2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)專題12 將軍飲馬模型（原卷版）專題培優(yōu)訓(xùn)練

專題12將軍飲馬模型模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小。圖1圖2（1）如圖1，點A、B在直線m兩側(cè)：輔助線：連接AB交直線m于點P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點A、B在直線同側(cè)：輔助線：過點A作關(guān)于定直線m的對稱點A’，連接A’B交直線m于點P，則AP+BP的最小值為A’B.例1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為_____．例2．如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為_________．例3．如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．例4．如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為多少？模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點A位于定直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.輔助線：過點A作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°例2．如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．例3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6例4．如圖所示，，點為內(nèi)一點，，點分別在上，求周長的最小值．模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，在定直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個點都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：輔助線：過點B作關(guān)于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個點都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過點A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r，的大小=___．例2．如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點，在定直線m上分別找兩點P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點A、B在直線m同側(cè)：輔助線：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）如圖2，點A、B在直線m異側(cè)：輔助線：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．例2．如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．例3．如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，則________．課后專項訓(xùn)練1．如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任意一點，則周長的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．83．如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點，交于點，點是直線上的一個動點，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．84如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．70°5．如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°6．如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個動點，F(xiàn)是邊AB的中點，在點E運動的過程中，存在最小值，則這個最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．如圖，在中，，，的面積為12，于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．128.如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．89．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，周長最小時，，之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．10．如圖，點D是∠FAB內(nèi)的定點且AD=2，若點C、E分別是射線AF、AB上異于點A的動點，且△CDE周長的最小值是2時，∠FAB的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°11．如圖，∠AOB=30°，點P是它內(nèi)部一點，OP=2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為_____．13．如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．14．如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．15.如圖，在中，，，，，平分交于點，，分別是，邊上的動點，則的最小值為__________．如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為___．17．如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．18．如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，則________．19．如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．