2022-2023學年上海新高一數(shù)學上學期滿分攻略（滬教版2020必修一）第04講 常用邏輯用語（3大考點）（解析版）

第04講常用邏輯用語（3大考點）

——考點一：命題

常用邏輯用語3------------考點二：充分條件和必要條件

——考點三：反證法

Q考點考向

i.有關(guān)命題的概念

一般地，我們把可以判斷真假的語句叫做命題。

命題通常用陳述句表示，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題。

定義如果命題1?若八則M是真命題.那么我們就稱

a推出d記作a=邛（或0<=a）.

因為子集關(guān)系滿足傳遞性,所以推出關(guān)系也滿足傳遞性：

若a=>f且住=>八則an/.

它是證明和邏輯推理的基礎(chǔ).

2.充要條件的判定

充分條件與必要條件：

一般地，用a、夕分別表示兩個命題，如果a成立，可以推出夕也成立，即an/,那

么a叫做夕的充分條件。夕叫做a的必要條件。例如a=（）是。方=0充分非必要條件，x>l

是x>2的必要非充分條件。

充要條件：

如果既有an’,又有0=a,即有ao￡,那么a既是夕的充分條件又是月的必要

條件，這時我們就說a是夕的充要條件。例如a=O或8=0是〃。=0充分必要條件。

3.反證法的定義：

反證法是間接論證的方法之一。亦稱“逆證”。是通過斷定與論題相矛盾的判斷（即反論題）

的虛假來確立論題的真實性的論證方法。反證法的論證過程如下：首先提出論題：然后設(shè)定

反論題，并依據(jù)推理規(guī)則進行推演，證明反論題的虛假；最后根據(jù)排中律，既然反論題為假,

原論題便是真的。在進行反證中，只有與論題相矛盾的判斷才能作為反論題，論題的反對判

斷是不能作為反論題的，因為具有反對關(guān)系的兩個判斷可以同時為假。反證法中的重要環(huán)節(jié)

是確定反論題的虛假，常常要使用歸謬法。反證法是一種有效的解釋方法，特別是在進行正

面的直接論證或反駁比較困難時，用反證法會收到更好的效果。

反證法的步驟是：

(1)假設(shè)結(jié)論不成立；

(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；

(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.

在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種

就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

表1-2一些常用的否定形式

陳述句83的否定形式

才＞5或.rVl/45且

至少有2個最多有1個

所有的“GA滿足性質(zhì)a至少存在一個aeA不滿足性質(zhì)a

所有的agA不滿足性質(zhì)a至少存在一個"SA滿足性質(zhì)a

但考點精講

考點一：命題

一、單選題

1.(2021.上海大學附屬南翔高級中學高一階段練習)有以下命題：

(1)命題：“在△ABC中，若8C>AC,則NA>NB”；

(2)已知a,6wR,命題“若就#0,則30且"0”；

(3)己知命題“若”0且丘0,則/>o”.

其中真命題的個數(shù)為()

A.0B.IC.2D.3

【答案】D

【分析】(1)根據(jù)邊角關(guān)系判斷真假；(2)由必工0可知都不為0,由此判斷真假；(3)

根據(jù)平方運算的特點進行判斷.

【詳解】(1)：根據(jù)“大邊對大角“可知(1)正確；

(2)：若加K0,則都不為0,即awO且6*0,故正確；

(3)：若且bwO,則/則/+從>0，故正確；

故選：D.

2.(2021?上海?高一專題練習)設(shè)下列命題中為假命題的是()

A.若后=布，貝=bB,若。=力，則a(c2+2)=6(c'2+2)

c.若坐=巴,則D.若“2〃+勺2〃+/(〃GM,則。=人

c+accb

【答案】c

【分析】由《=〃，兩邊平方，可判定A正確：由02“，得到02+222>0，可判定B

正確；由匕=d=0,可判定C錯誤：由指數(shù)幕的運算性質(zhì)可得，可判定D正確.

【詳解】對于A中，若筋=揚，兩邊平方，可得。=6,故A正確：

對于B中，因為。220，所以。2+2W2>0，若則〃(。2+2)=%。2+2),

故B正確；

對于C中，若b=d=O時，則竺§=@，但故C錯誤.

c+accb

對于D中，由指數(shù)基的運算性質(zhì)可得，若/向=從向，可得”=b,所以D正確.

故選：C.

3.(2021?上海.高一單元測試)。，4c中至少有一個是非負實數(shù)的等價命題是()

A.尻c中全不是負數(shù)B.。也c中只有一個是負數(shù)

C.。也c中至少有一個是正數(shù)D.不全是負數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)等價命題的判定直接得到結(jié)果.

【詳解】瓦c中至少有一個是非負實數(shù)，則a,"c中非負實數(shù)的個數(shù)大于等于1個，

..?其等價命題為：a,"c中不全是負數(shù).

故選：D.

