四年級經(jīng)典奧數(shù)專題練習(xí)

高斯求和假設(shè)干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：〔1〕1，2，3，4，5，…，100〔2〕1，3，5，7，9，…，99〔3〕8，15，22，29，36，…，71想一想：上面的數(shù)列是否是等差數(shù)列？你怎么知道的？每一列的公差是幾？首項和末項分別是多少？思考與討論：首項和末項之間有什么關(guān)系？每一列一共有幾項？大家來總結(jié)：末項＝首項＋公差×〔項數(shù)－1〕項數(shù)＝〔末項－首項〕÷公差＋1例1、求等差數(shù)列3，7，11，15，19，…的第10項和第25項。例2、在等差數(shù)列2，5，8，11，14，…中，101是第幾項？例3、在5和61之間插入七個數(shù)后，使它成為一個等差數(shù)列，寫出這個數(shù)列。思考與討論：怎么計算比擬簡便？1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50＝？1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＝？大家來總結(jié)：等差數(shù)列的和＝〔首項＋末項〕×項數(shù)÷2例4、1＋2＋3＋4＋…＋1999例5、3＋7＋11＋…＋99練習(xí)：1、計算下面各題?！?〕2＋4＋6＋…＋200〔2〕17＋19＋21＋…＋39〔3〕5＋8＋11＋14＋…＋50〔4〕3＋10＋17＋24＋…＋1012、求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3、求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。等差數(shù)列小練習(xí)班級：姓名：1、等差數(shù)列2，5，8，11，14，…〔1〕這個數(shù)列的第13項是多少？〔2〕47是其中的第幾項？2、等差數(shù)列的第1項是12，第6項是27，求公差。3、如果一個數(shù)列的第4項為21，第6項為33，求它的第9項。4、求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。5、等差數(shù)列6，13，20，27…，問這個數(shù)列前30項的和是多少？6、①7＋10＋13＋…＋37＋40②2000－3－6－9－…－51－547、一個劇場設(shè)置了22排座位，第一排有36個座位，往后每排都比前一排多2個座位，這個劇場共有多少個座位？平均數(shù)平均數(shù)是相對于“總數(shù)〞和分成的“份數(shù)〞而言的。例如：全班同學(xué)的總成績÷全班同學(xué)人數(shù)＝平均成績幾件貨物的總重量÷貨物件數(shù)＝平均重量一輛汽車行駛的路程÷所用的時間＝平均速度求平均數(shù)的一般公式：總數(shù)÷份數(shù)＝平均數(shù)例1一小組六個同學(xué)在某次數(shù)學(xué)考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績是多少？解法一：〔98＋87＋93＋86＋88＋94〕÷6解法二：以90分為“基準〞，這六個數(shù)與90分的差分別是：8，－3，3，－4，－2，4那么總和＝90×6＋〔8－3＋3－4－2＋4〕平均數(shù)＝90＋〔8－3＋3－4－2＋4〕÷6例2小明家先后買了兩批小豬，養(yǎng)到今年6月。第一批的3頭每頭重66千克，第二批的5頭每頭重42千克。小明家養(yǎng)的豬平均多重？想一想：〔66＋42〕÷2這樣算對嗎？說說你的理由。例3一個學(xué)生方案每天做4道數(shù)學(xué)訓(xùn)練題。結(jié)果星期一至三每天做3道，星期四不做，星期五、六兩天共做13道。那么，星期日要做幾道題才能到達自己規(guī)定的要求？例4小敏期末考試，數(shù)學(xué)92分，語文90分，英語成績比這三門的平均成績高4分。問：英語得了多少分？練習(xí)：1、農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為〔單位：厘米〕26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25求這批麥苗的平均高度。2、一小組同學(xué)體檢量身高發(fā)現(xiàn)其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均為132厘米。這個小組同學(xué)的平均身高是多少？3、小妹做跳繩練習(xí)，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成績到達80下，第三次至少要跳多少下？4、五個同學(xué)期末考試的數(shù)學(xué)成績平均94分，而其中有三個同學(xué)的平均成績?yōu)?2分。另兩個同學(xué)的平均成績是多少？5、小亮學(xué)游泳，第一次游了25米，第二次游的距離比兩次游的平均距離多8米。小亮第二次游了多少米？6、籃球隊中四名隊員的平均身高是182厘米，另一名隊員的身高比這五名隊員的平均身高矮8厘米，這名隊員的身高是多少？平均數(shù)小練習(xí)班級：姓名：1、三年級同學(xué)測身高，第一組10名同學(xué)的身高分別為134，132，138，140，128，135，143，137，136，137厘米，平均身高是多少厘米？2、一班有40個學(xué)生，二班有42個學(xué)生，三班有43個學(xué)生。開學(xué)后又轉(zhuǎn)來了13個學(xué)生。怎樣分才能使每班學(xué)生人數(shù)相等？