專題2.2 基本不等式（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學一輪復習題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題2.2基本不等式題型一直接法求最值題型二配湊法求最值題型三“1”的代換求最值題型四消參法求最值題型五商式求最值題型六對勾函數(shù)求最值題型七利用基本不等式證明不等式題型八利用基本不等式解決實際問題題型九基本不等式與其余知識的綜合應用題型一 直接法求最值例1．（2022秋·海南?？凇じ呷？茧A段練習）已知實數(shù)x，y滿足，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)重要不等式即可求最值，注意等號成立條件.【詳解】由，可得，當且僅當或時等號成立.故選：C.例2．（2023·全國·高三專題練習）已知，當取最大值時，則的值為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)已知使用基本不等式，整理求出取最大值時的和值，再得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，即，所以，當且僅當時取等號，即，，此時.故選：B．練習1．（2023春·湖南·高三桃江縣第一中學校聯(lián)考期中）若正實數(shù)、滿足，則當取最大值時，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式等號成立的條件可求得取最大值時的值.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，可得，當且僅當時，即當時，等號成立.故選：A.練習2．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；當時可得必要性不成立，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令滿足，此時；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D練習3．（2021春·廣西南寧·高二?？茧A段練習）函數(shù)的最小值為（

）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】利用基本不等式運算求解.【詳解】∵，則，∴，當且僅當，即時，等號成立，故函數(shù)的最小值為4.故選：D.練習4．（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數(shù)（）的值域為，則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)的值域求得，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】由于二次函數(shù)（）的值域為，所以，所以，所以，當且僅當即時等號成立.故選：B練習5．（2022秋·高三課時練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．8 B．12 C． D．【答案】B【分析】可通過已知條件，先找到與的等量關(guān)系，然后把等量關(guān)系帶入要求的式子，消掉，從而得到關(guān)于的兩項乘積為定值的和的關(guān)系，然后再使用基本不等式完成求解.【詳解】由已知，，均為正數(shù)，，故，即，所以，當且僅當時等號成立.故選：B.題型二 配湊法求最值例3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_____________．【答案】．【分析】對函數(shù)變形后，利用基本不等式求出最小值.【詳解】，因為，所以，故，故，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：例4．（2022秋·新疆克拉瑪依·高三克拉瑪依市高級中學?？计谥校?）已知，求函數(shù)的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）4；（2）.【分析】（1）先構(gòu)造出乘積的定值，再用基本不等式求和的最小值；（2）先構(gòu)造出和的定值，再用基本不等式求積的最大值.【詳解】（1）時，，根據(jù)基本不等式，可得：當，即時取得等號，故時，取得最小值是4；（2），故，根據(jù)基本不等式可得：，當，即時取得等號，故時，的最大值是.練習6．（2021春·陜西渭南·高二校考階段練習）設(shè)實數(shù)x滿足，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】將函數(shù)變形為，再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.【詳解】由題意，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以函數(shù)的最小值為.故選：A練習7．（2023·全國·高三專題練習）（多選）在下列函數(shù)中，最小值是的函數(shù)有（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】結(jié)合基本不等式的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，，所以A選項不符合.B選項，，當且僅當時等號成立，所以B選項不符合.C選項，對于函數(shù)，當時，，當且僅當時等號成立.當時，，當且僅當時等號成立，綜上所述，的最小值是，符合題意.D選項，，，當且僅當時等號成立，所以D選項符合.故選：CD練習8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中學?？茧A段練習）已知，函數(shù)的最大值是__．【答案】/0.125【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函數(shù)的最大值．【詳解】，∴,當且僅當時，即時等號成立，因此，函數(shù)的最大值為.故答案為:.練習9．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式，結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】，，，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．