4.(2020?上海?高一單元測試)在下列選項中，滿足夕與夕等價的是()

(x+y>2

A.已知實數(shù)X、y,p\\,,和q:x>l,y>l

［孫>1

B.已知實數(shù)x、y,p:(x-l)2+(y—2)2=0和q:(x-l)(y-2)=0

C.已知實數(shù)x,p:0<L<］和q：x>l

X

D.己知《、伉、q、電、打、均為非零實數(shù)，不等式。4+仇》+缶>0和不等式

a,x2+b,x+c^>0的實數(shù)解集分別為M和N,P：幺=3=5和q:M=N

a2b2c2

【答案】c

［解析］A.取x=；,y=4判斷；B.分別解(x—l)2+(y_2)2=0和(x_l)(y_2)=0判斷；C.

解不等式0<-<1判斷；D.舉例不等式J+2x—3>0和不等式_2X+3>0判斷.

X

1［x+y>2

【詳解】A.當x=7,y=4時，滿足p:1,不滿足丁>1,所以〃與q不等

2［xy>1

價；故錯誤;

B.因為p:（x-l）2+（y-2）2=0,則x=l且y=2,因為/（x-l）（y-2）=0,則工=1或y=2,

〃與4不等價；故錯誤；

C.因為夕解得x>l,又4：X>1,P與q等價;故正確；

X

D.如不等式f+2x-3>0的解集是{x|x<-3或x>l},不等式一/一2犬+3>0的解集是

{x|-3<x<l},故錯誤;

故選：C

二、填空題

5.（2022?上海楊浦?高一期末）命題“若x>l,則xNl”是命題（填“真”或“假”

其中一個）.

【答案】真

【分析】直接利用兩數(shù)集的關(guān)系判斷即可

【詳解】因為當x>l時，xNl一定成立，

所以此命題為真命題，

故答案為：真

6.（2022?上海長寧?高一期末）如果片>瓦、2,那么。>〃”是命題.（填“真”或"假”）

【答案】真

【分析】直接根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：因為42>拉3則02>0,

所以“>b,

所以如果*2>/7c2,那么a>b”是真命題.

故答案為：真.

7.（2021?上海市桃浦中學高一階段練習）將“等腰三角形兩底角必是銳角”改寫為“若…則...”

形式___________.

【答案】若兩個角是等腰三角形的兩個底角，則它們是銳角.

【分析】確定命題的條件和結(jié)論，然后改寫.

【詳解】命題中條件是：“兩個角是等腰三角形的兩底角”，結(jié)論是“角是銳角”，改寫為：

若兩個角是等腰三角形的兩個底角，則它們是銳角.

故答案為：若兩個角是等腰三角形的兩個底角，則它們是銳角.

8.（2021?上海師大附中高一階段練習）命題“若x<0,則x40”是命題（填“真”

或"假”）.

【答案】真

【分析】根據(jù)“X40”等價于"x<0或x=0”以及真值表可得答案.

【詳解】因為“x40”等價于"x<0或x=0"，

根據(jù)真值表可知，若"x<0”為真，則"x<0或x=0"，即“xV0”為真，

所以“若x<0,則*40”是真命題.

故答案為：真

9.(2021?上海市新場中學高一階段練習)a:x<l,P：x<2>a-2,且若a則尸是真命題，

求實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】a>\

【分析】根據(jù)已知條件可得出集合的包含關(guān)系，由此可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】尸:x<3a-2,且若a則僅是真命題，則｛巾<1｝以巾<3〃-2｝,

所以，3a-2>l,解得a21.

故答案為：aNl.

10.(2021.上海市延安中學高一階段練習)判斷命題“已知〃eZ,若是奇數(shù)，則〃是奇數(shù)”

是真命題還是假命題？.

【答案】真命題

【分析】分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，分別設(shè)〃=22+1、〃=2&(%€Z),化筒“3,即可

得出結(jié)論.

【詳解】若〃為奇數(shù)，可設(shè)〃=2A:+1(%GZ),

則=(2左+17=(2k+1)2(2k+1)=(4/+4k+1)(24+1)=+12A?+6A+1,

此時/為奇數(shù)，合乎題意；

若〃為偶數(shù)，可設(shè)〃=2%(462),則”3=8公，此時〃3為偶數(shù)，不合乎題意.

綜上所述，已知〃eZ,若/是奇數(shù)，則〃是奇數(shù)，原命題為真命題.

故答案為：真命題.

11.(2021?上海市向明中學高一階段練習)命題“若X)'都是實數(shù)，則一+丁*0，，的否命題是

【答案】若不都是實數(shù)，則/+丁<0

【分析】利用否命題的定義求解.

【詳解】因為否命題是既否定原命題的條件，也否定原命題的結(jié)論，

所以命題“若都是實數(shù)，則f+y220，，的否命題是“若％y不都是實數(shù)，則x2+y2<0”，

故答案為：若為丫不都是實數(shù)，則/+步<()

三、解答題

12.(2020?上海?華東師范大學第三附屬中學高一期中)已知命題P：函數(shù)/(X)=g(l-x)且

|/(?)|<2?命題。：集合A=｛x|x2+(a+2)x+l=0,xeR｝,8=｛小>0｝且AC|5=0.