3、小華4次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是90分，第5次得了95分，5次測驗的平均成績是多少分？4、小明期中考試語文得82分，外語得88分，數(shù)學(xué)得多少分使三科平均成績才能到達90分？5、某班運動隊中，女運發(fā)動的人數(shù)是男運發(fā)動的一半，男運發(fā)動的平均體重是41千克，女運發(fā)動的體重是35千克，全體運發(fā)動的平均體重是多少千克？6、五個數(shù)的平均數(shù)是30，如果把這五個數(shù)從小到大排列，那么前三個數(shù)的平均數(shù)是25，后三個數(shù)的平均數(shù)是35，問中間的一個數(shù)是多少？7、籃球隊中三名隊員的平均身高是180厘米，另一名隊員的身高比這四名隊員的平均身高矮3厘米，這名隊員的身高是多少？和倍問題大小兩數(shù)的和是265，大數(shù)是小數(shù)的4倍。大小兩數(shù)各是多少？①我們畫圖來表示：②也可以畫線段圖。③還可以這樣想：大數(shù)＋小數(shù)＝2654個小數(shù)＋小數(shù)＝265想一想：265在圖①和圖②中分別指哪局部？那么我們可以先求出小數(shù)，再求出大數(shù)。例1甲、乙兩倉庫共存糧264噸，甲倉庫存糧是乙倉庫的7倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸？例2甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時出發(fā)，相向而行，2時后兩車相遇。甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每時各行多少千米？例3甲隊有45人，乙隊有75人。甲隊要調(diào)入乙隊多少人，乙隊人數(shù)才是甲隊的3倍？例4妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個，而小灰兔自己又采了10個。這時，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問：原來大白兔和小灰兔各采了多少個蘑菇？練習(xí)：1、小敏與爸爸的年齡之和是64歲，爸爸的年齡是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年齡各是多少歲？2、甲、乙兩桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么這時甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙兩桶原有汽油多少千克？3、甲、乙兩人共生產(chǎn)零件100個，其中甲有2個零件、乙有5個零件不合格。乙生產(chǎn)的合格零件是甲生產(chǎn)的合格零件的2倍。甲、乙各生產(chǎn)了多少個零件？4、團結(jié)村原有水田290公頃，旱田170公頃。要把多少公頃旱田改為水田，才能使水田的公頃數(shù)比旱田的公頃數(shù)多2倍？5、星星圖書館內(nèi)，科技書是故事書的3倍，連環(huán)畫書又是科技書的2倍。這三種書共有1600本，那么每種書各有多少本？6、同學(xué)們做布花布置教室，其中紅花比藍花的4倍多3朵，這兩種花共做了78朵，紅花比藍花多幾朵？和倍問題小練習(xí)班級：姓名：1、甲、乙兩個車間共有職工784人，甲車間的人數(shù)是乙車間的3倍，兩個車間各有職工多少人？2、有兩堆棋子，第一堆有67個，第二堆有53個。問從第二堆中拿出多少個棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍？3、光明小學(xué)買來足球和籃球共30個。買來足球的個數(shù)比籃球的2倍少3個，學(xué)校買來足球和籃球各多少個？4、爺爺、爸爸和小明共106歲，爺爺比爸爸大26歲，爸爸比小明大28歲，爺爺幾歲？爸爸幾歲？小明幾歲？5、書架上共有180本圖書，其中第二層是第一層的2倍，第三層是第二層的3倍，求三層各有書多少本？6、書架上、下兩層共有書150本。如果從下層搬20本放到上層，那么上層書的本數(shù)是下層的2倍，問書架的上、下層原各有書多少本？7、小明、小紅、小玲共有73塊糖。如果小玲吃掉3塊，那么小紅與小玲的糖就一樣多；如果小紅給小明2塊糖，那么小明的糖就是小紅的糖的2倍，問三人原來各有糖多少塊？差倍問題回憶一下，解決和倍問題的時候我們用了哪些方法來思考問題？你來試試：大數(shù)與小數(shù)的差是152，大數(shù)是小數(shù)的5倍，大小兩數(shù)各是多少？思考與討論。例1王師傅一天生產(chǎn)的零件比他的徒弟一天生產(chǎn)的零件多128個，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產(chǎn)多少個零件？例2甲、乙兩個工程隊，甲隊有56人，乙隊有34人。兩隊調(diào)走同樣多人后，甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的3倍。問：調(diào)動后兩隊各還有多少人？例3甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶參加14千克油，這時，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？例4小云比小雨少20本書，后來小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時小雨的書比小云的書多2倍。問：原來兩人各有多少本書？例5甲桶的油是乙桶的5倍。