信號(hào)時(shí)域及頻域分析方法-企劃文宣（應(yīng)用文書）-在線

第十一章

其他時(shí)域及頻域分析方32-111.1

傅里葉變換11.2

相關(guān)性11.3

卷積11.4

功率譜估算生物醫(yī)學(xué)信息通常會(huì)受到噪聲的干擾。為了濾除干擾信號(hào)，必須了解它們的頻譜范圍，以便設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)臑V波器32-211.1傅里葉變換快速傅里葉變換（FFT）是進(jìn)行信號(hào)頻域分析的基本工具

假設(shè)一個(gè)離散時(shí)間非周期信號(hào)是從一個(gè)模擬模板中以為采樣周期采集到的數(shù)據(jù)，采樣角頻率為 ，在時(shí)域中可以將其描述為函數(shù)的加權(quán)和，即（11.1）該表達(dá)式的傅里葉變換為：（11.2）或（11.3a）11.1.1

非周期信號(hào)的離散傅里葉變換32-3積分與求和的順序可以交換為：（11.3b）由此得到：（11.3c）同樣地，可得到傅里葉變換：（11.4）32-4

考慮規(guī)一化頻率時(shí)，離散信號(hào)的傅里葉變換可寫為：（11.5a）（11.5b）

這個(gè)傅里葉變換是連續(xù)的，且每隔一個(gè)采樣頻率重復(fù)一次32-5

傅里葉變換的一個(gè)重要特性（圖11.1（b））是，它在正負(fù)方向上每隔一個(gè)采樣頻率區(qū)間就重復(fù)一次。32-6

離散傅里葉變換（DFT）是指，對(duì)離散周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算，它類似于求周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)，但也有顯著的區(qū)別：（1）在離散時(shí)間域中，積分變?yōu)榍蠛停?/p>

（2）這種變換只能估算除有限數(shù)目的復(fù)系數(shù)，即原始信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。32-711.1.2

周期信號(hào)的離散傅里葉變換用代數(shù)方法可得到正、反變換的表達(dá)式，即（11.6a）（11.6b）32-8圖11.2所示的是一個(gè)離散周期信號(hào)及其DFT的實(shí)部和虛部32-911.1.3

快速傅里葉變換

FFT一詞泛指那些可用于估算含有N個(gè)等距離樣本的信號(hào)的DFT的計(jì)算方法，其中

N通常為2的冪。式中，

以遞減。32-1

基于將序列x(n)分割成更小序列的分解算法叫做時(shí)間抽取法。下面給出這種算法的原理，其中N為2的整數(shù)次

冪。這時(shí)，X(k)可分解為奇和偶的兩個(gè)N/2點(diǎn)序列，即（11.7）上述還可寫成（11.8）但是，因此式（11.8）可寫成（11.9）32-1

將算出的兩個(gè)DFT相加得到原始N點(diǎn)序列的DFT。我們可以繼續(xù)將每個(gè)N/2點(diǎn)的DFT分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)的DFT，再將N/4的DFT分解成兩個(gè)N/8點(diǎn)DFT……最終，N點(diǎn)的DFT被分解為2點(diǎn)的DFT的和與積圖11.3所示的為計(jì)算8點(diǎn)原始序列的X(k)的流程圖。需要進(jìn)行復(fù)加和復(fù)乘的總次數(shù)為32-1

圖11.4所示的是FFT和原始DFT的計(jì)算時(shí)間與N之間的關(guān)系曲線。FFT的計(jì)算量比

DFT至少小一個(gè)數(shù)量級(jí)。32-111.2

相關(guān)性11.2.1時(shí)域相關(guān)性對(duì)于N對(duì)數(shù)據(jù)

，其相關(guān)系數(shù)定義為：(11.10）32-1

如果要分析有限長(zhǎng)的信號(hào)，則必須定義兩個(gè)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)：（11.11）

在兩個(gè)輸入信號(hào)相同的情況下，互相關(guān)函數(shù)變成自相關(guān)函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)得定義為：（11.12）32-1

圖11.6所示的是用阻抗描記法同時(shí)記錄的4組人體呼吸信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。在圖11.6（a）中，4組信號(hào)是沿被測(cè)者的腋線上不同點(diǎn)采集到的。圖11.6（b）中，給出每?jī)蓚€(gè)通道信號(hào)間的互相關(guān)函數(shù)，以便講運(yùn)動(dòng)和節(jié)律性呼吸區(qū)分開。32-111.2.2頻域相關(guān)性

如果h(t)和g(t)是兩個(gè)連續(xù)信號(hào)，則它們的互相關(guān)函數(shù)定義為：（11.13）互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換滿足：（11.14）式中，

是 的共軛復(fù)數(shù)。32-1

如果將h(t)和g(t)數(shù)字化，則可得到下面的近似互相關(guān)函數(shù)：（11.15）

式（11.5）也稱為互相關(guān)函數(shù)的偏差估計(jì)量。在兩個(gè)輸入離散信號(hào)的DFT和偏差估計(jì)量的

DFT之間有下列關(guān)系：（11.16）

因此，兩個(gè)離散信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)也可以由求它們的DFTs積的反DFT得到。這可以用FFT和反FFT（IFFT）算法通過下式完成，以提高運(yùn)算速度：（11.17）32-111.3 卷積11.3.1