(1)分別求命題尸、。為真命題時的實數(shù)。的取值范圍；

(2)當實數(shù)4取何范圍時，命題P、。中有且僅有一個為真命題;

(3)設(shè)尸、。皆為真時。的取值范圍為集合S,7'=1yy=x+m，xeR,xH0,機>0),若全集

U=R,fcS,求m的取值范圍.

【答案】(1)P為真時,?e(-5,7),。為真時,ae(-4,+oo).(2)(-5,-4Ju[7,+e)；(3)

(0,4]

【解析】(1)解出絕對值不等式可求出產(chǎn)為真時。的取值范圍，討論A=0和4x0時可求

出2為真時”的取值范圍；

,[-5<a<lM,t[a<-5^a>l

(2)尸真。假，則/A；尸假。真，貝叫〃，即可解出；

[a<-4[a>-4

(3)可求出S=(-4,7),利用基本不等式可求出7=(-oo,-2標]U【2而,+oo),則利用包含關(guān)

系列出式子可求.

【詳解】(1)對于命題P,由1/(〃)1=g(l-a)<2可得-6<。—1<6,即一5<。<7,

P:ae(-5,7),

對于命題。，若4=0,則A=m+2)(a+2)-4<0,解得-4<a<0,

△=(a+2)2-420

若4/0,則解得。之0,

—(。+2)<0

綜上，a>-4,

:.Q:ae(-4,+oo)；

f-5<a<7

(2)若P真。假，貝U/,解得—5<aW-4,

[a<-4A

若P假。真，貝時),解得。27,

[a>-4

綜上，aw(-5,Y]37,E)；

f—5<〃<7

(3)當P,。皆為真時，),解得-4<a<7,BPS=(-4,7),

*:T=卜y=X+—,XG/?,x^0,/n>o1=(-oo,-2Vm]u[25A/7,4-oo),

T=),

?：TjS,

-2\[m>-4

解得0v機W4.

2\[m<7

【點睛】本題主要考查了復合命題真假的應用，解題的關(guān)鍵是要把命題P,。為真時所對應

的參數(shù)范圍準確求出，還要注意集合包含關(guān)系的應用.

13.（2020?上海?高一單元測試）命題P：關(guān)于x的方程（〃?+1k2-2》+〃?一1=0有實數(shù)解；

命題4：VXG[0,+^）,關(guān)于x的不等式（g[+（g]+機>o都成立；

若命題。和命題4都是真命題，則實數(shù)機的取值范圍.

【答案】[。,應]

【解析】對于命題P,討論％=-1和時，結(jié)合判別式求出m范圍；對于命題9,根據(jù)

=+Q）+機的單調(diào)性求出最值即可得出用范圍，聯(lián)立兩個命題即可得出答案.

【詳解】命題P：關(guān)于x的方程（5+1）2-2犬+機-1=0有實數(shù)解，

討論如下：①相=-1顯然成立；

②mw—1時，△=（—2）2—4（加+1）（僅一1）20,整理的2-田N0

解得：_也<m<^2,目.機。一1；

，命題。為真命題時，-近W；

命題4：Vxe[0,-Hx>）,關(guān)于x的不等式（g[+（￡）'+相>0都成立

函數(shù)y=g（x）在[0,+℃）單調(diào)遞減，g（x）e（加,2+間

不等式取）+（3）+相>0恒成立，**-m>0；

因為命題p和命題q都是真命題，所以加的范圍[o,V2J.

【點睛】方法點睛：解決此類問題一般先求出命題為真時對應的參數(shù)范圍，再結(jié)合命題的真

假或復合命題的真假列出對應的不等式求解.

14.（2020?上海.高一單元測試）設(shè)命題P：對任意xe[0,l],不等式2x-32/-4”恒成立，

命題<7：存在xe[T,l],使得不等式Jr2-2》+加_14。成立.

（1）若P為真命題，求實數(shù)，〃的取值范圍；

（2）若p,q有且只有一個為真，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】（1）l<w<3；（2）m<]^2<m<3

【解析】（1）〃為真命題時，任意xe[0,l],不等式2x-32/一4加恒成立可轉(zhuǎn)化為

2

（2x-3）m,n>m-4m,求解即可

(2)由題可得PM—真一假，結(jié)合(1),再化簡命題q,即可求出加的取值范圍.

【詳解】對于P：(2x—3).2加2一4%成立,而xe[O,l],有(勿-3)1nbi=-3,

—3>m2—4m，/-l</n<3.

q：存在xe[T,l],使得不等式V—2x+機一140成立，只需仁-2%+〃?-%10,

而($一2x+n?-1)=-2+m,/.—2+w<0,/.m<2；

X/min

(I)若夕為真，則IV機V3；

(2)若p,q有且只有一個為真，則，，4一真一假.

f1</n<3

若q為假命題，。為真命題，則。，所以2〈根《3；

[m>2

若P為假命題，4為真命題，則?所以加<1.

m<2

綜上,加<1或2cm43.