如果從甲桶取出30千克倒入乙桶，那么兩桶油的重量相等。兩桶油原來各有多少？練習(xí)：1、一養(yǎng)雞場，公雞比母雞少369只，母雞是公雞的4倍。公雞、母雞各多少只？2、小林今年9歲，她爸爸今年35歲。小林多少歲時，他爸爸的年齡正好是他的3倍？3、一車間男工26人，女工14人。調(diào)走男、女工同樣多的人后，男工人數(shù)是女工人數(shù)的3倍。剩下的男、女工各多少人？4、甲、乙兩數(shù)相等。甲數(shù)加上50，乙數(shù)減去34后，甲數(shù)就是乙數(shù)的4倍。原來甲、乙兩數(shù)等于幾？5、兩根同樣長的電線，第一根用去37米，第二根用去16米后，第二根的長度是第一根長度的4倍。兩根電線原來有多長？6、大、小兩數(shù)之差是504。大數(shù)個位數(shù)是0，去掉這個0，正好是小數(shù)。大、小數(shù)各是多少？差倍問題小練習(xí)班級：姓名：1、暑假里，兄弟二人去池塘邊釣魚，哥哥比弟弟多釣了20條，哥哥釣的條數(shù)又正好是弟弟的3倍。問兄弟倆各釣了多少條魚？2、小明有存款56元，小華有存款34元。如果兩人取出同樣多的錢后，小明的存款是小華的3倍。問取款后兩人各有存款多少元？3、參加數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)中，五年級比四年級的3倍少35人，兩年級的人數(shù)差是41人，問兩年級參加數(shù)學(xué)興趣小組的各有多少人？4、有兩匹布，第一匹布的長度是第二匹布的3倍，第一匹布剪去850米，第二匹布剪去50米后，兩匹布剩下的長度相等，這兩匹布原來各有多長？5、甲數(shù)加上152等于乙數(shù)，乙數(shù)加上480等于甲數(shù)的3倍，問甲、乙兩數(shù)各是多少？6、甲有60元，乙有28元，兩人添上相等的錢后，甲的錢的3倍等于乙的錢的5倍，現(xiàn)兩人各有多少錢？綜合訓(xùn)練〔一〕班級：姓名：1、等差數(shù)列2，5，8，11，14，…〔1〕這個數(shù)列的第13項是多少？〔2〕47是其中的第幾項？2、7＋10＋13＋…＋37＋403、2000－3－6－9－…－51－544、三年級同學(xué)測身高，第一組10名同學(xué)的身高分別為134，132，138，140，128，135，143，137，136，137厘米，平均身高是多少厘米？5、小華4次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是90分，第5次得了95分，5次測驗的平均成績是多少分？6、籃球隊中三名隊員的平均身高是180厘米，另一名隊員的身高比這四名隊員的平均身高矮3厘米，這名隊員的身高是多少？7、甲、乙兩個車間共有職工784人，甲車間的人數(shù)是乙車間的3倍，兩個車間各有職工多少人？8、有兩堆棋子，第一堆有67個，第二堆有53個。問從第二堆中拿出多少個棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍？9、光明小學(xué)買來足球和籃球共30個。買來足球的個數(shù)比籃球的2倍少3個，學(xué)校買來足球和籃球各多少個？10、小明有存款56元，小華有存款34元。如果兩人取出同樣多的錢后，小明的存款是小華的3倍。問取款后兩人各有存款多少元？11、參加數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)中，五年級比四年級的3倍少35人，兩年級的人數(shù)差是41人，問兩年級參加數(shù)學(xué)興趣小組的各有多少人？12、有兩匹布，第一匹布的長度是第二匹布的3倍，第一匹布剪去850米，第二匹布剪去50米后，兩匹布剩下的長度相等，這兩匹布原來各有多長？綜合訓(xùn)練〔二〕班級：姓名：1、等差數(shù)列3，7，11，15，19，…〔1〕這個數(shù)列的第25項是多少？〔2〕219是其中的第幾項？2、3＋10＋17＋24＋…＋1013、求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4、一小組六個同學(xué)在某次數(shù)學(xué)考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績是多少？5、五個同學(xué)期末考試的數(shù)學(xué)成績平均94分，而其中有三個同學(xué)的平均成績?yōu)?2分。另兩個同學(xué)的平均成績是多少？6、小敏期末考試，數(shù)學(xué)92分，語文90分，英語成績比這三門的平均成績高6分。問：英語得了多少分？7、小敏與爸爸的年齡之和是64歲，爸爸的年齡是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年齡各是多少歲？8、甲、乙兩桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么這時甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙兩桶原有汽油多少千克？9、同學(xué)們做布花布置教室，其中紅花比藍花的4倍多3朵，這兩種花共做了78朵，紅花比藍花多幾朵？10、一養(yǎng)雞場，公雞比母雞少369只，母雞是公雞的4倍。公雞、母雞各多少只？11、甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶參加14千克油，這時，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？12、小云比小雨少20本書，后來小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時小雨的書比小云的書多2倍。