故答案為：練習10．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】當時，不等式對不恒成立，不符合題意（舍去）；當時，要使得對恒成立，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.因為，可得，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．故答案為：；.題型三 “1”的代換求最值例5．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可；【詳解】解：因為，所以．因為，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以，的最小值為27．故選：C例6．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點，則的最小值為______．【答案】/【分析】由直線過點，可得，利用基本不等式“1”的代換，求出最小值．【詳解】∵直線過點，．，當且僅當，即，時取等號．的最小值為．故答案為：．練習11．（2023·北京·高三專題練習）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】條件等式兩邊取對數(shù)后，得，再結(jié)合換底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為6.故選：B.練習12．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．18【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則，求得，且，利用，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，所以，即，且，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.練習13．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的最小值為（

）A．20 B．32 C． D．【答案】D【分析】將化為，再用“1”的代換，乘以，展開后用基本不等式即可求得最小值，注意取等條件.【詳解】解：因為，所以，則，因為，，所以，當且僅當，即（舍）或時取等，故的最小值為.故選：D練習14．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學業(yè)考試）已知，則的最小值是______．【答案】【分析】變形條件等式得，然后展開，利用基本不等式求最小值.【詳解】，，，當且僅當，即時等號成立，的最小值是.故答案為：.練習15．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，且，則的最小值為___________.【答案】/0.5【分析】運用基本式中的“1”的活用，即可得出結(jié)果.【詳解】，，，當且僅當時，取等號.故答案為：.題型四 消參法求最值例7．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知，且，則的最小值為__________.【答案】【分析】先對已知式子變形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，所以

，（當且僅當時取等號），所以的最小值為，故答案為：.例8．（2022秋·天津靜海·高三靜海一中校考階段練習）若，且，則的最大值為___________.【答案】【分析】由題得，分，兩種情況解決即可.【詳解】由題知，，且，即所以，當時，，即，此時，所以的最大值為1，當時，，當且僅當時取等號，此時；所以的最大值為.綜上，的最大值為.故答案為：練習16．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，且，則（

）A．有最小值為 B．有最小值為C．有最大值為 D．有最大值為【答案】A【分析】對變形得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】因為，所以，當且僅當，故，即取等號.故選：A.練習17．（2022秋·江蘇常州·高三江蘇省奔牛高級中學?？茧A段練習）實數(shù)a，b，c滿足，，，則的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用因式分式法，結(jié)合分式的運算性質(zhì)、基本不等式進行求解即可.【詳解】，，，，，當且僅當，即時等號成立，的最小值為1，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：利用因式分法，得到是解題的關(guān)鍵.練習18．（2022秋·陜西西安·高三西安市第三中學?？茧A段練習）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】用來表示得，代入得，再利用基本不等式即可求出最小值.【詳解】,，則有，，當且僅當，即時等號成立，此時，故選：B.練習19．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考期中）正數(shù)a，b滿足，則的最小值為______；的最大值為______．【答案】/【分析】利用基本不等式，結(jié)合換元法、一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為正數(shù)a，b滿足，所以有，當且僅當時取等號，即時取等號；由，而，因此，令，因為，所以方程在區(qū)間內(nèi)有解，設(shè)，或，解得，因此的最大值為，故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點睛：利用換元法，結(jié)合一元二次根的分布性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.練習20．（2023·浙江·二模）若，則的取值范圍是______.【答案】【分析】利用基本不等式結(jié)合求得，將整理變形為，令，結(jié)合二次函數(shù)知識即可求得答案.