【點睛】思路點睛：本題考查根據(jù)命題的真假求參數(shù)，解決此類問題一般先求出命題為真時

對應的參數(shù)范圍，再結(jié)合命題的真假或復合命題的真假列出對應的不等式求解.

15.(2020?上海?高一單元測試)已知命題P:函數(shù)/(x)=g(l-x)且命題Q:集合

A=?+(a+2)x+l=0,xeR\,B={x|x>0}且4口8=0.

(1)若命題尸、2中有且僅有一個為真命題，求實數(shù)”的取值范圍.

(2)若命題尸、。均為真命題時的實數(shù)〃的取值范圍.

(3)由(2)得結(jié)論，a的取值范圍設(shè)為集合S,7={.yy=x+/,xe凡機>0,XN。},若了gS,

求實數(shù)機的范圍.

【答案】(1)(-5,-4]U[7,-K?);(2)(-4,7)；(3)(0,4].

【解析】(1)分別求出當命題P、。為真命題時實數(shù)。的取值范圍，然后分P真。假、P假

Q真兩種情況討論，綜合可得出實數(shù)。的取值范圍；

(2)由(1)結(jié)合命題尸、。均為真命題可求得實數(shù)。的取值范圍；

(3)利用基本不等式可求得集合T,進而得出了，由〒=5可得出關(guān)于實數(shù)m的不等式組,

由此可解得實數(shù)用的取值范圍.

【詳解】(I)若P為真，則|/(a)|=g(l-a)<2,所以解得—5<a<7；

若2為真，集合4={小2+(4+2.+1=0,X€/?},3={#>0},且AnB=0,

若A=0,則A=(a+2)2-4=a(a+4)<0,解得一4<"0；

A=(?+2)2-4>0

若則解得“NO.

-(iz+2)<0

故若。為真，則a>Y.

[-5<。v7

因為尸、Q中有且只有一個為真，若尸真。假，則,),此時—5VQW-4；

[a<-4

[a<-5或。>7

若「假。真，貝IJ(,此時〃27.

[a>-4

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是(-5,T]U[7,E)；

f—5<〃<7.

(2)當P、。均為真時，(,所以〃w-4,7；

(3)對于函數(shù)y=x+/,?//w>0,當x>0時，由基本不等式可得y22小二還=2>/^,

當且僅當犬=而時，等號成立；

當x<0時，y=-(-x)+—<-2(-x)?—=-2\[m,

-xjV-x

當且僅當工=-標時，等號成立.

所以，7=(-00,-2日]u〔2日,+00),則丁=卜2詬,2詬)，

-25/m>-4

vTcS,即卜2匹,2日(-4,7),所以<2而W7,解得0<帆44,

m>0

綜上所述，實數(shù)〃?的取值范圍是(0,4].

【點睛】在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避免出錯的一個有效手段是合理運用數(shù)軸幫助分析與

求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進行討論.

考點二：充分條件和必要條件

一、單選題

1.(2020?上海?復旦附中青浦分校高一階段練習)已知可，宵，hi,歷均為非零實數(shù)，集合

a.b.

A={x\aix+bi>0},B=[x\a2x+b2>0],貝廣'=子"是''A=B"的()

a2t)2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可求解.

【詳解】王2

?二取。尸1,。2=-1,b尸-1,。2=1,A^B

而A=8n"=3

%b2

..」&=3”是“A=8”的必要不充分條件

a2b2

故選：B.

2.（2021?上海奉賢區(qū)致遠高級中學高一期中）若M蠱，貝FMcN=0”是“村=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用必要非充分的定義判斷即得解.

【詳解】解：“McN=0”成立，“N=0”不?定成立，如：M=（1,2）,N=（3,4）,所以

“例門可=0”是“％=0”的不充分條件；

“N=0”成立時，“McN=0”一定成立，

所以'-McN=0”是“N=0”的必要條件.

所以“McN=0”是“N=0”的必要非充分條件.

故選：B

3.（2021?上海市崇明中學高一期中）若A、8是全集/的真子集，則下列四個命題：

①an8=A；②Au3=A；③Ac（分）=0；④Ac3=/；⑤xe8是xeA的必要不充分

條件.其中與命題等價的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)韋恩圖和集合的交、并、補運算的定義逐一判斷可得選項.

【詳解】解：由得韋恩圖：

對于①，Ans=A等價于Aq8,故①正確；

對于②，4=3=4等價丁314,故②不正確；

對于③，4門（月）=0等價于4￡8,故③正確；

對于④，Ar>B=I4A>8是全集/的真子集相矛盾，故④不正確；

對于⑤，xeB是xwA的必要不充分條件等價于8A,故⑤不正確,

所以與命題AuS等價的有①③，共2個，

故選：B.