時(shí)域卷積如果連續(xù)信號(hào)x(t)加在一個(gè)脈沖響應(yīng)為h(t)的模擬系統(tǒng)輸入端，則輸出信號(hào)y(t)的表達(dá)式為下面的卷積：（11.18）對(duì)離散信號(hào)，卷積式變?yōu)椋海?1.19）式中，x(n)是輸入信號(hào)，h(n)是經(jīng)過采樣的系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，y(n)是輸出信號(hào)。32-1

圖11.8所示的是用阻抗呼吸描記法記錄的呼吸信號(hào)，圖（b）所示的是心動(dòng)偽跡的9系數(shù)低通

FIR濾波器的輸入和輸出信號(hào)。該濾波器的角頻率為0.7Hz，阻帶內(nèi)的衰減約為20dB。32-211.3.2頻域卷積時(shí)域卷積常用“*”符簡(jiǎn)單表示為：或?qū)τ陔x散信號(hào)來(lái)說(shuō)：對(duì)于DFTs來(lái)說(shuō)：如果用FFT計(jì)算時(shí)域卷積，則該方法叫“快速卷積”，即（11.20）式中，X(k)和H(k)用FFT算法計(jì)算。32-2

頻域卷積與時(shí)域卷積的定義相似，對(duì)于連續(xù)譜，可用積分表示：（11.21）對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)為：因此，兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域內(nèi)的乘積等于它們的傅里葉變換在頻域內(nèi)的卷積。32-2

頻域卷積是信號(hào)窗口法的基礎(chǔ)。為了實(shí)現(xiàn)近似于 的FIR濾波器，必須將h(n)乘上窗口函數(shù)，得到（11.22）式中，w(n)是有限長(zhǎng)窗口序列。用頻域卷積得到該FIR濾波器的傅里葉變換即（11.23）式中， 是窗口序列的傅里葉變換。32-2

分析窗口函數(shù)特性的一種方法是研究它的傅里葉變換。在這種方法中，需要分析阻帶衰減和通帶寬度。圖11.9所示的是最常用于低通濾波器設(shè)計(jì)的適用于幾種類型的窗口的重要參數(shù)。設(shè)計(jì)者應(yīng)該在通帶寬度、系數(shù)個(gè)數(shù)和阻帶內(nèi)最小衰減三者之間進(jìn)行權(quán)衡。32-211.4

功率譜估算11.4.1

Parseval定理Parseval定理描述了時(shí)域與頻域間的能量守恒原理。對(duì)于周期為T的周期信號(hào)f(t),由Parseval定理可知，在已知傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的情況下，可用下式計(jì)算信號(hào)中的平均功率：（11.24）32-2

對(duì)于連續(xù)的非周期信號(hào)，可以類似地得到f(t)和它的傅里葉變換之間的關(guān)系，即：（11.25）

同樣，對(duì)于時(shí)域離散信號(hào)，經(jīng)傅里葉變換，可得到（11.26）

在DFT情況下，假定時(shí)域信號(hào)以N為周期相同地重復(fù)，則其DFT將在以采樣頻率為寬度的各區(qū)間內(nèi)重復(fù)。這時(shí)，Parseval定理可表示為：（11.27）32-2

為了估算信號(hào)的平均功率，需計(jì)算均方幅值，并作下述近似：（11.28）

這里所用的功率譜估算（PSE）法是基于周期圖的概念建立的。如果對(duì)一個(gè)函數(shù)c(t)進(jìn)行采樣，并用FFT法計(jì)算它的

DFT，則會(huì)得到32-2

這時(shí)對(duì)N/2＋1個(gè)頻率點(diǎn)的功率譜的周期圖估算定義為：（11.29）

由Parseval定理可知，均方幅值等于N/2＋1個(gè)P值的和。32-211.4.2平均修正周期圖的沃爾什法

周期圖是不一致的譜估算法，其估算方差在記錄長(zhǎng)度接近無(wú)窮時(shí)不趨近于0。

沃爾什提出改進(jìn)方法。它是基于將N點(diǎn)數(shù)據(jù)記錄x(n)分割成一段段含有M點(diǎn)的部分，各段之間重疊了L個(gè)樣本點(diǎn)的事實(shí)提出的。如L=M，則N=(K+1)M,K是段數(shù)。將一個(gè)窗函數(shù)作用于每段，然后計(jì)算每段的周期圖。最后，將這些周期圖平均，即得到沃爾什估算結(jié)果。32-211.4.3

Black-Tukey譜估算Black-Tukey估算法可由三步完成：從記錄到的N點(diǎn)數(shù)據(jù)中估算出自相關(guān)序列 的中間2M＋1個(gè)樣本；將一個(gè)窗函數(shù)作用于估算后的自相關(guān)延遲。計(jì)算引入窗函數(shù)后的自相關(guān)估算的

FFT，得到Black-Tukey估算結(jié)果。參數(shù)

M和窗函數(shù)類型必須根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)合適當(dāng)?shù)剡x取。32-311.4.4壓縮譜陣列和灰