【詳解】由可得，而，當且僅當時，等號成立，即，解得，由可知，所以，令，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故，即的取值范圍是，故答案為：題型五 商式求最值例9．（2023·全國·高三專題練習）設(shè),則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】首先由等式把轉(zhuǎn)化為，再應用常數(shù)分離得到，最后應用基本不等式得到最小值.【詳解】由題意，所以，得到，當且僅當，即時，等號成立，則的最小值為．故選：A.例10．（2022·江蘇·高一專題練習）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）；（3）.【答案】（1）3；（2）；（3）10.【分析】對分式函數(shù)利用分離常數(shù)法構(gòu)造基本不等式（對勾函數(shù)）的結(jié)構(gòu)，或利用基本不等式（1,、2）或利用函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】（1）∵（當且僅當，即x=1時取“=”）即的最小值為3；（2）令，則在是單增，∴當t=2時，y取最小值；即y的最小值為（3）令，則可化為：當且僅當t=3時取“=”即y的最小值為10練習21．（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【分析】利用基本不等式可求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，所以，即，當且僅當時，等號成立，故的最小值是6.故選：A練習22．（2021秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第五中學校考階段練習）已知正實數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式可求，當且僅當時等號成立，化簡已知即可求解.【詳解】解：因為，又因為，所以，所以，當且僅當時，即時等號成立，所以，即y的最大值是.故選：D.練習23．（2023·全國·高三專題練習）已知，則函數(shù)的最小值是______．【答案】【分析】將函數(shù)化簡，分離常數(shù)，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因為，當且僅當，即時，等號成立.所以函數(shù)的最小值是故答案為:.練習24．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則最大值為______．【答案】【分析】由且，可得，可得，再將化為后利用基本不等式求解即可．【詳解】解：由且，可得，代入，又，當且僅當，即，又，可得，時，不等式取等，即的最大值為，故答案為：．練習25．（2021秋·江蘇徐州·高三?？茧A段練習）若存在，使成立，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】依題意，再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：依題意存在，使成立，即存在，使得，即，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以，即的最大值為，所以，即；故答案為：題型六 對勾函數(shù)求最值例11．（2023·高三課時練習）設(shè)，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，分別求得和時的取值范圍，即可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則當時，單調(diào)遞增，此時；當時，單調(diào)遞減，此時，故，則的取值范圍是，故答案為：例12．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知關(guān)于的的解集是，則（

）A．B．C．關(guān)于的不等式的解集是D．的最小值是【答案】AB【分析】由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達定理可求得，，，由此可確定AB正確；結(jié)合一元二次不等式的解法可知C錯誤；將化為，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性可確定，知D錯誤.【詳解】對于A，的解集為，，且和是方程的兩根，A正確；對于B，由A得：，，，，B正確；對于C，由得：，即，解得：，即不等式的解集為，C錯誤；對于D，，，在上單調(diào)遞增，，D錯誤.故選：AB.練習26．（2022秋·高三課時練習）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求值域.【詳解】令，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，取得最小值，最小值為，又當時，，當時，，故的值域為.故選：B練習27．（2022秋·吉林長春·高三東北師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將函數(shù)變形為，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求得的值域，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】，定義域為，且，取，則化簡得令，，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)知，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增；，即，時，又，所以，時，函數(shù)的值域為故選：C練習28．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－4 B．4 C．5 D．8【答案】C【分析】根據(jù)不等式的解集求出的值和的取值范圍，在代入中利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求出它的最小值.