4.(2021?上海虹口?高一期末)已知x,y是實數(shù)，則“*>>”是“丁>丫3?的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】C

【分析】由充要條件的定義求解即可

【詳解】因為》3-寸=(x-y)，+盯+y?)=(x-y)[+1)+^-^|,

若x>y,則(x-y)(x+1)

若(x-y)[+])+(>0,則x—y>0,即x>y,

所以X“^^〉^,即“x>y”是“丁>產(chǎn),的充要條件，

故選：C.

5.(2021.上海?上外附中高一期中)“a=0”是關(guān)于x的不等式以-bNl的解集為R的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】B

【分析】取"=0，6=1時可判斷充分性：當不等式1的解集為R時，分a>0,a<0,

a=0討論可判斷必要性.

【詳解】若a=0,取。=1時，不等式依-匹10-121,此時不等式解集為0；

當”>0時，不等式的解集為｛x|x2",

a

當。<()時，不等式以-6W1的解集為｛x|x4空｝,

a

當a=0,且匕4-1時，不等式-匕21。匕4-1,

所以，若關(guān)于萬的不等式以-641的解集為R,則a=0.

綜上，“a=0”是關(guān)于x的不等式依-621的解集為R的必要非充分條件.

故選：B

二、填空題

6.(2021?上海奉賢區(qū)致遠高級中學高一期中)設(shè)a:14x<3,P：x<m,若a是尸的充分條

件，則實數(shù)小的取值范圍是.

【答案】m>3

【分析】由已知條件可得出集合的包含關(guān)系，由此可求得實數(shù)也的取值范圍.

【詳解】由已知可得｛x|14x＜3｝u｛xk＜/n｝,所以，JN3.

故答案為：，"23.

7.（2022?上海虹口?高一期末）設(shè)a：機+14x42m+4（meR）；pzl＜x＜3.若尸是a的

充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】-《《屋。

2

【分析】根據(jù)給定條件可得夕所對集合包含于a所對集合，再利用集合的包含關(guān)系列式作

答.

【詳解】令。所對集合為：｛X|，"+1MXM2機+4（MGR）｝,4所對集合為：｛X|14X43｝,

因尸是a的充分條件,則必有｛x|14x43｝a｛x|〃z+14x42m+4（〃?eR）｝,

[AH+1＜11

于是得C,、/解得一彳4“（0，

[2加+4232

所以實數(shù)m的取值范圍為十法0.

故答案為：一yVmWO

8.（2021?上海師大附中高一期中）如果x、yeR,那么“外＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的

條件（選填“充分非必要”“必要非充分”“充要”、“非充分非必要”）

【答案】充分非必要

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，與充要條件的定義，即可得到答案.

【詳解】若“孫＞0”,則x,y同號,則“|x+y|=|x|+3”成立

即“外＞0”是“卜+川斗幻+3”成立的充分條件

但“|x+川=|x|+|y|"成立時，x,y不異號,“孫20”，“孫＞0”不一定成立，

即“?。?”是“|了+川=|*|+3”成立的不必要條件

即“孫＞0”是“|不+川=|》|+|用”成立的充分非必要條件

故答案為：充分非必要

三、解答題

9.（2021?上海市桃浦中學高一階段練習）已知集合尸=｛幻,-1|＜3｝,

。=｛川3加—24》＜5相+2,加6口｝.若產(chǎn)的充分非必要條件為。，求實數(shù)機的取值范圍.

2

【答案】｛川機＜一2或04加工1｝.

【分析】解絕對值不等式確定集合P，然后由充分非必要條件的定義得集合包含關(guān)系，然后

可求解.

【詳解】由已知P={x|x-l|<3}={x|-3<x-l<3}={x|-2<x<4},

P的充分非必要條件為Q,則Q是尸的真子集.

當3〃?-2>5m+2即根<-2時，滿足題意，

f3>tn—2N—22

當加之一2時，由題意，,等號不同時取得，mo<m<^

[5m+2<45

2

綜上〃?的取值范圍是{川機<-2或。工加4小.

10.(2021?上海市新場中學高一階段練習)已知命題a：14x42,命題夕：14x4a

(1)若a是夕必要非充分條件，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：是an/?成立的充要條件.

【答案】(1)。<2：(2)證明見解析.

【分析】(1)設(shè)4={幻14》<2},B={x\]<x<a},由題意可知B是A的真子集，分8=0

和8/0兩種情況討論，列出滿足條件的不等式組即可求解；

(2)分別證明充分性和必要性即可.

【詳解】設(shè)4={刈14》42},B={x\l<x<a},

若a是夕必要非充分條件，則5是A的真子集，

當3=0時，a<l,此時滿足B是A的真子集，符合題意；

[a>\

當B聲。時，若B是A的真子集，則.，所以14a<2,

[a<2

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為：a<2；

(2)充分性：若aN2,則an/

若aN2,]/}ij{x|l<x<2)c{x|l<x<a),

所以命題a：14x42可得出命題尸：14x4a；故充分性成立；

必要性：若夕，則aN2,

若命題a：14x42可得出命題用：\<x<a,則{x|14xM2}={x|14x4a},

所以aN2,故必要性成立；

綜上所述：是an夕成立的充要條件.

