概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

第三章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)§3.2二維離散型隨機(jī)變量的分布§3.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布§3.4二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地，我們稱n個隨機(jī)變量的整體X=(X1,X2,…，Xn)為n維隨機(jī)變量或隨機(jī)向量.§3.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二維分布函數(shù)性質(zhì)2.0≤F(x,y)≤11.F(x,y)是變量x,y的單調(diào)不減函數(shù)。對于任意y,x1<x2,F(x1,y)≤F(x2,y)對于任意x,y1<y2,F(x,y1)≤F(x,y2)4.F(x,y)關(guān)于x,y右連續(xù)。

二維隨機(jī)變量（X,Y）分布函數(shù)為F(x,y),而X,Y都是隨機(jī)變量，各自具有分布函數(shù)，分別記為FX(x)和FY(y),依次稱為（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)兩個隨機(jī)變量的獨(dú)立性如果二維隨機(jī)變量（X,Y）滿足,對任意x,y有則稱X,Y相互獨(dú)立.§3.2二維離散型隨機(jī)變量及其分布二維離散型隨機(jī)變量i,j=1,2,…定義：若X和Y均為離散型隨機(jī)變量，則(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量。若(X,Y)的所有可能取值為(xi,yj),i,j=1,2,...,且則上式為(X,Y)的聯(lián)合分布律或聯(lián)合分布列.

性質(zhì)XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...pi·p1·p2·...pi·...……………p·jp·1 p·2 …

p·j…1二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的充要條件：例1.盒子中裝有10支個大小形狀相同的粉筆，其中5支白色，3支紅色，2支黃色，現(xiàn)從中任取兩支，以X、Y分別表示其中白色和紅色粉筆的支數(shù)，求(X，Y)的聯(lián)合分布列.（1）求（X,Y）的分布。（2）X與Y是否獨(dú)立？例2：設(shè)袋里有五個同類產(chǎn)品，其中有兩個是正品?，F(xiàn)依次抽取兩個,設(shè)X、Y分別表示第一次、第二次抽取的產(chǎn)品。在無放回抽取和有放回抽取兩種情況下分別（X,Y）的聯(lián)合分布及關(guān)于X,Y的邊緣分布。例3已知X、Y獨(dú)立,完成下面表格。XY12p.j1 2 3 pi.1/81/81/61

離散型隨機(jī)變量的條件分布定義1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…聯(lián)合分布邊緣分布例4.設(shè)隨機(jī)變量X隨機(jī)地在1，2，3這兩個整數(shù)中任取一個，在已知X=k時，隨機(jī)變量Y隨機(jī)地在1到k中任取一整數(shù)值,k=1,2,3。（1）求二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律；（2）求二維隨機(jī)變量（X,Y）關(guān)于Y的邊緣分布律；（3）在已知Y=1的條件下求X的條件分布律。二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義：設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)變量，如果存在一個非負(fù)的函數(shù)f(x,y)使得對于任意的實(shí)數(shù)x,y,有則稱（X,Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。函數(shù)f(x,y)稱為（X,Y）的分布密度或聯(lián)合密度。§3.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布性質(zhì)設(shè)G為一平面區(qū)域，則(X,Y)落在G內(nèi)的概率為概率P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)用分布密度f(x,y)如何表示？例1.設(shè)(X,Y)的分布密度是求(1)C的值；

(2)P(Y<X)(3)分布函數(shù)常見的二維隨機(jī)變量的分布◆均勻分布若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）服從參數(shù)為其中均為常數(shù),且的二維正態(tài)分布.記作◆二維正態(tài)分布回顧：設(shè)（X,Y）在區(qū)域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)上服從均勻分布，求（X,Y）的分布密度。求P(Y>X2)§3.2邊緣分布與相互獨(dú)立性二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布i,j=1,2,…設(shè)（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，則(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率分布分別為邊緣分布律XYa1a2...ai...b1 b2 ... bj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...pi·p1·p2·...pi·...……………p·jp·1 p·2 …

