2.5　等腰三角形的軸對稱性（3）（分層練習）解析版

2.5等腰三角形的軸對稱性（3）分層練習考查題型一等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合運用1.(2023·山東省淄博市·期末考試)如圖，已知OC平分∠AOB，CD/?/OB，若OD=3cm，則CD等于(

)

A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm【答案】A

【解析】解：∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC；

又∵CD/?/OB，∴∠C=BOC，

∴∠C=∠AOC；

∴CD=OD=3cm．

故選A．2.(2023·江西省撫州市·期末考試)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，ED/?/BC交AB于點E，下列四個結(jié)論：

①∠BDE=36°；

②點D在AB的垂直平分線上；

③圖中共有5個等腰三角形；

④△AED≌△BCD；

其中正確的結(jié)論有(

)A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】A

【解析】解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=12×(180°-∠A)=12×(180°-36°)=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵DE/?/BC，

∴∠BDE=∠CBD=36°，所以①正確；

∵∠A=∠ABD=36°，

∴DA=DB，

∴點D在AB的垂直平分線上，所以②正確；

∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，

∵DE/?/BC，

∴∠AED=∠ABC=72°，∠ADE=∠ACB=72°，

∴∠AED=∠ADE，

∴AE=AD，

∴△ADE、△ABC、△BDE、△ADB、△BCD都是等腰三角形，所以③正確；

在△AED和△BCD中，

∠A=∠CBDAD=BD∠ADE=∠C，

∴△AED≌△BCD(ASA)，所以④正確．

故選：A．

3.(2023·河南省安陽市·期末考試)如圖，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點F，過點F作DE/?/BC，分別交AB，AC于點D，E，那么有下列結(jié)論：

①BD=CE；

②DE=BD+CE；

③△ADE的周長等于△BDF與△CEF的周長之和；

④△BDF，【答案】②④【解析】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點F，過點F作DE/?/BC，

∴∠DBF=∠CBF=∠DFB，∠ECF=∠BCF=∠EFC，

∴BD=DF，EF=EC，

∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，

∴DE=DF+EF=BD+EC

故②④正確；①錯誤；

∵△ADE的周長等于AD+DE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC，△BDF與△CEF的周長之和為BD+DF+BF+EF+EC+CF=2BD+BF+2EC+CF≠AB+AC，故③錯誤；

∵∠ADE=∠BFD+∠BDF≠∠BFD+∠CFE，故⑤錯誤；

故答案為：②④．

4.(2023·浙江省杭州市·模擬題)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點D為邊BC上一點，且AB=BD，過點D作BC的垂線交AC于點E．(1)求證：AE=DE；(2)當∠ABC=2∠C時，求證：AB=CD．【解析】(1)證明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，

BE=BEAB=DB，

∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，

∴AE=DE．

(2)證明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，

∴∠ABE=∠DBE，

∴∠ABC=2∠DBE，

又∵∠ABC=2∠C，

∴∠DBE=∠C，

∴CE=BE，

∵ED⊥BC，

∴CD=BD，

又∵AB=BD，

∴AB=CD．

5.(2023·北京市市轄區(qū)·專項測試)如圖，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD和CE相交于點O．(1)OB與OC相等嗎？請說明你的理由；(2)連接AO，AO的延長線交BC于點F，試判斷AF與BC的位置關系，并說明理由．【解析】(1)解：

OB=OC

，理由如下：∵

AB=AC

，∴

∠ABC=∠ACB

，∵

BD

平分

∠ABC

，

CE

平分

∠ACB

，∴

∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠∴

∠OBC=∠OCB，∴

OB=OC

；(2)解：

AF⊥BC

，理由如下：∵

BD

平分

∠ABC

，

CE

平分

∠ACB

，∴點O是

△ABC

三條角平分線的交點，∴

AF

平分

∠BAC

，又∵

AB=AC

，∴

AF⊥BC

．6.(2023·山西省太原市·月考試卷)(1)操作實踐：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并標出分割成兩個等腰三角形底角的度數(shù)；(要求用兩種不同的分割方法)

(2)分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B=24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相應示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值；(3)猜想發(fā)現(xiàn)：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什么條件？(請你至少寫出兩個條件，無需證明)【解析】解：(1)如圖所示：

(2)設分割線為AD，相應的角度如圖所示：

圖1的最大角=39°+78°=117°，圖2的最大角=24°+180°-2×48°=108°，

圖3的最大角=24°+66°=90°，圖4的最大角=84°，

故△ABC的最大內(nèi)角可能值是117°或108°或90°或84°；

(3)若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足的條件如下：

①該三角形是直角三角形；

②該三角形有一個角是最小角的2倍；

③該三角形有一個角是最小角的3倍．

考查題型二直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)1．（2023春·全國·八年級期中）如圖所示，等腰直角三角尺ABC斜邊緊貼木板邊緣，點O是AB的中點，AB=8，則點O與直角頂點C之間的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】解：∵∠ACB=90°，點O是AB的中點，AB=8，∴OC=1故選：C．2．（2023春·河北廊坊·八年級校聯(lián)考期中）如圖，一架梯子AB斜靠在豎直墻上，點M為梯子AB的中點，當梯子底端向左水平滑動到CD位置時，滑動過程中OM的變化規(guī)律是（