11.(2019?上海師范大學附屬嘉定高級中學高一階段練習)已知：命題1：關(guān)于x的方程

32+2犬+1=0最多有一個實數(shù)根，記滿足條件的小的取值范圍構(gòu)成集合A.命題2：

|2m-l|<3,記此不等式的解集為B.命題3：a-2<x<A,p-?,m-\<x<-m,且耳是弓的充

分條件，記滿足條件的，"的取值范圍構(gòu)成集合C.

(1)求集合A,B,C；

(2)命題1、命題2和命題3中有且僅有一個真命題，求加的取值范圍.

【答案】(1)A=[1,^D)U{0},5=(-1,2),C=(-a>,-4]:

(2)(^?,-4\U(-1,O)U(0,1)U[2,-KO).

【分析】(l)根據(jù)二次方程根的分布、解絕對值不等式、充分條件，即可得到答案：

(2)分三類情況，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)命題1：當，w=0時，2x+l=0,x=-；,滿足題意，

當帆力0時，△=4一4m<0,即加之/,

綜上,A=[l,+w)U{0};

命題2：|2m—11<3,—3<2m—1<3,—1<<2,

AB=(-1,2)；

命題3：???7是J的充分條件，即a是4的充分條件，

1X[2<X<41C|X|3ZM-1<X<-???!,

.J3w-1<2

?\-m>4

nt,,-4,即C=(-oo,-4]；

(2)若命題1為真，命題2和命題3為假，

則加e[2,+w),

若命題2為真，命題1和命題3為假，

則加i,o)U(o,i),

若命題3為真，命題1和命題2為假，

貝lJw?w(-oo，T,

綜上，m的取值范圍(F,T]U(T，O)U(O，1)U[2,4W).

12.(2021?上海?高一專題練習)指出下列各組命題中,p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必

要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件')

(1)p：x2>0,q：x>0；

(2)p：4能被6整除，q：。能被3整除；

(3)p：兩個角不都是直角，q：兩個角不相等；

(4)p：AC\B=A,q：5U鼠

【答案】(1)p是q的必要不充分條件：(2)p是q的充分不必要條件；(3)。是q的必要不

充分條件；(4)〃是q的充要條件.

【分析】結(jié)合充分條件，必要條件的定義判斷即可得到結(jié)果

【詳解】(1)p：x2>0,則x>0或x<0,<7：x>0,

故P是q的必要不充分條件.

(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，

故P是g的充分不必要條件.

(3)p：兩個角不都是直角，這兩個角可以相等，

<7：兩個角不相等，則這兩個角一定不都是直角，

故p是q的必要不充分條件.

(4)因為ACI8-U8Q豆

所以。是<7的充要條件.

【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，熟知所涉及的基礎(chǔ)知識點是解題的關(guān)鍵.

考點三：反證法

一、單選題

1.(2020?上海市晉元高級中學高一期中)用反證法證明命題“任意三角形最多有一個鈍角”

的第一步應假設(shè)()

A.任意三角形都沒有鈍角B.存在一個三角形恰有一個鈍角

C.任意三角形都有兩個鈍角D.存在一個三角形至少有兩個鈍角

【答案】D

【分析】根據(jù)假設(shè)法的步驟可知，第一步應該假設(shè)結(jié)論不成立.

【詳解】第一步應該假設(shè)結(jié)論不成立，則應該假設(shè)“存在一個三角形有兩個或三個鈍角''或"存

在一個三角形至少有兩個鈍角”.

故選：D.

2.(2020?上海?復旦附中青浦分校高一階段練習)著名的攣生素數(shù)猜想指出：“存在無窮多個

素數(shù)P，使得P+2是素數(shù)”，用反證法研究該猜想，對于應假設(shè)的內(nèi)容，下列說法正確的是

()

A.只有有限多個素數(shù)p,使得p+2是合數(shù)

B..存在無窮多個素數(shù)p,使得p+2是合數(shù)

C.對任意正數(shù)〃，存在素數(shù)p>〃，使得p+2是合數(shù)

D.存在正數(shù)〃，對任意素數(shù)p>〃，p+2是合數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)反證法的證明即可求解.

【詳解】:?存在無窮多個素數(shù)P，使得0+2是素數(shù)的否定為存在正數(shù)小

對任意素數(shù)p+2是合數(shù)，

應假設(shè)存在正數(shù)小對任意素數(shù)p>〃，p+2是合數(shù).

故選：D.

二、填空題

3.（2022?上海市大同中學高一期末）用反證法證明命題“若x<-l,則f+x>0”時，正確的

假設(shè)為.

【答案】x2+x<0

【分析】根據(jù)反證法是命題的否定的一個運用，用反證法證明命題時，可以設(shè)其否定成立進

行推證可得答案.

【詳解】由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，則其反設(shè)需滿足條

件不變，結(jié)論設(shè)為相反，所以用反證法證明命題“若X<-1,則x2+X>0、’時，正確的假設(shè)為

x2+x<0.

