21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 重難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)（二大題型）（解析版）

21.2.4《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》分層練習(xí)考查題型一利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知m，n是一元二次方程x2+3x-6=0的兩個根，則m2A．0 B．3 C．6 D．13【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，得出mn=-6，m2【詳解】解：∵m，n是一元二次方程x2∴mn=-6，m2∴m2+mn+3m故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）一元二次方程x2+x=2的兩個根分則為x1和x2，則A．32 B．-12 C．-【答案】D【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：一元二次方程x2+x=2∵一元二次方程x2+x=2的兩個根分則為x1∴x1+x∴1x1+故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．若x1,x2是一元二次方程ax3．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）已知a，b是一元二次方程x2+x-8=0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a2A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】結(jié)合一元二次方程根的定義，以及根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵a，b是一元二次方程x2∴a2+a-8=0，∴a2∴a2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的定義，以及根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x4．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考二模）已知x1、x2是一元二次方程x2A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x【詳解】解：根據(jù)題意得：x1所以x1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1、x2是一元二次方程5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知m、n是一元二次方程x2-x-2024=0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得m+n=1，根據(jù)一元二次方程根的定義得到m2-m=2024，則【詳解】解：∵m、n是一元二次方程x2∴m+n=--1∵m是一元二次方程x2∴m2-m-2024=0即∴m2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值等知識．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0考查題型二根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用1．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程m-2x2-2x+1=0有兩個實(shí)數(shù)根x(1)求m的取值范圍；(2)若x1+1x【答案】(1)m≤3且m≠2(2)m=1【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根判別式及定義，即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程m-2x∴Δ=-22-4∴m≤3且m≠2；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x∵x1∴x1∴2m-2解得m=1，經(jīng)檢驗(yàn)：m=1是方程的根，∴m=1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，解分式方程，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1,x2，且滿足【答案】(1)m≤(2)x【分析】（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到Δ≥0，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用整體思想代入求值即可.【詳解】（1）由題意得，Δ=2m-1解得：m≤1（2）解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得x1∵x12∴-2m-12解得：m1=-1,∵m≤1∴m=-1．

∴x1∴x1∴x1【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程判別式與方程根的情況的對應(yīng)以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系．3．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2(1)試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若(x1+2)(x【答案】(1)m≥23(2)3【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到Δ=-2m（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=--2mm-1,x1x【詳解】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m-2=0∴Δ=-2m2-4∴m≥23且∴m的取值范圍為m≥23且（2）根據(jù)題意得x1∵(x∴2∴4mm-1解得，m=經(jīng)檢驗(yàn)，m=3∴m的值為32【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程4．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根為x1、x2，且x1【答案】(1)見解析(2)m=5或m=-2【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其正負(fù)即可作出判斷；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之積與兩根之和，已知等式變形代入計(jì)算即可求出m的值．【詳解】（1）證明：關(guān)于x的一元二次方程x2∵m-1∴Δ=m-3=m=m=m-1則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2∵x∴x1+x整理得：m2-3m-10=0，即∴m-5=0或m+2=0，解得：m=5或m=-2．【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校╆P(guān)于x的方程x2-2k-2x+k(1)求k的取值范圍；(2)若x1+x【答案】(1)k<1(2)k的值為-1-【分析】（1）由要保證一元二次方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，就必須使其根的判別式Δ>0恒成立，即得出關(guān)于k的不等式，解出k的解集即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于k的一元二次方程，再解這個方程即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程為x2∴a=1，b=-2k-2，c=∵該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=b解得：k<1；（2）解：∵該方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1、x∴x1+x∵x1∴2k-2=1-整理，得：k2解得：k1=-1-6∴k的值為-1-6【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次方程根的情況求參數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為Δ=b2-4ac，且當(dāng)Δ>0時(shí)，該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)1．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）關(guān)于的一元二次方程中，、、是的三條邊，其中．(1)求證此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個根是、，且，求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)求根公式，寫出一元二次方程的，再根據(jù)、、是的三條邊，結(jié)合，即可解答。（2）根據(jù)韋達(dá)定理得，，再用完全平方公式化簡得，代入即可解答。【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程去括號，整理為一般形式為：，，、、是的三條邊，其中，，，，此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程的兩個根是、，，，，，即，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，掌握當(dāng)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為m，n，求的值．解：∵一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則___________，___________．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足，，且，求的值．【答案】(1)3，(2)(3)或【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出，，再根據(jù)，最后代入求值即可；（3）由題意可將s、t可以看作方程的兩個根，即得出，，從而可求出，即或，最后分類討論分別代入求值即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，．故答案為：，；（2）∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；（3）∵實(shí)數(shù)s、t滿足，，∴s、t可以看作方程的兩個根，∴，，∵∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，分式的混合運(yùn)算．理解題意，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．3．已知：關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）若，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使其滿足，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，或【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式列出不等式，再求解即可；（2）根據(jù)已知得出①，，推出，求出②，把①代入②得出，最后求出k即可.【詳解】解：（1）當(dāng)即時(shí)，方程，，即方程有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，方程有實(shí)數(shù)根，即，綜合上述：k的取值范圍是．（2）∵，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，∴，①，，∴，∵，∴，∴，即：，②把①代入②得：，，，，由（1）可知k需滿足：且，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．4．背景情境：賽賽同學(xué)在學(xué)習(xí)《一元二次方程》中做過這樣一道題：題目：已知實(shí)數(shù)、滿足，，且，求的值．解：根據(jù)題意得與為方程的兩根，∴，∴請認(rèn)真閱讀賽賽同學(xué)解題的方法，仔細(xì)思考．解決問題：（1）已知實(shí)數(shù)、滿足，，且，求的值．（2）設(shè)實(shí)數(shù)、分別滿足，，且，求的值．（3）已知關(guān)于的方程有兩個根、滿足．當(dāng)?shù)娜?、、滿足，，（a≠b）．求的值以及的面積．【答案】（1）-6；（2）6；（3），面積為1【分析】（1）根據(jù)題意可得，，利用完全平方公式求得的值，變形整理所求式子，然后代入求值即可；（2）將方程等號兩邊同時(shí)除以b2得到，再根據(jù)題意計(jì)算求值即可；（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合求得m的值，根據(jù)題意可得與是方程的兩個根，同例題整理得，得到△A