）A．變小 B．不變 C．變大 D．先變小再變大【答案】B【解析】∵∠AOB=90°，點M為梯子AB的中點，∴OM=1當梯子底端向左水平滑動到CD位置時，∵CD=AB，∠COD=90°，∴OM=1∴滑動過程中OM不變，故選：B3．（2022秋·浙江·八年級期中）如圖Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，CE是斜邊AB上的中線，下列結(jié)論中錯誤的有（（1）∠ACD=∠ECB；（2）CD垂直平分線段EB；（3）點E在線段AC的垂直平分線上．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，CE∴AE=CE=EB，∠A+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACE=90°，∴∠A=∠ACE，∴∠ACD=∠ECB，故（1）正確；∵AE=CE∴點E在線段AC的垂直平分線上，故（3）正確；∵不能得出CE=CB，∴（2）錯誤；故選：B．4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如果四邊形中的一條對角線長度是另一條對角線的兩倍，那么稱這個四邊形為倍長對角線四邊形．如圖，四邊形ABCD是倍長對角線四邊形，且∠BAD=∠BCD=90°，四邊形ABCD中最小的內(nèi)角的度數(shù)是．【答案】30°【解析】解：如圖，在BD上取中點E，連接AE、CE．∵∠BAD=∠BCD=90°∴AE=12BD，CE=12又∵AC=12BD∴AE=AC=EC，即△AEC為等邊三角形，所以∠AEC=60°，又∵AE=BE=CE，∴∠ABE=∠BAE=12∠AED，∠BCE=∠CBE=12∠∴∠ABC=12∠AEC=30°故答案為：30°．5．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°．求證BC=1①補全證明過程．證明：如圖2，取AB中點D，連接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴______；∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°．∴△BCD為______三角形．∴BC=BD=1②請用文字概括①所證明的命題：____________．【解析】解：①補全證明過程如下：證明：如圖2，取AB中點D，連接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴CD=1∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°．∴△BCD為等邊三角形．∴BC=BD=1故答案為：CD=12AB；等邊；在直角三角形中，如果一個銳角等于6．（2021秋·八年級課時練習）如圖，一位同學做了一個斜面裝置進行科學實驗，△ABC是該裝置側(cè)面圖，∠ACB=90°,∠B=15°，為了加固斜面，在斜面AB的中點D處連接一條支撐桿CD，量得CD=6．（1）求斜坡AB長和∠ADC的度數(shù)；（2）該同學想用彩紙包裹實驗裝置中的△ABC的表面，請你計算△ABC的面積．【解析】（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點，∴AB=2CD=2×6=12，∵CD=BD，∴∠DCB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DCB+∠B=2∠B=2×15°=30°；（2）如圖，過點C作CE⊥AB于點E，∵∠ADC=30°，∴CE=1∴S△ABC7．（2021秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰直角三角尺△ABC與30°三角尺△ABD斜邊AB重合，O為AB的中點，連接DC．（1）判斷△OCD的形狀；（2）求∠COD的度數(shù)；（3）若CO＝2，求△OCD的面積．【解析】解：（1）∵△ABC和△ABD都是直角三角形且斜邊AB重合，O為AB的中點，∴OC=OD=12AB∴△OCD為等腰三角形；（2）等腰直角△ABC中，AC=BC，O為AB的中點，∴CO⊥AB，即∠AOC=90°，直角△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=60°，由（1）OD=12AB=OA∴△AOD是等邊三角形，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°+60°=150°；（3）過點C作CG⊥DO并交DO延長線于點G，則∠COG=180°-∠COD=30°，OC=OD=2，∴CG=12OC=1∴△OCD的面積=12OD×CG=1（2021秋·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）（1）已知，如圖1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求證：CD=1（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．試用該定理解決以下問題：已知：點P是任意△ABC的邊AB上一動點（不與A、B重合），點Q是邊AB的中點，分別過點A、B向直線CP作垂線垂足分別為E，F(xiàn)．①如圖2，當點P與點Q重合時，探究QE和QF的數(shù)量關系；②如圖3，當點P與點Q不重合時，探究QE和QF的數(shù)量關系．

【解析】證明：（1）延長CD至E，使DE=CD，連接AE，

∵在△ADE和△BDC中AD=BD∴△ADE∴∠DAE=∠B，AE=BC∵在Rt△ABC中，∴∠DAE+∠BAC=90°，即∠CAE=90°∵在Rt△CAE和