故答案為：x2+x<0.

4.（2022?上海長寧?高一期末）若要用反證法證明“對于三個實數(shù)b,c,若awe,則〃b

或bxc”,應假設(shè).

【答案】a=bH.b=c

【分析】假設(shè)結(jié)論的反面成立，即可得到答案；

【詳解】假設(shè)結(jié)論的反面成立，即目2=c成立；

故答案為：。=。且匕=。

5.（2021.上海市甘泉外國語中學高一期中）用反證法證明：若梯形的對角線不相等，則該

梯形不是等腰梯形，應假設(shè)—.

【答案】該梯形是等腰梯形

【分析】根據(jù)反證法的原理可得答案.

【詳解】若梯形的對角線不相等，則該梯形不是等腰梯形，應假設(shè)該梯形是等腰梯形

故答案為：該梯形是等腰梯形

6.（2021?上海市奉賢中學高一階段練習）對于命題“若aeR月正是有理數(shù)，則。是無

理數(shù)”，用反證法證明時，假設(shè)。是有理數(shù)后下面到處矛盾的方法：

①因為〃是有理數(shù)，正是無理數(shù)，所以是無理數(shù)，這與a-a是有理數(shù)矛盾；

②因為有理數(shù)，正是無理數(shù)，所以。是無理數(shù)，這與。是有理數(shù)矛盾；

③因為。是有理數(shù)，〃-應是有理數(shù)，所以a-a+啦=a是有理數(shù)，這與血是無理數(shù)矛

盾；

其中，推理正確的序號是.

【答案】①③

【分析】根據(jù)反證法概念，從。是有理數(shù)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，結(jié)合題意，分析即可得答

案.

【詳解】①從“是有理數(shù)出發(fā)，經(jīng)過推理，得到a-應是無理數(shù)，和題干矛盾，故①正確：

②沒有從。是有理數(shù)出發(fā)，推出矛盾，不是反證法，故②不正確；

③從。是有理數(shù)出發(fā)，經(jīng)過推理，推出也是無理數(shù)，結(jié)論錯誤，從而證明原命題正確，故

③正確.

故答案為：①③

三、解答題

7.（2020?上海市晉元高級中學高一期中）已知集合用={小2-4尤+3=0},

%=卜*-冰+9=0}.用反證法證明"，N

【分析】假設(shè)M=N,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合反證法證明即可.

【詳解】M={^|X*12-*4X+3=0}={1,3}

假設(shè)M=N,則嚴：=：，與3f9矛盾，故假設(shè)不成立

[1x3=9

:.M*N

Q鞏固提升

一、單選題

1.（2021?上海市楊浦高級中學高一期末）已知則“4"〉4〃”是“/>/”的

（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】D

【分析】分別對充分性和必要性進行判斷，對于不能推出的情況舉一個反例就可以.

【詳解】4">4"=a>b.

充分性：取。=0力=一1,但是。4<（一1）4,即不能推出所以充分性不滿足；

必要性：取。=一11=0,符合/>/,但是4T<4°，即不能推出4">4"，必要性不滿

足.

綜上：“4°>4〃”是“a4>b4”的既非充分又非必要條件.

故選：D

【點睛】判斷充要條件的四種方法：

（1）定義法；（2）傳遞性法；（3）集合法；（4）等價命題法.

2.（2020?上海高一課時練習）若A是8的必要非充分條件，8是C的充要條件，。是。的

必要非充分條件，則。是A的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【分析】由題意有AuBoCu。，結(jié)合充分必要條件的判斷即可得解.

【詳解】解：A是8的必要非充分條件，...AuB①.

?；C是。的必要非充分條件，；.CU。②.

??.8是C的充要條件，???CO6③.

由①③得C=A④，

由②④得O=A，O是A的充分非必要條件.

故選：A

【點睛】本題考查了充分必要條件的傳遞性，重點考查了邏輯推理能力，屬基礎(chǔ)題.

3.（2020?上海）對于集合A,B,"4/3''是''4<^3廢4。歷，的

A.充要條件B.必要非充分條件

C.充分非必要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【分析】利用集合的基本關(guān)系及其運算性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義求解.

【詳解】因為=

所以“AHB”能推出故充分；

能推出“Aw3”，故必要；

“ACBU工ADB”

所以“AhB''是"的充要條件

故選：A

【點睛】本題主要考查集合的基本關(guān)系及運算性質(zhì)，簡易邏輯的判斷，還考查了邏輯推理的

能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2020?上海）""3”是"為"或"2”的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)命題的等價命題，結(jié)合充分性、必要性的定義、特例法進行判斷即可.

【詳解】命題若“x+yH3"，則“XHI或了。2”的等價命題是：

若“x=l且y=2"，則“x+y=3”，

當"x=l且y=2”成立時，顯然x+y=3成立，

當x+y=3時，不一定能推出x=l且y=2,

例如x=2,y=l,滿足x+y=3,但x=l且y=2不成立，

因此"X=1且y=2”是“x+y=3”的充分不必要條件，

所以“x+y工3”是“x。1或k2”的充分不必要條件.

