阿波羅尼圓的畫板實現(xiàn)及應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上阿波羅尼圓的畫板實現(xiàn)及應(yīng)用兼談幾何畫板中自定義工具的實現(xiàn)及應(yīng)用張志勇（江蘇省常州市第五中學(xué)）摘要：從具體畫板操作入手（即阿波羅尼圓的畫板的兩種實現(xiàn)方法），進(jìn)而涉及畫板高級功能的研究（即自定義工具的創(chuàng)設(shè)）；并在具體案例應(yīng)用得出啟示：教育技術(shù)可以為“研究數(shù)學(xué)”提供有效載體，而技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)教育情境創(chuàng)設(shè)離不開教師的研究和設(shè)計。關(guān)鍵詞：阿波羅尼圓；教育技術(shù)；構(gòu)造；自定義工具；幾何畫板我們知道，到兩定點F1、F2的距離之和為定值（大于F1F2）的點M的軌跡為橢圓，而距離之差為定值（小于F1F2）的點M的軌跡為雙曲線，那么圓是否有相類似的結(jié)論呢？答案是肯定的，事實上滿足到兩定點

2、F1、F2的距離之比為定值t(t>0且t1)點M的軌跡為圓，這個結(jié)論是阿波羅尼(Apollonius，約前260前190)發(fā)現(xiàn)的，所以往往稱為阿波羅尼圓。但圓的這一性質(zhì)比較“隱晦”，為幫助學(xué)生直觀理解需要我們創(chuàng)設(shè)“所見即所得”的教學(xué)情境，本文以幾何畫板5.0為例談?wù)勗诋嫲瀛h(huán)境中阿波羅尼圓的構(gòu)造方式，并與讀者分享畫板中自定義工具功能的實現(xiàn)與應(yīng)用。一、阿波羅尼圓的畫板實現(xiàn)1.幾何構(gòu)造法實現(xiàn)阿波羅尼圓步驟1、構(gòu)造一直線上兩點F1、F2，新建參數(shù)t，其初值賦為2；圖1步驟2、度量計算并標(biāo)記為比值，雙擊點F1標(biāo)記為中心，選中F2按標(biāo)記比值縮放得到點P；步驟3、度量計算并標(biāo)記為比值，雙擊點F1標(biāo)記為

3、中心，選中F2按標(biāo)記比值縮放得到點得到點Q；步驟4、構(gòu)造線段PQ并構(gòu)造線段PQ的中點C，以C為圓心以P為圓上一點構(gòu)造圓C。試試效果如何？取圓C上任意一點M構(gòu)造線段MF1、MF2，并先后選中兩線段度量比值，拖動點M會發(fā)現(xiàn)比值不變并且與參數(shù)t值恒相等（如圖1所示）。圖22.解析構(gòu)造法實現(xiàn)阿波羅尼圓步驟1、在x軸上任取兩點F1、F2，度量其橫坐標(biāo)將標(biāo)簽分別設(shè)為x1、x2，新建參數(shù)t初值賦為3；步驟2、計算，選中后點擊繪圖菜單中的在軸上繪制點命令，在彈出窗口中選擇“繪制”按紐得到點P；步驟3、計算，重復(fù)步驟2可得到點Q；步驟4、同方法一，以PQ為直徑構(gòu)造圓C。我們也可仿照方法一驗證效果（如圖2所示）。

4、3.實現(xiàn)方法構(gòu)造詳解及比較圖3從以上構(gòu)造過程我們可以發(fā)現(xiàn)，確實阿波羅尼圓關(guān)鍵在于找到圓與直線F1F2的交點P、Q（因為圓C以PQ為直徑）。事實上，P、Q兩點一個在線段F1F2內(nèi)一個在線段F1F2外，于是這兩個點便稱為圓的內(nèi)分點、外分點；更進(jìn)一步地，如果參數(shù)t>1，則Q點在F1F2的延長線上，此時圓C偏向F2一側(cè)；如果0<t<1，則Q點在F1F2的反向延長線上，此時圓C偏向F1一側(cè)。這樣，我們可以將實現(xiàn)阿波羅尼圓問題界定為“知三求二”問題：三條件（定點F1、F2、定值t）確實兩結(jié)論（內(nèi)分點P、外分點Q），而確定P、Q點的位置恰是構(gòu)造的重點和難點。【評注】方法一將點F2以F1為中

5、心進(jìn)行放縮屬于幾何構(gòu)造，而放縮比例分別確定為、卻是考慮到的緣故； 方法二則是解析法計算，為將問題簡化，我們將F1、F2限定在了x軸上，設(shè)F1(x1,0)、F2(x2,0)、P(x,0)，由可得從而，這樣便可確定點P，同理可得到點Q。兩種構(gòu)造方法本質(zhì)上是一致的，都用到了定比分點公式，相比較而言方法一略顯繁瑣。二、自定義工具的創(chuàng)設(shè)及應(yīng)用1自定義工具的創(chuàng)設(shè)以方法1為例，先后選中參數(shù)值t、點F1、點F2和圓C，點擊工具欄中的自定義工具選項，彈出窗口中選擇創(chuàng)建新工具（如圖3所示）；在彈出“新建工具” 窗口的工具名稱中輸入“阿波羅尼圓”點擊確實即可。如果在“新建工具” 窗口中勾選顯示腳本視圖（如圖4所示）

