐標軸作垂線，這個點與

垂足和原點所構(gòu)成的三角形面積為;悶，注意加絕對值，有正負兩個答案.

【習(xí)題20]已知函數(shù)"乂-%，且％為x的反比例函數(shù)，為為》的正比例函數(shù)，且x=-g,x=l

時，y的值都是1.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】y=--2x.

X

【解析】令.=2(人工0)，＞2=餌*工0)，則有＞=%-必=&-《X，

XX