故選：A

【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了等價命題的應用，是基礎(chǔ)題.

5.（2021?上海高一期末）用反證法證明命題："a,beN,若ab不能被5整除，則a與b都

不能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應為

A.a,b都能被5整除

B.a,b不都能被5整除

C.a,b至少有一個能被5整除

D.a,b至多有一個能被5整除

【答案】C

試題分析：根據(jù)用反證法證明數(shù)學命題的步驟和方法，應先假設(shè)命題的否定成立.

而命題“a與b都不能被5整除”的否定為“a,b至少有一個能被5整除“，

考點：反證法.

6.（2020?上海中學高一期中）用反證法證明“已知x,ywR,x2+y2=o,求證：x=y=0：'

時，應假設(shè)

A.xryrOB.x=ywOC.且yrOD.x/0或yrO

【答案】D

分析：根據(jù)反證法證明數(shù)學命題的方法，應先假設(shè)要證命題的否定成立，求得要證命題的否

定，可得結(jié)論.

詳解：根據(jù)反證法證明數(shù)學命題的方法，

應先假設(shè)要證命題的否定成立，

而x=y=O的否定為不都為零”，故選D.

點睛：本題主要考杳用反證法證明數(shù)學命題的方法和步驟，求一個命題的否定，屬于簡單題.

7.（2020?上海高一專題練習）用反證法證明命題：“a,》eN,若出?可被5整除，那么

中至少有一個能被5整除時，假設(shè)的內(nèi)容應該是

A.。力都不能被5整除B.都能被5整除

C.〃不都能被5整除D.。能被5整除

【答案】A

【分析】根據(jù)反證法的概念，即可得到命題的假設(shè)，解得求解.

【詳解】根據(jù)反證法的概念可得：用反證法證明命題："a,b@N,若出？可被5整除，那么

a,b中至少有一個能被5整除時，假設(shè)的內(nèi)容應該是“a力都不能被5整除”，故選A.

【點睛】本題主要考查了反證法的概念，其中解答中熟記反證法的基本概念，根據(jù)命題的否

定，準確書寫是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2020?上海高一專題練習）用反證法證明命題“若無<—1,則2x—3>0”時，正確的

反設(shè)為（）

A.x<-1B.x>-1C.JC2-2x-3<0D.x?--lx-3>0

【答案】C

【分析】根據(jù)反證法的要求，反設(shè)時條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，從而得到答案.

【詳解】命題“若x<—1,則*2-2%一3>0”，

要用反證法證明，則其反設(shè)需滿足條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，

所以正確的反設(shè)為f—2x-340，

故選C項.

【點睛】本題考查利用反證法證明時，反設(shè)應如何寫，屬于簡單題.

二、填空題

9.（2021?上海市大同中學高一期末）設(shè)a:l&x<4,夕：x<10,則a是￡的

條件（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填

空）

【答案】充分非必要

【分析】利用集合間的關(guān)系判斷充分條件、必要條件即可.

【詳解】A={x|lWx<4}

B={x|x<10}

4是6的真子集，故a是夕的充分非必要條件

故答案為：充分非必要

10.（2021?上海市南洋模范中學高一期末）若根,“eR,則“加+”20”是“帆20且“20”

的條件.

【答案】必要不充分

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】根20,“20時，機+〃20成立，是必要的.

機=2,〃=一1時，有加+〃=1>0，即加+〃20時不一定有〃后0旦〃20.不充分，

因此應是必要不充分條件.

故答案為：必要不充分.

11.（2021?上海高一期末）已知條件a:0<x<4和條件￡：0<x<a,若a是4的充分

不必要條件，則實數(shù)4的取值范圍是.

【答案】?>4

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由題中條件，可直接得出結(jié)果.

【詳解】因為條件a:0<x<4和條件/?：0<x<a,若a是用的充分不必要條件，

所以（0,4）是（0,a）的真子集，

因此只需a>4.

故答案為：a>4.

【點睛】結(jié)論點睛：由命題的充分條件和必要條件求參數(shù)時，一般可根據(jù)如下規(guī)則求解：

（1）若夕是4的必要不充分條件，則夕對應集合是「對應集合的真子集；

（2）P是g的充分不必要條件，則P對應集合是g對應集合的真子集；

（3）。是夕的充分必要條件，則，對應集合與g對應集合相等；

（4），是夕的既不充分又不必要條件，夕對的集合與〃對應集合互不包含.

12.（2021?上海高一期末）已知條件P：2左-1,q：-3<X<3,且。是q的必

要條件，則實數(shù)A的取值范圍為.

【答案】（-0）,-2]

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系得到關(guān)于火的不等式組解出即可.

【詳解】3,3）工[2—],

-3>2k-]

,解得左W-2,

3<\-k

故答案為：（-<o,-2].

【點睛】結(jié)論