2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布本章小結(jié) 新人教A版選修2-3

PAGE2016學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布本章小結(jié)新人教A版選修2-3知識(shí)點(diǎn)一條件概率條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．一般地，計(jì)算條件概率常有兩種方法：(1)P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)；(2)P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)；n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)．例1有20件產(chǎn)品，其中5件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率．解析：設(shè)第一次抽到次品為事件A，第二次抽到次品為事件B.(1)第一次抽到次品的概率P(A)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).(2)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,19).(3)在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率為P(B|A)＝eq\f(1,19)÷eq\f(1,4)＝eq\f(4,19).知識(shí)點(diǎn)二求相互獨(dú)立事件的概率1．相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn)行考查，解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解．2．特別注意以下兩公式的使用前提：(1)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．(2)若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．設(shè)對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行三次相互獨(dú)立的射擊，各次的命中率分別為0.2、0.6、0.3，試求：(1)在三次射擊中恰有一次命中的概率；(2)在三次射擊中至少有一次命中的概率．解析：設(shè)“第i次射擊命中目標(biāo)”為事件Ai(i＝1，2，3)，由題意A1、A2、A3相互獨(dú)立．(1)恰有一次命中的概率為P＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.2×(1－0.6)×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.6×(1－0.3)＋(1－0.2)×(1－0.6)×0.3＝0.488.(2)至少有一次命中的概率為P＝1－P(A1A2知識(shí)點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的期望與方差離散型隨機(jī)變量的期望和方差是隨機(jī)變量中兩種最重要的特征數(shù)，它們反映了隨機(jī)變量取值的平均值及其穩(wěn)定性，期望與方差在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中有大量的應(yīng)用，關(guān)鍵要將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后求出它們的概率分布列，同時(shí)，要注意運(yùn)用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望與方差的線性性質(zhì)，如E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ、η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中的10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5、3a、a、0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求ξ、η的分布列；(2)求ξ、η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．解析：(1)依題意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1解得a＝0.1.因?yàn)橐疑渲?0，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝所以ξ、η的分布列分別為：ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(環(huán))；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(環(huán))；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，說(shuō)明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又因?yàn)镈(ξ)<D(η)，說(shuō)明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定．所以，甲比乙的技術(shù)好．知識(shí)點(diǎn)四正態(tài)分布對(duì)于正態(tài)分布問(wèn)題，課標(biāo)要求不是很高，只要求了解正態(tài)分布中最基礎(chǔ)的知識(shí)，主要是：(1)掌握正態(tài)分布曲線函數(shù)關(guān)系式；(2)理解正態(tài)分布曲線的性質(zhì)；(3)記住正態(tài)分布在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖象求相應(yīng)的概率．某地?cái)?shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布，某密度函數(shù)曲線如下圖所示，成績(jī)X位于區(qū)間(52，68]的概率為多少？解析：設(shè)成績(jī)X～N(μ，σ2)，則正態(tài)分布的密度函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e，由圖可知，μ＝60，σ＝8.∴P(52<X≤68)＝P(|X－60|<8)＝P(|X－μ|<σ)＝0.6826.一、選擇題1．(2013·廣東卷)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝(A)A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(5,2)D．3解析：E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(15,10)＝eq\f(3,2)，故選A.2．(2013·景德鎮(zhèn)高二期末)已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如下：X01Pm2則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于(B)A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)解析：由m＋2m＝1得，m＝eq\f(1,3)，∴E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故選B.3．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，則該隨機(jī)變量的方差等于(C)A．10B．100C.eq\f(2,π)D.eq\r(\f(2,π))解析：由正態(tài)分布密度曲線上的最高點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).4．(2014·蘭州一診)隨機(jī)變量X的分布列為：X124P0.40.30.3則E(5X＋4)等于(A)A．15B．11C．2.2D．2.3解析：∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．甲射擊命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,2)，乙命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,3)，丙命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,4)，現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率是(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(7,10)6．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生成績(jī)X～N(110，52)，據(jù)此估計(jì)，大約有57人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間為(C)A．(90，100]B．(95，125]C．(100，120]D．(105，115]解析：因?yàn)閄～N(110，52)，所以μ＝110，σ＝5.eq\f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(100<X≤120)，所以X∈(100，120]．