問：原來兩人各有多少本書？和差問題大小兩數(shù)之和為324，兩數(shù)之差為152，求此兩數(shù)。我們來畫圖：想一想：如果給小數(shù)添上152，使它和大數(shù)同樣多，那么兩數(shù)的和又是多少？這樣的話，可以先求出什么數(shù)？如果給大數(shù)減去152，使它和小數(shù)同樣多，那么兩數(shù)的和又是多少？這樣的話，可以先求出什么數(shù)？例1小軍和他爸爸今年的年齡之和是42歲，年齡之差是26歲。小軍與他爸爸今年各多少歲？例2三年級一班有學(xué)生49人，其中女生比男生少5人。這個班男、女生各多少人？例3哥哥今年14歲，妹妹今年8歲，當(dāng)兄妹倆歲數(shù)的和是42歲時，兩人各應(yīng)該是多少歲？例4芳芳和圓圓共有圖書70本，如果芳芳給圓圓5本，那么圓圓就比芳芳多4本。問：芳芳和圓圓原來各有圖書多少本？例5甲的書比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有書47本。問：甲、乙、丙各有多少本書？練習(xí)：1、水果店一天賣出蘋果和梨共386千克，梨比蘋果少賣84千克。蘋果和梨各賣多少？2、弟弟今年15歲，姐姐今年20歲。當(dāng)姐弟倆歲數(shù)的和是75歲時，兩人各多少歲？3、兩堆石子相差16粒，如果混在一起，那么可以重新分成數(shù)量都是28粒的三堆。求原來兩堆石子各有多少粒？4、紅紅和藍藍共有61本書，紅紅給了藍藍5本書，藍藍自己又新買了3本書，紅紅現(xiàn)在比藍藍少2本書。問：兩人原來各有幾本書？5、甲倉庫存糧比乙倉庫多300噸，比丙倉庫少100噸，乙、丙倉庫共存糧3000噸。三個倉庫共存糧多少噸？6、四年級有三個班，如果把乙班的1名學(xué)生調(diào)到甲班，兩班人數(shù)就相等，如果再把甲班1名學(xué)生調(diào)到丙班，丙班比乙班多2人，問第二次調(diào)動前乙班和丙班哪個班人數(shù)多？多幾人？和差問題小練習(xí)班級：姓名：1、南浦大橋和楊浦大橋共長3468米，楊浦大橋比南浦大橋長14米，兩座大橋各長多少米？2、四1班和四2班平均每班植樹215棵，四1班比四2班多種82棵，求這兩個班級各植樹多少棵？3、兩箱水果共100千克，如果從第一箱中取出10千克放到第二箱里，這時第一箱比第二箱重2千克。這兩箱水果原來各有多少千克？4、甲、乙兩個學(xué)校共有1445人，如果從乙校調(diào)20人到甲校，那么甲校就比乙校多5人，兩校原有學(xué)生各多少人？5、甲、乙兩隊籃球比賽，結(jié)果兩隊總分和是96分。如果甲隊加上8分，就比乙多2分，求兩隊各得多少分？6、某工廠將875元獎金分給有創(chuàng)造創(chuàng)造的三名優(yōu)秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名優(yōu)秀工人各得多少元？7、把80米長的一條繩子分成4段，要使后一段比前一段多4米，那么每段各長多少米？數(shù)字謎巧數(shù)圖形a例1數(shù)一數(shù)，以下圖形中各有幾條線段？例2數(shù)一數(shù)，以下圖中有多少個銳角？例3數(shù)一數(shù)，以下圖中有幾個三角形？例4數(shù)一數(shù)，以下圖形中各有幾個長方形？例5數(shù)一數(shù)，以下圖形中各有多少個正方形？例6數(shù)一數(shù)，下面的圖形中含有☆的長方形一共有幾個？〔有一個或兩個☆都可以〕巧數(shù)圖形b1數(shù)一數(shù)，下面圖形中一共有幾條線段？幾個三角形？2數(shù)一數(shù)，下面圖形中一共有幾個三角形？3數(shù)一數(shù)，下面的圖形中一共有幾個長方形？4數(shù)一數(shù)，下面的圖形中一共有幾個三角形？有幾個正方形？5數(shù)一數(shù)，下面的圖形中有幾條線段？有幾個三角形？巧數(shù)圖形小練習(xí)班級：姓名：1、以下圖中共有幾條線段，幾個三角形？2、以下圖中有幾個四邊形？3、以下圖中共有多少個三角形？4、以下圖中包含“☆〞的長方形共有多少個？5、數(shù)一數(shù)，以下圖中共有幾個正方形？6、數(shù)一數(shù)，以下圖中有幾個長方形？巧求周長例1計算以下圖形的周長〔單位：厘米〕例2求下面兩個圖形的周長〔單位：厘米〕例3一個正方形被分成了三個相同的長方形。如果其中一個長方形的周長是16米，那么這個正方形的周長是多少米？例4以下圖是由四個一樣大的長方形和一個邊長是4分米的小正方形拼成的一個邊長是11分米的大正方形。每個長方形的長和寬各是多少？周長是多少？例5以下圖中共有8條邊，分別用a,b,c,d,e,f,g,h表示，要計算它的周長，至少要測量哪幾條線段的長度？圖形的計算1、用6個邊長是2厘米的小正方形拼成一個長方形，有幾種不同拼法？哪種拼法拼成的長方形周長長？這個長方形的周長是多少厘米？2、一個正方形的邊長增加10厘米，面積就增加1300平方厘米，原來正方形的面積是多少平方厘米？3、一個長方形操場長50米，擴建后長增加18米，寬增加15米，擴建后操場面積增加1740平方米。求操場原來的寬是多少米？4、一個長方形的周長是24米，如果它的長和寬各增加3米，那么面積將會增加多少平方米？5、一個正方形的紙片，在一邊截去8厘米，在這邊相鄰邊截去3厘米，這樣面積就減少了196平方厘米。這個正方形紙片原邊長多少厘米？6、下面是三個完全一樣的正方形，請你挖去一塊〔必須是正方形或長方形〕，使剩以下圖形的周長〔1〕比原來正方形減少〔2〕比原來正方形增加〔3〕與原來正方形相等。包含與排除三甲班參加寫作小組的有15人，參加奧數(shù)組的有13人。參加這兩個興趣小組的共有多少人？想一想：有幾種不同的情況，你能用圖來表示嗎？