南京師范大學附屬實驗學校2010屆高三一輪復習理科數(shù)學教學案2課時導數(shù)的應用-單調性與極值

1.理解導數(shù)在研究函數(shù)的單調性和極值中的作用；2.理解導數(shù)在解決有關不等式、方程的根、曲線交點個數(shù)等問題中有廣泛的應用。3.結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間；4.結合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性?！局攸c難點】①利用導數(shù)求函數(shù)的極值；②利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間；③利用導數(shù)求函數(shù)的最值；④利用導數(shù)證明函數(shù)的單調性；⑤數(shù)在實際中的應用；⑥導數(shù)與函數(shù)、不等式等知識相融合的問題；⑦導數(shù)與解析幾何相綜合的問題。【高考要求】B級【基礎過關】1．函數(shù)的單調性⑴函數(shù)y＝在某個區(qū)間內可導，若＞0，則為；若＜0，則為.（逆命題不成立）(2)如果在某個區(qū)間內恒有，則.注：連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間和與之相應的閉區(qū)間上的單調性是一致的.(3)求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟和方法：①確定函數(shù)的；②求，令，解此方程，求出它在定義區(qū)間內的一切實根；③把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和上面的各個實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；④確定在各小開區(qū)間內的，根據(jù)的符號判定函數(shù)在各個相應小開區(qū)間內的增減性.2．可導函數(shù)的極值⑴極值的概念設函數(shù)在點附近有定義，且對附近的所有點都有（或），則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲担Q為極大（小）值點.⑵求可導函數(shù)極值的步驟：①求導數(shù)；②求方程＝0的；③檢驗在方程＝0的根左右的符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數(shù)y＝在這個根處取得；如果在根的左側附近為負，右側為正，那么函數(shù)y＝在這個根處取得.3．函數(shù)的最大值與最小值：⑴設y＝是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，y＝在(a,b)內有導數(shù)，則函數(shù)y＝在[a,b]上有最大值與最小值；但在開區(qū)間內有最大值與最小值．(2)求最值可分兩步進行：①求y＝在(a,b)內的值；②將y＝的各值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(3)若函數(shù)y＝在[a,b]上單調遞增，則為函數(shù)的，為函數(shù)的；若函數(shù)y＝在[a,b]上單調遞減，則為函數(shù)的，為函數(shù)的.【典型例題】例1.已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的單調增區(qū)間；（2）若f(x）在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上單調遞減，在［0，+∞）上單調遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.解：=ex-a.（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的單調遞增區(qū)間為(lna,+∞).（2）∵f（x）在R內單調遞增，∴≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.（3）方法一由題意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上為增函數(shù).∴x=0時，ex最大為1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二由題意知，x=0為f(x)的極小值點.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.變式訓練1.已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在實數(shù)集R上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)a,使f(x)在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）證明：f(x)=x3-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方.（1）解由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是單調增函數(shù)，∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2對x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0時，=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函數(shù)，則a≤0.（2）解由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.當a=3時，=3(x2-1),在x∈(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上為減函數(shù)，∴a≥3.故存在實數(shù)a≥3,使f(x)在（-1，1）上單調遞減.（3）證明∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的圖象不可能總在直線y=a的上方.例2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0①當x=時，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標為x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,（2）當x∈［1，2］時，f（x）<m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.12．設f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1處有極小值－1，試求a、b的值，并求出f（x）的單調區(qū)間.13．已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.14．若函數(shù)y=x3－ax2+（a－1）x+1在區(qū)間（1，4）內為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.15.請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？［剖析］本題可設的長度為變量，根據(jù)題意建立關于的函數(shù)