故選C.7．把10個(gè)骰子全部投出，設(shè)出現(xiàn)6點(diǎn)的骰子的個(gè)數(shù)為X，則P(X≤2)＝(D)A．Ceq\o\al(2,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(8)B．Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(10)C．Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(9)＋Ceq\o\al(2,10)×eq\f(12,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(8)D．以上都不對(duì)解析：P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(10)＋Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(9)＋Ceq\o\al(2,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(8).故選D.8．(2014·成都調(diào)研)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量X為“|a－b|的取值”，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)為(A)A.eq\f(8,9)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,3)解析：對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)(a與b同號(hào))的拋物線有2Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,7)＝126(條)，X的可能取值有0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(6×7,126)＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(8×7,126)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(4×7,126)＝eq\f(2,9)，故E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).9．將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)6出現(xiàn)次數(shù)X的均值E(X)＝________．解析：這是100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100，\f(1,6)))，∴E(X)＝100×eq\f(1,6)＝eq\f(50,3).答案：eq\f(50,3)10．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為_(kāi)_______．解析：由分布列可得x＝0.6－y且7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，解得y＝0.4.答案：0.411．將一個(gè)大正方形平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)，投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為B，則P(A|B)＝____________．解析：根據(jù)幾何概型，得P(AB)＝eq\f(1,9)，P(B)＝eq\f(4,9)，所以P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)12．(2014·浙江卷)隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________．解析：設(shè)P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y(tǒng)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(4,5)，,x＋2y＝1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)13．(2013·廣東珠海高二下學(xué)期期末)在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某6張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券1張，每張可獲價(jià)值20元的獎(jiǎng)品；其余4張沒(méi)有獎(jiǎng)．某顧客從此6張中任抽1張，求：(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率；(2)該顧客參加此活動(dòng)可能獲得的獎(jiǎng)品價(jià)值的期望值．解析：(1)P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，即該顧客中獎(jiǎng)的概率為eq\f(1,3).(2)X的所有可能值為：0，20，50(元)，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(1,6))＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,6))＝eq\f(1,6)，P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,6))＝eq\f(1,6)，故X的分布列為：X02050Peq\f(2,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)E(X)＝0×eq\f(2,3)＋20×eq\f(1,6)＋50×eq\f(1,6)＝eq\f(70,6)＝eq\f(35,3).所以該顧客參加此活動(dòng)可能獲得獎(jiǎng)品價(jià)值的期望值是eq\f(35,3)元．14．壇子里放著5個(gè)相同大小、相同形狀的咸鴨蛋，其中有3個(gè)是綠皮的，2個(gè)是白皮的．如果不放回地依次拿出2個(gè)鴨蛋，求：(1)第一次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率．解析：設(shè)第1次拿出綠皮鴨蛋為事件A，第2次拿出綠皮鴨蛋為事件B，則第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋為事件AB.(1)從5個(gè)鴨蛋中不放回地依次拿出2個(gè)的基本事件數(shù)為μ(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.又μ(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(μ（A）,μ（Ω）)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因?yàn)棣?AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(μ（AB）,μ（Ω）)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).解法二：因?yàn)棣?AB)＝6，μ(A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f(μ（AB）,μ（A）)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).15．(2014·甘肅省三診)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)被隨機(jī)地分到A、B、C三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名同學(xué)．(1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)社區(qū)的概率；(3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為四名同學(xué)中到A社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和E(ξ)的值．解析：(1)記甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)為事件M，那么P(M)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3))＝eq\f(1,18)，即甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)的概率是eq\f(1,18).(2)記甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么P(E)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3))＝eq\f(1,6)，所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是P(E)＝1－P(E)＝eq\f(5,6).(3)隨機(jī)變量ξ可能取的值為1，2.事件“ξ＝i(i＝1，2)”是指有i個(gè)同學(xué)到A社區(qū)，則p(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝eq\f(2,3)，ξ的分布列是：ξ12p