1、把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。焊接局部長4厘米，焊接后這根鐵條有多長？2、某小學(xué)三甲班，參加語文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個小組都參加。這個班有多少人參加了語文或數(shù)學(xué)興趣小組？3、一班有45人，其中26人參加了數(shù)學(xué)競賽，22人參加了作文比賽，12人兩項比賽都參加了。一班有多少人兩項比賽都沒有參加？4、一次老師給全班同學(xué)做兩道動腦筋的數(shù)學(xué)題，結(jié)果全班10人全對，8人全錯，第二道有15人錯，全班共42人。問第一道對而第二道錯的同學(xué)有多少人？5、四年級課外小組分數(shù)學(xué)、語文、外語三個小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人，同時參加數(shù)學(xué)、語文小組的有4人，同時參加語文、外語小組的有5人，同時參加數(shù)學(xué)、外語小組的有7人，三個小組都參加的有2人。問這個年級參加課外小組的共有多少人？6、五年級共有50名學(xué)生，每人至少愛好一種球類，其中愛好乒乓球的21人，愛好足球的22人，愛好排球的18人，既愛好乒乓球也愛好足球的6人，既愛好足球也愛好排球的4人，既愛好乒乓球也愛好排球的5人。問三種球都愛好的有多少人？植樹問題植樹節(jié)到了，同學(xué)們給一條90米長的小路的一旁植樹，每隔3米栽一棵?！?〕如果兩端各栽一棵，需要多少棵樹？〔2〕如果只有一端栽樹，需要多少棵樹？〔3〕如果兩端都不栽樹，需要多少棵樹？讓我們先來舉簡單的例子吧：a、兩端都要植：棵數(shù)＝段數(shù)＋1b、只有一端植樹：棵數(shù)＝段數(shù)c、兩端都不植：棵數(shù)＝段數(shù)－1d、在封閉的路線上植樹：你發(fā)現(xiàn)了嗎？棵數(shù)＝段數(shù)例1在一段路邊每隔50米埋設(shè)一根路燈桿，包括這段路兩端埋設(shè)的路燈桿，共埋設(shè)了10根。這段路長多少米？例2街心公園一條道路長200米，在路的兩旁從頭到尾按相等的距離栽種菊花，共栽種了82棵菊花，每兩棵菊花之間相距多少米？例3小明要到高層建筑的第11層，他走到5層用了100秒，照此速度計算，他還需走多少秒？例4一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊共30輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔5米。這列車隊共排列了多長？如果車隊每秒行駛2米，那么這列車隊要通過535米長的檢閱場地，需要多少時間？想一想：植樹問題和高斯求和有什么聯(lián)系呢？練習(xí)：1、學(xué)校有一條長60米的走道，方案在道路一旁栽樹。每隔3米栽一棵?！?〕如果兩端都各栽一棵樹，那么共需多少棵樹苗？〔2〕如果兩端都不栽樹，那么共需多少棵樹苗？〔3〕如果只有一端栽樹，那么共需多少棵樹苗？2、一根90厘米長的鋼條，要鋸成9厘米長的小段，一共要鋸幾次？3、測量人員測量一條路的長度。先立了一個標(biāo)桿，然后每隔40米立一根標(biāo)桿。當(dāng)立桿10根時，第1根與第10根相距多少米？4、一個長100米，寬20米的長方形游泳池，在離池邊3米的外圍圈〔仍為長方形〕上每隔2米種一棵樹。共種了多少棵樹？5、在一條長1200米的河堤邊等距離植樹〔兩端都要植樹〕。已挖好每隔6米植一棵樹的坑，后要改成每隔4米植一棵樹。還要挖多少個坑？需要填上多少個坑？6、一個車隊以每秒5米的速度緩緩地通過一座210米長的大橋，共用100秒。每輛車長5米，兩車之間相隔10米，那么這個車隊共有多少輛車？加減法的巧算1、加法交換律：a＋b＝b＋a2、加法結(jié)合律：a＋b＋c＝〔a＋b〕＋c＝a＋〔b＋c〕3、在連減或加、減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時可以帶著運算符號“搬家〞。如,a－b－c＝a－c－b,a－b＋c＝a＋c－b4、有小括號的，我們一起來研究：5＋〔8－2〕＝？5＋8－2＝？所以：a＋(b－c)＝a＋b－c10－(5＋2)＝？10－5＋2＝？，為什么得數(shù)不一樣？怎樣算才相等？10－(5＋2)＝，用字母表示這個規(guī)律。10－〔5－2〕＝？10－5－2＝？，為什么得數(shù)不一樣？怎樣算才相等？10－〔5－2〕＝，用字母表示這個規(guī)律。我們來總結(jié)：在加、減混合運算中，去括號時：如果括號前面是“＋〞，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號不變；如果括號前面是“－〞，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號“＋〞變?yōu)椤埃暎埃曌優(yōu)椤埃暋＋〔b－c〕＝a＋b－ca－〔b＋c〕＝a－b－ca－〔b－c〕＝a－b＋c在加、減混合運算中，添括號道理一樣：a＋b－c＝a＋〔b－c〕a－b＋c＝a－〔b－c〕a－b－c＝a－〔b＋c〕例875－364－2361847－1928＋628－136－641348－234－76＋2234－48－24例512－382＝〔500＋12〕－〔400－18〕＝500＋12－400＋186854－876－97＝＝1、42＋71＋24＋29＋582、43＋〔38＋45〕＋〔55＋62＋57〕3、698＋784＋1584、3993＋2996＋7994＋1355、4356＋1287－3566、526－73－27－267、4253－〔253－158〕8、1457－〔185＋457〕9、389