【詳解】由的解集為，則，且，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得，，當且僅當時等號成立，故，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以的最小值為5.故選：C練習29．（2023秋·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列函數(shù)中，以3為最小值的函數(shù)有（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對A：根據(jù)余弦函數(shù)的有界性分析運算；對B：換元結(jié)合二次函數(shù)分析運算；對C：換元結(jié)合對勾函數(shù)分析運算；對D：利用基本不等式分析運算.【詳解】對A：∵，則，故的最小值為3，當且僅當時取到最小值，A正確；對B：令，則，故的最小值為3，當且僅當，即時取到最小值，B正確；對C：令，且在上單調(diào)遞減，故，故的最小值為，C錯誤；對D：，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為3，D正確.故選：ABD.練習30．（2022秋·高三校考期中）（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則有最小值 B．若，則有最小值C．若，則有最大值 D．若，則有最大值【答案】AC【分析】分和兩種情況，結(jié)合均值不等式即可得出結(jié)果.【詳解】當時，，當且僅當時，等號成立；故A正確，B錯誤；當時，，當且僅當時，等號成立；故C正確，D錯誤；故選：AC.題型七 利用基本不等式證明不等式例13．（2023·貴州黔西·?？家荒＃┰O(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由，則，根據(jù)，，，即可得證；（2）由已知得若證，即證，再根據(jù)，，，即可得證.【詳解】（1）由，得，又由基本不等式可知當，，均為正數(shù)時，，，，當且僅當時，上述不等式等號均成立，所以，即，所以，當且僅當時等號成立；（2）因為，，均為正數(shù)，所以若證，即證，又，，，當且僅當時，不等式等號均成立，則，即，當且僅當時等號成立.例14．（2021秋·廣西欽州·高二校考期中）證明：(1)；(2)．【答案】(1)見解析；(2)見解析﹒【分析】(1)a－2＞0，將原式構(gòu)造成即可用基本不等式求解；(2)利用即可證明﹒(1)，，當且僅當時取等號；(2)，∴，當且僅當a＝b時取等號﹒練習31．已知，，，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)柯西不等式或基本不等式證明不等式.（2）根據(jù)基本不等式證明不等式.【詳解】（1）解法一：由柯西不等式得：，當時，等號成立．所以原式得證．解法二：當時，等號成立．即．（2）解法一：由及．即．當時，等號成立．所以.解法二：因為，所以：．又，，所以：，當時，等號成立．所以，．練習32．已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．（2）化簡已知得，即，利用基本不等式即可得證.【詳解】（1）（2）因為，所以，所以．因為，，所以，當且僅當時，等號成立，則，即的最小值是2．（2）證明：因為，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以．當且僅當時，等號成立則，即，當且僅當時，等號成立．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二小問中用配湊法將的證明轉(zhuǎn)化為的證明，其中是解題關(guān)鍵，本題考查不等式的證明，基本不等式的應用，屬于較難題.練習33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大學附屬中學?？茧A段練習）（1）求函數(shù)的最大值；（2）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明過程見解析.【分析】（1）運用換元法，結(jié)合基本不等式進行求解即可；（2）運用基本不等式進行證明即可.【詳解】（1）令，由，因為，所以由，當且僅當時取等號，即時，函數(shù)有最大值；（2）因為，所以，即，當且僅當時取等號.練習34．已知，且，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用基本不等式計算，即可得證．（2）根據(jù)已知條件，利用基本不等式計算，即可得證．【詳解】（1）證明：因為，且，所以，當且僅當時取等號，所以；（2）證明：，，，，當且僅當，即時，等號成立，，即得證．練習35．（2021·全國·高一專題練習）證明：.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)，得到，進而開方得到答案.【詳解】因為，則，所以，當且僅當a=1時取“=”.題型八 利用基本不等式解決實際問題例15．目前，我國汽車工業(yè)迎來了巨大的革命時代，確保汽車產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展，國內(nèi)汽車市場正由傳統(tǒng)燃油車向新能源、智能網(wǎng)聯(lián)汽車升級轉(zhuǎn)型.某汽車企業(yè)決定生產(chǎn)一種智能網(wǎng)聯(lián)新型汽車，生產(chǎn)這種新型汽車的月成本為400（萬元），每生產(chǎn)x臺這種汽車，另需投入成本（萬元），當月產(chǎn)量不足40臺時，（萬元）；當月產(chǎn)量不小于40臺時，（萬元）．若每臺汽車售價為20（萬元），且該車型供不應求．(1)求月利潤y（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式；(2)月產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤?并求出最大月利潤．【答案】(1)，；(2)月產(chǎn)量為100臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤，最大月利潤為300萬元．【分析】（1）利用利潤等于總收入減去總成本，分段表示月利潤y（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式逐段求解最大值即可.