2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省高二

2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽評分標(biāo)準(zhǔn)（高二年級）說明：1.評閱試卷時(shí)，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時(shí)可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中5分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次．一、填空題（本大題共10小題，每小題9分，共90分．）1．若對于任意實(shí)數(shù)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．2．將5名大學(xué)生村官分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)的3個(gè)村就職，若每個(gè)村至少1名，則不同的分配方案種數(shù)為150．3．若，則－4．4．已知頂角為的等腰三角形的底邊長為，腰長為，則的值為3．5．設(shè)N*，，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為504．6．已知點(diǎn)在Rt△所在平面內(nèi)，，為銳角，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．7．已知正三棱錐的底面的邊長為6,側(cè)棱長為，則該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為1．8．函數(shù)的值域?yàn)椋?．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),分別是該橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則的最小值為．10．使得和都是完全平方數(shù)的最大質(zhì)數(shù)為7．二、解答題（本大題共3小題，每小題20分，共60分．）11．設(shè)平面點(diǎn)集，．若，求的最小值．xyOP解作出平面點(diǎn)集、所表示的平面區(qū)域，表示如圖陰影部分.xyOP令，則，表示直線的縱截距.易知：直線經(jīng)過區(qū)域中的點(diǎn)時(shí)，取得最小值.……………（5分）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，設(shè)它的坐標(biāo)為，結(jié)合圖形可知.又點(diǎn)在曲線上，所以有，即.………（10分）設(shè)，則，代入得，解得或（舍），即.………（15分）結(jié)合，并注意到，解得，．所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最小值為．………（20分）12．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)之積，滿足N*．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：．解（1）易知，，且由，得，即，即．……………（5分）所以，故．………（10分）（2）由（1）得．一方面，；……………（15分）另一方面，．又．所以．………（20分）

13．過直線上一動(dòng)點(diǎn)（不在軸上）作拋物線的兩條切線，為切點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)．（1）證明直線恒過一定點(diǎn)；（2）證明△的外接圓恒過一定點(diǎn)，并求該圓半徑的最小值．證明（1）設(shè)，，.拋物線的過點(diǎn)的切線方程為：．而過，故=1\*GB3①=1\*GB3①式說明直線恒過點(diǎn)．………（5分）同理可證得直線恒過點(diǎn)．故直線過兩點(diǎn)，則直線的方程為：．又，代入中，得．所以直線恒過定點(diǎn)．………（10分）（2）直線：與軸交于．拋物線的焦點(diǎn)為，則，又，則，所以.同理可證．所以四點(diǎn)共圓，且為直徑．因此，△的外接圓恒過定點(diǎn)．………（15分