－497＋23410、698－154＋269＋78711、699999＋69999＋6999＋699＋69＋612、200－〔15－16〕－〔14－15〕－〔13－14〕－〔12－13〕乘除法的巧算乘法交換律：a×b＝b×a乘法結(jié)合律：a×b×c＝(a×b)×c＝a×(b×c)乘法分配律：〔a＋b〕×c＝a×c＋b×c(a－b)×c＝a×c－b×c商不變性質(zhì)：a÷b＝(a×n)÷(b÷n)(n≠0)＝(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)類似于乘法分配律：〔a＋b〕÷c＝a÷c＋b÷c(a－b)÷c＝a÷c－b÷c類似于乘法交換律：a÷b÷c＝a÷c÷b乘除法混合運算與加減混合運算道理相通：〔1〕無括號：a×b÷c＝a÷c×b＝b÷c×a〔2〕去括號：a×(b×c)＝a×b×ca×(b÷c)＝a×b÷ca÷(b×c)＝a÷b÷ca÷(b÷c)＝a÷b×c〔3〕添括號：a×b×c＝a×(b×c)a×b÷c＝a×(b÷c)a÷b÷c＝a÷(b×c)a÷b×c＝a÷(b÷c)兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積，可以分別相除后再相乘。〔a×b〕÷(c×d)＝(a÷c)×(b÷d)＝(a÷d)×(b÷c)例2004×25〔100－4〕×25125×792425÷25〔182＋325〕÷13〔2046－1059－735〕÷32275÷13÷5136×5÷84032÷〔8×9〕125×〔16÷10〕2560÷〔10÷4〕2460÷5÷2527×15÷5練習(xí)：180×251375÷25〔1040－324－528〕÷41125÷1254505÷17÷5384×12÷82352÷〔7×8〕1200×〔4÷12〕1250÷〔10÷8〕2250÷75÷3636×35÷7〔126×56〕÷〔7×18〕99×45280×36＋360×721999＋999×999287÷13－101÷13－82÷13找規(guī)律一年有春夏秋冬四季，年復(fù)一年，這就是周期性變化規(guī)律。又如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化規(guī)律。例1節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈…這樣排下去。問：〔1〕第100盞燈是什么顏色？〔2〕前150盞彩燈中有多少盞藍燈？例2有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。問：這串?dāng)?shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？例3下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串?dāng)?shù)中第88個數(shù)是幾？628088640448…例4在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么在這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”…例5A,B,C,D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子…當(dāng)100位小朋友放完后，A,B,C,D四個盒子中各放有幾個球？例1求67999的個位數(shù)字。例2求291＋3291的個位數(shù)字。例3求28128－2929的個位數(shù)字。例4求以下各除法運算所得的余數(shù)。7855÷5555÷3例5某種細菌每時分裂一次，每次1個細菌分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？例找規(guī)律填數(shù)?！?〕4，7，10，13，〔〕，…〔5〕84，72，60，〔〕，〔〕，…〔2〕2，6，18，〔〕，〔〕，…〔6〕625，125，25，〔〕，〔〕，…〔3〕1，4，9，16，〔〕，…〔7〕2，6，12，20，〔〕，〔〕…〔4〕3，7，10，17，27，〔〕〔8〕11，12，14，18，26，〔〕〔9〕2，5，11，23，47，〔〕，〔〕〔10〕12，15，17，30，22，45，〔〕，〔〕〔11〕2，8，5，6，8，4，〔〕,()數(shù)字謎1、將2～7這六個數(shù)字分別填入下式的中，使得等式成立。2、將1～9分別填入下式的九個內(nèi)，使算式取得最大值。3、將1～8分別填入下式的八個內(nèi)，使算式取得最小值。4、5、6、乘法原理例1馬戲團的小丑有紅、黃、藍三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次演出都要戴一頂帽子、穿一雙鞋。問：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？先畫草圖，再想算式。例2從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有3條路，從丙地到丁地也有2條路。問：從甲地經(jīng)乙、丙兩地到丁地，共有多少種不同的走法？畫圖、例舉、想算式。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，做第2步有m2種方法…做第n步有mn種方法，那么按照這樣的步驟完成這件任務(wù)共有N＝m1×m2×…×mn中不同的方法。例3用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成多少個三位數(shù)？