【詳解】（1）當時，，，當時，，，所以月利潤y（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式為，；（2）當，時，，時，該函數(shù)取最大值為224，當，時，，當且僅當時，等號成立，綜上所述，月產(chǎn)量為100臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤，最大月利潤為300萬元．例16．（2022秋·浙江衢州·高一?？计谥校┤鐖D，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為的十字形地域．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為元．受地域影響，AD的長度最多能達到，其余邊長沒有限制．(1)設(shè)總價為（單位：元），AD長為（單位：），試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)當為何值時，最??？并求出這個最小值．【答案】(1)，(2)當時，S最小，最小值為118000元【分析】（1）先設(shè)，又，建立等式找出得關(guān)系計算即可；（2）利用均值不等式計算即可，注意等號成立的條件.【詳解】（1）設(shè)，又，，則，∴，∴（2）由（1）得，利用均值不等式得，當時，即時等號成立，所以當時，S最小，最小值為118000元.練習36．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，有一批材料長為24m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長）的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個面積相等的矩形，那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？【答案】矩形面積最大為48平方米【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.（或者利用均值不等式求解）【詳解】由題意所示，，∵，∴，∴，函數(shù)的對稱軸為，∴當時，面積取得最大值，為，（或者：由于，所以，當且僅當，即時取等號.）∴矩形面積最大為48平方米．練習37．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考階段練習）已知某公司計劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬件（），其成本為（萬元/萬件），其廣告宣傳總費用為萬元，若將其銷售價格定為萬元/萬件．(1)將該批產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為的函數(shù)；(2)當廣告宣傳總費用為多少萬元時，該公司的利潤最大?最大利潤為多少萬元?【答案】(1)，(2)宣傳費用為萬元時，利潤最大為萬元．【分析】（1）根據(jù)利潤與成本及產(chǎn)量的關(guān)系直接列式；（2）利用基本不等式求最值.【詳解】（1），；（2），，，當即宣傳費用為萬元時，利潤最大為萬元．練習38.為響應國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來的歷史性機遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)臺需要另投入成本（萬元），當年產(chǎn)量不足45臺時，萬元，當年產(chǎn)量不少于45臺時，萬元.若每臺設(shè)備的售價與銷售量的關(guān)系式為萬元，經(jīng)過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.(1)求年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺）的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤是多少萬元？【答案】(1)(2)當年產(chǎn)量為49臺時，該企業(yè)在這款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利潤最大，最大為701萬【分析】（1）根據(jù)題目給出的函數(shù)解析式，利用收益減去成本，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式，可求得最值，可得答案.【詳解】（1）當，時，；當，時，；綜上所述：（2）當，時，，則當時，的最大值為650；當，時，（當且僅當，即時等號成立）；∴當年產(chǎn)量為49臺時，該企業(yè)在這款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利潤最大，最大為701萬.練習39．（2022·高三課時練習）用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為2m，則車廂的最大容積是______．【答案】【分析】設(shè)長方體長為m，高為m，依題意，可求得，利用基本不等式可求得，從而可得車廂的最大容積．【詳解】設(shè)長方體長為m，高為m，則有，即．∵，當且僅當時，取等號∴，即，解得∴∴，當且僅當時，等號成立∴車廂的最大容積是故答案為：．練習40．（2022秋·安徽馬鞍山·高三安徽工業(yè)大學附屬中學?？计谥校┤鐖D，安工大附中欲利用原有的墻（墻足夠長）為背面，建造一間長方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面面積為，高度為3m.若房屋側(cè)面和正面每平方米的造價均為1000元，屋頂?shù)脑靸r為6000元，且不計房屋背面和地面的費用，則該房屋的最低總造價為______元.【答案】【分析】設(shè)房屋的長為，由題可得總造價，再利用基本不等式即得；【詳解】設(shè)房屋的長為，則寬為，則總造價，當且僅當，即時取等號，故當長等于，寬等于時，房屋的最低總造價為元.故答案為：.題型九 基本不等式與其余知識的綜合應用例17．（2023·浙江·二模）記為正數(shù)列的前項和，已知是等差數(shù)列.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，使得存在數(shù)列，.【答