6、，我們會發(fā)現(xiàn)“阿波羅尼圓”工具的先決條件為度量結(jié)果t、點F1、F2，只要給定這三個先決條件便可得到相應(yīng)的阿波羅尼圓C，簡而言之相當(dāng)于由條件“度量結(jié)果t、點F1、F2”便可得到結(jié)論“圓C”。需要強調(diào)的是：一方面創(chuàng)設(shè)工具時要關(guān)注F1、F2的選中的先后順序，如果順序錯了得到的結(jié)果就“南轅北轍”了；另一方面如果在創(chuàng)建工具過程中同時選中“點C、線段MF1、線段MF2”的話，圖4圖5我們會發(fā)現(xiàn)結(jié)論中也多了相應(yīng)的結(jié)果，讀者不妨一試；同時，對于方法二的構(gòu)造而言，因為構(gòu)造過程中依賴于坐標(biāo)系，所以在創(chuàng)新工具時選擇對象應(yīng)包括坐標(biāo)軸，這樣需要選中軸x、軸y、參數(shù)值t、點F1、點F2和圓C，但在“腳本視圖”中出現(xiàn)的先決

7、條件只有“軸y、軸x、度量結(jié)果t”（如圖5所示），究其原因在于在工具的操作步驟中畫板將點F1、F2設(shè)置為自由點了。2自定義工具的應(yīng)用舉例案例（2009年江蘇高考第18題的推廣）：圓C1和圓C2的半徑分別為r1、r2，則平面上存在兩個點P滿足：過點P有無窮多對夾角為的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長比值為。步驟1、構(gòu)造線段r1、r2，點C1、點C2；以C1為圓心r1為半徑構(gòu)造圓C1，同理得到圓C2，度量r1與r2的線段長的比值并將標(biāo)簽修改為t；圖6圖7步驟2、點擊工具欄中的自定義工具選項，選中自定義工具“阿波羅尼圓”，先后選中

8、比值t及點C1、點C2，得到相應(yīng)的阿波羅尼圓M；步驟3、以C1 C2為直徑構(gòu)造圓N，構(gòu)造圓M與圓N的交點P1、P2（這便是我們要找尋的定點，如圖6所示）。步驟4、過P1作兩條相互垂直的直線l1、l2，度量C1、 C2到兩條直線的距離（效果如圖7所示）。三、兩點思考和啟示1教育技術(shù)可以為“研究數(shù)學(xué)”提供有效載體以案例中所涉及問題為例，如果僅以代數(shù)推演的方式我們可以得出正確的結(jié)論，但只囿于以教師講述啟發(fā)學(xué)生用“心靈”去想象，對于學(xué)生來說除了被動接受一無意義的事實外便無所收獲了，而在圖7創(chuàng)設(shè)的情境里學(xué)生可以在感受數(shù)學(xué)結(jié)論的真實性的同時產(chǎn)生探究欲望，繼而積極探求影響結(jié)果的數(shù)學(xué)本質(zhì)（當(dāng)然要達(dá)成這一目標(biāo)還

9、需要我們推敲細(xì)節(jié)設(shè)計過程），從而使數(shù)學(xué)研究成為學(xué)生的內(nèi)在訴求。事實上，以幾何畫板為代表的教育技術(shù)能為學(xué)生提供“多元聯(lián)系表征”的學(xué)習(xí)環(huán)境，因為作為一種認(rèn)知工具，教育技術(shù)能對同一數(shù)學(xué)對象（數(shù)學(xué)的概念、法則、表達(dá)式、定義等等）給出幾種不同表征，從而對學(xué)生真實理解數(shù)學(xué)產(chǎn)生重要影響；與此同時，教育技術(shù)能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)研究情境，讓學(xué)生在觀察問題、猜想結(jié)論、驗證猜想、體驗本質(zhì)、歸納和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的過程中感受數(shù)學(xué)的全過程。因此我們需要發(fā)揮教育技術(shù)的力量，更好地組織和管理教學(xué)資源，構(gòu)建交互式、多樣化的實驗學(xué)習(xí)環(huán)境，呈現(xiàn)“以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容”；促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的基本理解和形成直覺思維，使學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的，數(shù)學(xué)是水到渠成的”。2教育技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)離不開教師的精心設(shè)計我們知道，幾何畫板作為一種動態(tài)幾何演示軟件，可以把抽象的數(shù)量、圖形關(guān)系形象地描述出來，再現(xiàn)真實環(huán)境的數(shù)形的動態(tài)變化過程。但如何利用幾何畫板構(gòu)建易于學(xué)生理解和接受的問題情境，創(chuàng)建易于學(xué)生觀察問題、猜想結(jié)論、驗證猜想、體驗本質(zhì)、歸納和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的數(shù)學(xué)實驗平臺，這就離不開教師的精心設(shè)計、巧妙構(gòu)造。一方面我們需要研究技術(shù)本身，因為“工欲善其事必先利其器”，如需要在實踐中思考幾何畫板5版本的新功能（方法2中“在軸上繪制點”便是一例）和目標(biāo)問題的構(gòu)造實現(xiàn)方法，使技術(shù)成為如紙筆一樣方便