2022屆人教A版導數(shù)的概念與幾何意義導數(shù)的運算單元測試

9導數(shù)的概念與幾何意義、導數(shù)的運算一、選擇題1．(2022·安徽蚌埠四校聯(lián)考)若f′(x0)＝－3，則eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),h)＝()A．－3B．－6C．－9D．－12答案：B解析：f′(x0)＝－3，則eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),h)＝eq\f(fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－h(huán),h)＝eq\f(fx0＋h－fx0,h)＋eq\f(fx0－h(huán)－fx0,－h(huán))＝2f′(x02．(2022·河南平頂山調(diào)研)設f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝()A．e2B．e\f(ln2,2)D．ln2答案：B解析：f′(x)＝lnx＋1.因為f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，解得x0＝e.故選B.3．(2022·河南濮陽第一高級中學檢測(二))已知f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的導函數(shù)，且f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),4)，則實數(shù)a的值為()\f(2,3)\f(1,2)\f(3,4)D．1答案：B解析：由題意可得f′(x)＝cosx－asinx，由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),4)，得eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),4)，解得a＝eq\f(1,2).故選B.4．(2022·山東濰坊中學月考(一))已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝3xf′(1)＋2lnx，則f′(1)＝()A．－eB．－1C．1D．e答案：B解析：∵f′(x)＝3f′(1)＋eq\f(2,x)，∴f′(1)＝3f′(1)＋2，解得f′(1)＝－1.故選B.5．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2的圖象在點P(1,1)處的切線與直線x－y＋1＝0垂直，則a的值為()A．－1B．1C．3D．－3答案：B解析：由已知可得P(1,1)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以f(1)＝1，即aln1＋b×12＝1，解得b＝1，所以f(x)＝alnx＋x2，故f′(x)＝eq\f(a,x)＋2x.則函數(shù)f(x)的圖象在點P(1,1)處的切線的斜率＝f′(1)＝a＋2，因為切線與直線x－y＋1＝0垂直，所以a＋2＝－1，即a＝－3.故選D.6．(2022·東城期末)若直線y＝－x＋2與曲線y＝－ex＋a相切，則a的值為()A．－3B．－2C．－1D．－4答案：A解析：由于y′＝(－ex＋a)′＝－ex＋a，令－ex＋a＝－1，得切點的橫坐標為x＝－a，所以切點為(－a，－1)，進而有－(－a)＋2＝－1，故a＝－3.7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4)x2＋cosx的圖象在點(t，f(t))處的切線的斜率為，則函數(shù)＝g(t)的大致圖象是()答案：A解析：由于f(x)＝eq\f(1,4)x2＋cosx，∴f′(x)＝eq\f(1,2)x－sinx，∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)為奇函數(shù)，即g(t)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除B、D，又當t＝eq\f(π,2)時，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(π,4)－sineq\f(π,2)＝eq\f(π,4)－1<0，排除C，故選A.8．設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的導函數(shù)為f′(x)，且f′(x)是偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為()A．9x－y－16＝0B．9x＋y－16＝0C．6x－y－12＝0D．6x＋y－12＝0答案：A解析：由題意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3是偶函數(shù)，則a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，則f(2)＝2，f′(2)＝9，則所求切線方程為y－2＝9(x－2)，即為9x－y－16＝0，故選A.二、填空題9．(2022·全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________．答案：y＝－2x－1解析：由題意可得當x>0時，f(x)＝lnx－3x，則f′(x)＝eq\f(1,x)－3，f′(1)＝－2，則在點(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.10．(2022·河北定州中學練習)若點P在曲線y＝x3－x＋eq\f(2,3)上移動，設點P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：∵tanα＝3x2－1，∴tanα∈[－1，＋∞)．當tanα∈[0，＋∞)時，α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；當tanα∈[－1,0)時，α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).11．(2022·重慶巴蜀中學期中)曲線f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2＋ax存在與直線3x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：(－∞，1]解析：由題意，得f′(x)＝eq\f(1,x)＋x＋a，故存在切點P(t，f(t))，使得eq\f(1,t)＋t＋a＝3，所以3－a＝eq\f(1,t)＋t有解．因為t>0，所以3－a≥2(當且僅當t＝1時取等號)，即a≤1.三、解答題12．(2022·河北衡水調(diào)研(四))已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx.(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線不過第四象限且不過原點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)設g(x)＝f(x)＋2x，若g(x)在[1，e]上不單調(diào)且僅在x＝e處取得最大值，求實數(shù)a的取值范圍．解析：(1)由f′(x)＝x－eq\f(a,x)，得f′(1)＝1－a.因為f(1)＝eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y－eq\f(1,2)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋a－eq\f(1,2).由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≥0，,a－\f(1,2)>0，))解得eq\f(1,2)<a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)g′(x)＝x－eq\f(a,x)＋2＝eq\f(x2＋2x－a,x)(x>0)，設h(x)＝x2＋2x－a(x>0)．若g(x)在[1，e]上不單調(diào)，則h(1)h(e)<0，即(3－a)(e2＋2e－a)<0，解得3<a<e2