〔各位上的數(shù)字允許重復(fù)〕例4如以下圖，A,B,C,D,E五個區(qū)域分別用紅、黃、藍、白、黑五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？例5求360共有多少個不同的約數(shù)〔五年級學(xué)〕。360＝2×2×2×3×3×5360＝23×32×5約數(shù)個數(shù)為4×3×2＝24〔個〕練習(xí)：1、有五頂不同的帽子，兩件不同的上衣，三條不同的褲子。從中取出一頂帽子、一件上衣、一條褲子配成一套裝束。問：有多少種不同的裝束？2、“IMO〞是國際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這3個字母寫成三種不同顏色。現(xiàn)在有五種不同顏色的筆，按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“IMO〞？3、在右圖的方格紙中放兩枚棋子，要求兩枚棋子不在同一行也不在同一列。問：共有多少種不同的放法？4、要從四年級六個班中評選出學(xué)習(xí)和體育先進集體各一個〔不能同時評一個班〕，共有多少種不同的評選結(jié)果？5、甲組有6人，乙組有8人，丙組有9人。從三個組中各選一人參加會議，共有多少種不同選法？6、用四種顏色給右圖的五塊區(qū)域染色，要求每塊區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？加法原理例1從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？例2旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現(xiàn)有紅色、藍色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗表示信號，最多能表示出多少種不同的信號？加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同方法……在第n類方法中有mn中不同方法，那么完成這件任務(wù)共有N＝m1＋m2＋…＋mn中不同的方法。例3兩次擲一枚sai子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？例4用五種顏色給以下圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？例5用1，2，3，4這四種數(shù)碼組成五位數(shù)，數(shù)字可以重復(fù)，至少有連續(xù)三位是1的五位數(shù)有多少個？練習(xí)：1、南京去上?？梢猿嘶疖嚒⒊孙w機、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機、8班汽車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？2、光明小學(xué)四、五、六年級共訂300份報紙，每個年級至少訂99份報紙。問：共有多少種不同的訂法？3、將10顆相同的珠子分成3份，共有多少種不同的分法？4、在所有的兩位數(shù)種，兩位數(shù)碼之和是偶數(shù)的共有多少個？5、用五種顏色給以下圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？6、用1，2，3這三種數(shù)碼組成四位數(shù)，在可能組成的四位數(shù)中，至少有連續(xù)兩位是2的有多少個？簡易方程含有未知數(shù)的等式叫方程。如：χ＋5＝18χ＋χ＋χ＋χ＝358－χ＝55χ＝30χ÷4＝63χ＋6＝126〔χ－2〕＝24〔χ＋4〕÷2＝3χ＋у＝5使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。例χ＋3＝93χ＝18χ＋3－3＝9－33χ÷〔〕＝18÷〔〕χ＝6χ＝〔〕練習(xí)：χ＋3.2＝4.6χ－1.8＝4χ－2＝151.6χ＝6.4χ÷7＝0.3χ÷3＝2.1解以下方程。χ＋0.3＝1.83＋χ＝5.4χ－1.5＝4χ－6＝7.65χ＝1.50.2χ＝6χ÷1.1＝3χ÷5＝15稍復(fù)雜的方程。例2χ－20＝4練習(xí)：3χ＋6＝1816＋8χ＝402χ－20＋20＝4＋202χ＝242χ÷2＝24÷22χ－7.5＝8.54χ－3×9＝29χ＝12接著做完：例2χ＋2.8×2＝10.4例〔2.8＋χ〕×2＝10.4〔2.8＋χ〕×2÷2＝10.4÷22.8＋χ＝5.2練習(xí)：8〔χ－6.2〕＝41.65〔χ＋1.5〕＝17.5〔χ－3〕÷2＝7.5例χ＋2.4χ＝5.1練習(xí)：13.2χ＋9χ＝33.38χ－3χ＝105〔1＋2.4〕χ＝5.13.4χ＝5.13.4χ÷3.4＝5.1÷3.4χ＝1.55.4χ＋χ＝12.8χ－0.36χ＝16解方程綜合練習(xí)：χ＋4.8＝7.2χ÷8＝0.43〔χ＋2.1〕＝10.5χ－6.5＝3.26χ＋18＝4812χ－9χ＝8.72.5χ＝143.4χ－48＝26.842χ＋25χ＝134χ－7.9＝2.62χ－97＝34.213〔χ＋5〕＝169年齡問題年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數(shù)；兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長而發(fā)生變化，年齡越大，倍數(shù)越小。解答年齡問題的主要方法：①畫線段圖②方程解1、兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？