p·j…1二維隨機(jī)變量（X,Y）分布函數(shù)為F(x,y),而X,Y都是隨機(jī)變量，各自具有分布函數(shù)，分別記為FX(x)和FY(y),依次稱為（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)設(shè)（X,Y）的分布密度為f(x,y),則關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度分別為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度隨機(jī)變量的獨(dú)立性如果二維隨機(jī)變量（X,Y）滿足,對任意x,y有則稱X,Y相互獨(dú)立.離散型連續(xù)型例1已知(X,Y)的分布如下，判斷X、Y是否獨(dú)立。XY1231 2 31/3 1/6 1/90 1/6 1/90 0 1/9例2已知X、Y獨(dú)立,完成下面表格。XY12p.j1 2 3 pi.1/81/81/61（1）求P(Y<1)（2）求分別關(guān)于X、Y的邊緣密度函數(shù)，判斷X、Y的是否獨(dú)立例5：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度為：求X,Y的邊緣概率密度,并討論X與Y的獨(dú)立性。作業(yè)P95：13,14,15，21補(bǔ)充：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度為：1)求C;2)求P(Y≥X2)3)求（X,Y）關(guān)于X,Y的邊緣分布密度，X與Y是否獨(dú)立性。2：已知隨機(jī)變量X,Y分布列如下,并且P(XY=0)=1,求（X,Y）的聯(lián)合分布列及P(X=Y)。X-1

0

1Pk1/41/21/4Y

0

1Pk1/21/2離散型例1：設(shè)（X,Y）聯(lián)合概率分布為：XY01-1 0 1 21/5 3/20 1/10 3/101/10 0 1/10 1/20求X+Y,XY的概率分布?！?.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且分別服從證明：X+Y服從離散型卷積公式例1：若X與Y是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從N(0,1)分布。求的分布。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布函數(shù)法例2.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為(極值的分布)某元件由兩個相互獨(dú)立的元件A1,A2連接而成，其連接方式分別為：(1)串聯(lián);(2)并聯(lián)。設(shè)A1,A2的壽命分別為X,Y,已知它們的概率密度分別為求兩種系統(tǒng)S1,

S2的壽命的概率密度函數(shù)。A1A2S1A1A2S2（和的分布）設(shè)（X,Y）的分布密度為f(x,y),求Z=X+Y的分布密度。若X與Y獨(dú)立，則Z=X+Y的分布密度為連續(xù)型卷積公式例1.若X與Y是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從N(0,1)分布。證：Z=X+Y服從N(0,2)分布。正態(tài)分布具有可加性例1.若X與Y是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從U(0,1)分布，求Z=X+Y的分布。

推廣到隨機(jī)變量設(shè)有兩個隨機(jī)變量

X,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.§3.4二維隨機(jī)變量的條件分布考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.體重X身高Y現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.72(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.72米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.

離散型隨機(jī)變量的條件分布定義1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…聯(lián)合分布邊緣分布例1.設(shè)袋中裝有4個球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2，3，從袋中任取一球（其數(shù)字記為X)之后不放回，再從袋中任取一球（其數(shù)字記為Y),求在X=2的條件下，Y的條件分布律。b.求在Y=2的條件下，X的條件分布律。

連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布定義設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y),邊緣概率密度為，則對一切使的x,定義已知

X=x下，Y的條件概率密度為同樣，對一切使的y,定義為已知

Y=y下，X的條件概率密度.定義例1.隨機(jī)變量X服從（0，1）區(qū)間上的均勻分布，在X＝x（0<x<1)的條件下,Y服從（0，x）上的均勻分布。求Ｙ的概率密度例2.求在X=x條件下,Y的條件概率密度。作業(yè)：P96:22,251.二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率、邊緣分布率和離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、聯(lián)合分布密度、邊緣分布密度和連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性二維均勻分布和正態(tài)分布3.隨機(jī)變量函數(shù)的分布4.二維隨機(jī)變量的條件分布例1已知(X,Y)的分布如下,且X與Y獨(dú)立YX121 2 31/3 a b1/6 1/9 1/18則a=

,b=

.2.在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)取兩個數(shù)，兩數(shù)之和小于1.2的概率為()3.設(shè)隨機(jī)變量X、Y獨(dú)立同分布，且P(X=0)=1/3,P(X=1)=2/3,則P(X=Y)=

.4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為則當(dāng)0<y<1時，(X,Y)關(guān)于Y