2、今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是他的5倍？3、兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？4、今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請問哥哥今年多少歲？5、哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？6、1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？7、今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡之和？雞兔同籠主要方法：①假設(shè)法②方程解例1小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？解法一：假設(shè)16只都是雞，那么腳有2×16＝32〔只〕實際腳有44只，相差44－32＝12〔只〕，想一想是什么原因呢？對了，我們把兔當(dāng)成了雞，每只兔少算了4－2＝2〔只〕腳，所以，12÷2＝6〔只〕，這里的6只表示什么只數(shù)呢？綜合式：兔〔44－2×16〕÷〔4－2〕＝6〔只〕雞16－6＝10〔只〕解法二：設(shè)雞有χ只，那么兔有〔16－χ〕只。2χ＋4×〔16－χ〕＝442χ＋4×16－4χ＝4464－2χ＝4420－2χ＝0χ＝10兔有16－χ＝16－10＝6例2100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？例3雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？例4一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么，這批鋼材有多少噸？例5樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且賠償1.26元，結(jié)果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？例6小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？練習(xí)：1、學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？2、龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？3、振興小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小健得了60分，那么他做對了幾道題？4、有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？5、蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？6、雞、兔共有腳100只，假設(shè)將雞換成兔，兔換成雞，那么共有腳92只。問：雞、兔各幾只？盈虧問題a主要方法：①比擬法②方程解例1小朋友分糖果，假設(shè)每人分4粒那么多9粒；假設(shè)每人分5粒那么少6粒。問：有多少個小朋友分多少粒糖？解法一：設(shè)有χ個小朋友。4χ＋9＝5χ－69＝χ－615＝χ〔χ＝15〕糖：4χ＋9＝4×15＋9＝60＋9＝69解法二：每人4粒多9粒每人5粒少6粒每人多分5－4＝1粒，總數(shù)相差9＋6＝15粒。小朋友：〔9＋6〕÷〔5－4〕＝15÷1＝15〔人〕糖：4×15＋9＝60＋9＝69〔?！诚胍幌耄好咳?粒多9粒每人5粒少6粒每人3粒多24粒每人7粒少36粒每人相差？?？倲?shù)相差？粒每人相差？?？倲?shù)相差？粒例2小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；每人分16粒，那么有3個小朋友分不到糖果。問：有多少粒糖果？例3王老師去買小提琴，假設(shè)買7把，那么所帶的錢差110元；假設(shè)買5把，那么所帶的錢還差30元。問：兒童小提琴多少錢一把？王老師帶了多少錢？練習(xí)：1、小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖？2、學(xué)校買來一批圖書。假設(shè)每人發(fā)9本，那么少25本；假設(shè)每人發(fā)6本，那么少7本。問：有多少個學(xué)生？買了多少本圖書？3、參加美術(shù)活動小組的同學(xué)，分配假設(shè)干支彩色筆。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人沒分到筆。問：有多少同學(xué)？多少支彩色筆？4、信心小學(xué)去春游。如果每輛車坐60人，那么有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，那么恰好多出一輛車。問：有多少輛車？多少個學(xué)生？5、同學(xué)們?yōu)閷W(xué)校搬磚，每人搬18塊，還余2塊；每人搬20塊，就有一位同學(xué)沒磚可搬。問：共有磚多少塊？6、某數(shù)的8倍減去153，比其5倍多66，求這個數(shù)。盈虧問題b1、某班學(xué)生去劃船，如果增加一條船，那么每條船正好坐6人；如果減少一條船，那么每條船就要坐9人。問：學(xué)生有多少人？2、少先隊員植樹，如果每人挖5個坑，那么還有3個坑無人挖；如果其中2人各挖4個坑，其余每人挖6個坑，那么恰好將坑挖完。問：一共要挖幾個坑？3、在橋上用繩子測橋離水面的高度。假設(shè)把繩子對折垂到水面